PODSTAWY MECHANIKI PYNW Wykad Nr 5 Podstawowe rwnania
- Slides: 30
PODSTAWY MECHANIKI PŁYNÓW Wykład Nr 5 Podstawowe równania mechaniki płynów - równanie Eulera, - równanie ciągłości przepływu, - równanie Bernoulliego.
1. Równanie Eulera Siła masowa q(X, Y, Z) i powierzchniowa p. A działająca na element płynu dxdydz
Siła powierzchniowa działająca na element płynu Na ścianki płynu wzdłuż osi x działają składowe x, y, x siły powierzchniowej związane z ciśnieniem wewnątrz płynu wynoszące odpowiednio (1) przez analogie wzdłuż osi y i z (2) (3)
Składowe siły masowej działające na płyn: (4) (5) (6) Na poruszający się płyn działa wektor siły bezwładności (d’Alemberta) którego składowe wynoszą ,
Suma sił czynnych masowych i bezwładności w każdym dowolnym kierunku ruchu jest równa 0, stąd po uproszczeniu otrzymamy
po podzieleniu przez ponieważ zmiana prędkości odbywa się w przestrzeni jak i w czasie uwzględniamy pochodną substancjalną równą
otrzymamy są to równania Eulera dla płynu doskonałego, które w zapisie wektorowym mają postać
2. Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego 2 1 a wypływającego przez przekrój 2 -2: 2 1 Masa płynu wpływającego w czasie dt przez przekrój 1 -1 wynosi
Różnica pomiędzy obu masami, jeśli jest różna od 0, musi równać się zmianie masy płynu zawartego pomiędzy przekrojami 1 i 2 oddalonymi od siebie o ds. Zmiana ta spowodowana jest zmianą gęstości płynu. Po wymnożeniu oraz pominięciu wielkości małych wyższego rzędu otrzymamy lub po uwzględnieniu zasady różniczkowania iloczyn równanie przybiera postać Dla ruchu ustalonego (niezależnego od czasu) równanie przybiera postać
Czyli dla płynu ściśliwego równanie jest spełnione jeśli natomiast dla płynu nieściśliwego równanie jest spełnione jeśli Pierwsza wielkość nazywa się strumieniem masy, a równaniem ciągłości dla płynu ściśliwego Druga wielkość nazywa się strumieniem objętości, a równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego Z równań wynika, że
• Jednostką strumienia objętości jest m 3/s, zatem strumień objętości pokazuje objętość płynu przepływającego w jednostce czasu. • Jednostką strumienia masy jest kg/s, zatem strumień masy pokazuje masę płynu przepływającego w jednostce czasu. • Strumień objętości i strumień masy powiązane są ze sobą poprzez gęstość płynu. Na podstawie strumienia masy lub strumienia objętości można zdefiniować średnią prędkość vśr w przekroju poprzecznym A (jeśli prędkość nie jest jednakowa)
Przykład 1. W liniowo rozszerzającym się przewodzie, średnica na jego początku wynosi d 1=10 mm, a na końcu d 2=50 mm. Wiadomo, że prędkość przepływu wody na końcu przewodu wynosi 0, 2 m/s. Obliczyć ile wynosi 1) prędkość na początku przewodu, 2) strumień objętości, 3) strumień masy 4) narysować wykres przedstawiający zmianę prędkości na długości przewodu. Ad. 1. Prędkość na początku przewodu Ad. 2. Strumień objętości Ad. 3. Strumień masy
Ad. 4. v=f(d)
3. Równanie ciągłości ruchu ogólnym (trójwymiarowym)
Przez ściankę OABC (wzdłuż osi x) w czasie dt przepływa masa równa natomiast przez przeciwległą ściankę wypływa w tym samym czasie masa Różnica pomiędzy masą wpływającą do prostopadłościanu a wypływającą wynosi Podobnie postępujemy dla pozostałych dwóch par ścianek, otrzymując różnice mas wpływu i wypływu równe
Suma tych różnic równa się zmianie masy zawartej w objętości prostopadłościanu wskutek zmiany gęstości czyli Porównując równanie (32) z sumą równań (29 -31) otrzymamy po podzieleniu przez dx dy dz dt otrzymamy Jest to równanie ciągłości w formie Eulera dla ruchu płynu ściśliwego
Zapis równania (37) można uprościć stosując pojęcie dywergencji Otrzymując równanie w postaci Dla płynu nieściśliwego =const stąd lub a zatem równanie ciągłości jest równe
4. Równanie Bernoulliego Założenia: płyn nielepki, nieściśliwy, ruch jednowymiarowy, ustalony, prędkość jest stała w przekroju poprzecznym strugi.
