PODSTAWY MECHANIKI PYNW Wykad Nr 5 Podstawowe rwnania

  • Slides: 30
Download presentation
PODSTAWY MECHANIKI PŁYNÓW Wykład Nr 5 Podstawowe równania mechaniki płynów - równanie Eulera, -

PODSTAWY MECHANIKI PŁYNÓW Wykład Nr 5 Podstawowe równania mechaniki płynów - równanie Eulera, - równanie ciągłości przepływu, - równanie Bernoulliego.

1. Równanie Eulera Siła masowa q(X, Y, Z) i powierzchniowa p. A działająca na

1. Równanie Eulera Siła masowa q(X, Y, Z) i powierzchniowa p. A działająca na element płynu dxdydz

Siła powierzchniowa działająca na element płynu Na ścianki płynu wzdłuż osi x działają składowe

Siła powierzchniowa działająca na element płynu Na ścianki płynu wzdłuż osi x działają składowe x, y, x siły powierzchniowej związane z ciśnieniem wewnątrz płynu wynoszące odpowiednio (1) przez analogie wzdłuż osi y i z (2) (3)

Składowe siły masowej działające na płyn: (4) (5) (6) Na poruszający się płyn działa

Składowe siły masowej działające na płyn: (4) (5) (6) Na poruszający się płyn działa wektor siły bezwładności (d’Alemberta) którego składowe wynoszą ,

Suma sił czynnych masowych i bezwładności w każdym dowolnym kierunku ruchu jest równa 0,

Suma sił czynnych masowych i bezwładności w każdym dowolnym kierunku ruchu jest równa 0, stąd po uproszczeniu otrzymamy

po podzieleniu przez ponieważ zmiana prędkości odbywa się w przestrzeni jak i w czasie

po podzieleniu przez ponieważ zmiana prędkości odbywa się w przestrzeni jak i w czasie uwzględniamy pochodną substancjalną równą

otrzymamy są to równania Eulera dla płynu doskonałego, które w zapisie wektorowym mają postać

otrzymamy są to równania Eulera dla płynu doskonałego, które w zapisie wektorowym mają postać

2. Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego 2 1 a wypływającego przez przekrój 2 -2: 2

2. Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego 2 1 a wypływającego przez przekrój 2 -2: 2 1 Masa płynu wpływającego w czasie dt przez przekrój 1 -1 wynosi

Różnica pomiędzy obu masami, jeśli jest różna od 0, musi równać się zmianie masy

Różnica pomiędzy obu masami, jeśli jest różna od 0, musi równać się zmianie masy płynu zawartego pomiędzy przekrojami 1 i 2 oddalonymi od siebie o ds. Zmiana ta spowodowana jest zmianą gęstości płynu. Po wymnożeniu oraz pominięciu wielkości małych wyższego rzędu otrzymamy lub po uwzględnieniu zasady różniczkowania iloczyn równanie przybiera postać Dla ruchu ustalonego (niezależnego od czasu) równanie przybiera postać

Czyli dla płynu ściśliwego równanie jest spełnione jeśli natomiast dla płynu nieściśliwego równanie jest

Czyli dla płynu ściśliwego równanie jest spełnione jeśli natomiast dla płynu nieściśliwego równanie jest spełnione jeśli Pierwsza wielkość nazywa się strumieniem masy, a równaniem ciągłości dla płynu ściśliwego Druga wielkość nazywa się strumieniem objętości, a równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego Z równań wynika, że

 • Jednostką strumienia objętości jest m 3/s, zatem strumień objętości pokazuje objętość płynu

• Jednostką strumienia objętości jest m 3/s, zatem strumień objętości pokazuje objętość płynu przepływającego w jednostce czasu. • Jednostką strumienia masy jest kg/s, zatem strumień masy pokazuje masę płynu przepływającego w jednostce czasu. • Strumień objętości i strumień masy powiązane są ze sobą poprzez gęstość płynu. Na podstawie strumienia masy lub strumienia objętości można zdefiniować średnią prędkość vśr w przekroju poprzecznym A (jeśli prędkość nie jest jednakowa)

Przykład 1. W liniowo rozszerzającym się przewodzie, średnica na jego początku wynosi d 1=10

Przykład 1. W liniowo rozszerzającym się przewodzie, średnica na jego początku wynosi d 1=10 mm, a na końcu d 2=50 mm. Wiadomo, że prędkość przepływu wody na końcu przewodu wynosi 0, 2 m/s. Obliczyć ile wynosi 1) prędkość na początku przewodu, 2) strumień objętości, 3) strumień masy 4) narysować wykres przedstawiający zmianę prędkości na długości przewodu. Ad. 1. Prędkość na początku przewodu Ad. 2. Strumień objętości Ad. 3. Strumień masy

Ad. 4. v=f(d)

Ad. 4. v=f(d)

3. Równanie ciągłości ruchu ogólnym (trójwymiarowym)

3. Równanie ciągłości ruchu ogólnym (trójwymiarowym)

Przez ściankę OABC (wzdłuż osi x) w czasie dt przepływa masa równa natomiast przez

Przez ściankę OABC (wzdłuż osi x) w czasie dt przepływa masa równa natomiast przez przeciwległą ściankę wypływa w tym samym czasie masa Różnica pomiędzy masą wpływającą do prostopadłościanu a wypływającą wynosi Podobnie postępujemy dla pozostałych dwóch par ścianek, otrzymując różnice mas wpływu i wypływu równe

Suma tych różnic równa się zmianie masy zawartej w objętości prostopadłościanu wskutek zmiany gęstości

Suma tych różnic równa się zmianie masy zawartej w objętości prostopadłościanu wskutek zmiany gęstości czyli Porównując równanie (32) z sumą równań (29 -31) otrzymamy po podzieleniu przez dx dy dz dt otrzymamy Jest to równanie ciągłości w formie Eulera dla ruchu płynu ściśliwego

Zapis równania (37) można uprościć stosując pojęcie dywergencji Otrzymując równanie w postaci Dla płynu

Zapis równania (37) można uprościć stosując pojęcie dywergencji Otrzymując równanie w postaci Dla płynu nieściśliwego =const stąd lub a zatem równanie ciągłości jest równe

4. Równanie Bernoulliego Założenia: płyn nielepki, nieściśliwy, ruch jednowymiarowy, ustalony, prędkość jest stała w

4. Równanie Bernoulliego Założenia: płyn nielepki, nieściśliwy, ruch jednowymiarowy, ustalony, prędkość jest stała w przekroju poprzecznym strugi.

Wydzielimy odcinek strugi zawarty między przekrojami 1 -1 i 2 -2, określimy energię mechaniczną

Wydzielimy odcinek strugi zawarty między przekrojami 1 -1 i 2 -2, określimy energię mechaniczną cieczy w czasie dt. W czasie dt ciecz z przekroju 1 -1 przemieści się o do przekroju 1’-1’, a z przekrój 2 -2 o do 2’-2’. Całkowita energia mechaniczna płynu przepływającego przez przekrój 1 -1 w czasie dt składa się z: Ø energii potencjalnej położenia Ø energii potencjalnej ciśnienia, równej iloczynowi siły powierzchniowej i przesunięcia , czyli Ø energii kinetycznej masy czyli , poruszającej się z prędkością ,

Całkowita energia przepływająca w czasie dt przez przekrój 1 -1 wynosi (45) a przez

Całkowita energia przepływająca w czasie dt przez przekrój 1 -1 wynosi (45) a przez przekrój 2 -2 (46) Ponieważ ruch odbywa się bez strat energetycznych, to: (47) zatem (48)

Po podzieleniu równania (48) obustronnie przez otrzymamy: (49) Równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci: (50)

Po podzieleniu równania (48) obustronnie przez otrzymamy: (49) Równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci: (50) z – wysokość położenia danego przekroju , m – wysokość ciśnienia (bezwględnego) , m – wysokość prędkości , m

Po pomnożeniu równań (49 -50) obustronnie przez g otrzymamy: (51) (52) gz – wysokość

Po pomnożeniu równań (49 -50) obustronnie przez g otrzymamy: (51) (52) gz – wysokość położenia danego przekroju , Pa – ciśnienie statyczne , Pa – ciśnienie dynamiczne , Pa

5. Interpretacja geometryczna równania Bernoulliego

5. Interpretacja geometryczna równania Bernoulliego

Przykład 2. W przykładzie 1 założyć, że ciśnienie na początku przewodu wynosi p 1=67

Przykład 2. W przykładzie 1 założyć, że ciśnienie na początku przewodu wynosi p 1=67 k. Pa. Obliczyć ciśnienie na końcu przewodu. Narysować rozkład ciśnień na długości przewodu. Ad. 1. Ciśnienie na końcu przewodu

Ad. 2. Rozkład ciśnienia na długości przewodu

Ad. 2. Rozkład ciśnienia na długości przewodu

Przykład 3. W pionowym rurociągu o średnicach d 1=50 mm i d 2=10 mm

Przykład 3. W pionowym rurociągu o średnicach d 1=50 mm i d 2=10 mm o długościach odpowiednio l 1=1000 mm, l 2=2000 mm przepływa woda o strumieniu objętości 0, 5 dm 3/s. Obliczyć 1) prędkości przepływu w przewodach, 2) różnicę ciśnienia pomiędzy początkiem, a końcem rurociągu, 3) strumień masy. Ad. 1. Prędkości w przewodach Ad. 2. Różnica ciśnienia pomiędzy początkiem, a końcem rurociągu

Ad. 3. Strumień masy

Ad. 3. Strumień masy

Przykład 4. Narysować interpretację geometryczną równania Bernoulliego dla przepływu oleju (gęstość =900 kg/m 3)

Przykład 4. Narysować interpretację geometryczną równania Bernoulliego dla przepływu oleju (gęstość =900 kg/m 3) o strumieniu masy qm=0, 8 kg/s przez przewód o średnicy d=15 mm, długości l=2 000 mm, nachylony pod kątem =30 . Ciśnienie bezwzględne na wlocie przyjąć p 1=80 k. Pa. Obliczenie wysokości prędkości Obliczenie wysokości ciśnienia w przekroju 1 -1 Obliczenie wysokości położenia przekroju 2 -2 Obliczenie wysokości ciśnienia w przekroju 2 -2

youtube. pl

youtube. pl