Wydzielimy odcinek strugi zawarty między przekrojami 1 -1 i 2 -2, określimy energię mechaniczną cieczy w czasie dt. W czasie dt ciecz z przekroju 1 -1 przemieści się o do przekroju 1’-1’, a z przekrój 2 -2 o do 2’-2’. Całkowita energia mechaniczna płynu przepływającego przez przekrój 1 -1 w czasie dt składa się z: Ø energii potencjalnej położenia Ø energii potencjalnej ciśnienia, równej iloczynowi siły powierzchniowej i przesunięcia , czyli Ø energii kinetycznej masy czyli , poruszającej się z prędkością ,
Całkowita energia przepływająca w czasie dt przez przekrój 1 -1 wynosi (45) a przez przekrój 2 -2 (46) Ponieważ ruch odbywa się bez strat energetycznych, to: (47) zatem (48)
Po podzieleniu równania (48) obustronnie przez otrzymamy: (49) Równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci: (50) z – wysokość położenia danego przekroju , m – wysokość ciśnienia (bezwględnego) , m – wysokość prędkości , m
Po pomnożeniu równań (49 -50) obustronnie przez g otrzymamy: (51) (52) gz – wysokość położenia danego przekroju , Pa – ciśnienie statyczne , Pa – ciśnienie dynamiczne , Pa
5. Interpretacja geometryczna równania Bernoulliego
Przykład 2. W przykładzie 1 założyć, że ciśnienie na początku przewodu wynosi p 1=67 k. Pa. Obliczyć ciśnienie na końcu przewodu. Narysować rozkład ciśnień na długości przewodu. Ad. 1. Ciśnienie na końcu przewodu
Ad. 2. Rozkład ciśnienia na długości przewodu
Przykład 3. W pionowym rurociągu o średnicach d 1=50 mm i d 2=10 mm o długościach odpowiednio l 1=1000 mm, l 2=2000 mm przepływa woda o strumieniu objętości 0, 5 dm 3/s. Obliczyć 1) prędkości przepływu w przewodach, 2) różnicę ciśnienia pomiędzy początkiem, a końcem rurociągu, 3) strumień masy. Ad. 1. Prędkości w przewodach Ad. 2. Różnica ciśnienia pomiędzy początkiem, a końcem rurociągu
Ad. 3. Strumień masy
Przykład 4. Narysować interpretację geometryczną równania Bernoulliego dla przepływu oleju (gęstość =900 kg/m 3) o strumieniu masy qm=0, 8 kg/s przez przewód o średnicy d=15 mm, długości l=2 000 mm, nachylony pod kątem =30 . Ciśnienie bezwzględne na wlocie przyjąć p 1=80 k. Pa. Obliczenie wysokości prędkości Obliczenie wysokości ciśnienia w przekroju 1 -1 Obliczenie wysokości położenia przekroju 2 -2 Obliczenie wysokości ciśnienia w przekroju 2 -2
youtube. pl
- Portrety fazowe
- Zwężka bernoulliego
- Dział mechaniki lub temperament przebojowość
- Dopisz wyrazy podstawowe i pochodne według wzoru
- Cechy baz danych
- Bramki elektryczne
- Komunikacja jednokierunkowa
- Największe państwa
- Ułożenie sztućców
- Modele kolorów w grafice komputerowej
- Platforma wint odpowiedzi ratownictwo techniczne
- Co grozi za podrzucenie wirusa komputerowego
- Wykres poziomicowy
- Najstarszy przekład biblii
- Typy jednostek mieszkalnych
- Substancja podstawowa w alkacymetrii
- Barbara tomkowiak
- Kroki podstawowe fitness
- Talerz do podawania dań zasadniczych nazwa
- Jeszcze
- Testy osp odpowiedzi
- Podstawowe elementy zestawu komputerowego
- Zasady dobrego zachowania w internecie
- Jedynka trygonometryczna
- Figury geometryczne w przestrzeni
- Podstawowe gałęzie transportu
- Relacje w access
- Alu informatika
- Elementy podstawowego zestawu komputerowego
- Język romski zwroty
- Podstawowe instrukcje