Podstawowe pojcia rachunku zda M Zdanie w logice

Podstawowe pojęcia rachunku zdań ©M

Zdanie w logice to wyrażenie, któremu jednoznacznie można przypisać jedną z dwóch ocen: zdanie jest prawdziwe lub zdanie jest fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1. Zdanie fałszywe ma wartość logiczną 0. Zdanie w logice matematycznej oznaczamy: p, q, r. . ©M

Przykłady Zdanie, wyrażenie Zdanie w sensie Wartość logiki logiczna matematycznej 6 jest liczbą parzystą tak Paryż jest piękny. nie 3 jest liczbą pierwszą tak 1 Grecja należy do NATO. tak 1 N C tak 0 160 jest dużą liczbą nie ©M 1

Jeżeli q oznacza zdanie : 8 jest liczbą dodatnią , to zaprzeczeniem ( negacją) jest zdanie : 8 nie jest liczbą dodatnią. Tabela wartości logicznych negacji. p p 1 0 0 ©M 1

Koniunkcją zdań nazywamy dwa zdania p, q połączone spójnikiem i. Tabela wartości logicznych koniunkcji. p q 1 1 1 0 0 ©M

Przykłady Liczba 30 dzieli się przez 5 i dzieli się przez 7. Wartość logiczna 1 Wartość logiczna 0 Zdaniem matematycznym, w którym szukamy prawdziwych koniunkcji, jest rozwiązywanie układów równań bądź nierówności. x N x 6 zapis równoważny x N x 6 rozwiązaniem układu jest zbiór ©M { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Interpretacja fizyczna Układ dwóch wyłączników połączonych szeregowo. Każdy z wyłączników może być włączony lub wyłączony. Przepływ prądu nastąpi tylko wtedy gdy oba wyłączniki są w stanie 1. Oba wyłączniki w stanie 0 Oba wyłączniki w stanie 1 ©M

Alternatywą zdań nazywamy dwa zdania p, q połączone spójnikiem lub. Tabela wartości logicznych alternatywy. p q 1 1 0 0 0 1 1 0 ©M

Przykłady NWD(16, 8)=8 NWW(16, 8)=32 Wartość logiczna 1 Wartość logiczna 0 Wartość logiczna 1 Nierówność a b jest skróconym zapisem alternatywy a>b a=b ©M

Interpretacja fizyczna Układ dwóch wyłączników połączonych równolegle. Przepływ prądu nastąpi tylko wtedy gdy którykolwiek z wyłączników zostanie włączony ( będzie w stanie 1). ©M

Implikacją zdań nazywamy zdanie złożone mające postać „ jeżeli p to q” gdzie p, q zdania w sensie logiki matematycznej. Zdanie p nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie q następnikiem implikacji. Tabela wartości logicznych implikacji. p 1 q 1 p q 1 1 0 0 0 1 1 ©M

Przykłady 5>3 Wartość logiczna 1 -5<-3 Wartość logiczna 1 W twierdzeniach zbudowanych w formie implikacji poprzednik nazywamy założeniem a następnik tezą twierdzenia. ©M

Równoważność zdań to zdanie złożone postaci „ p wtedy i tylko wtedy, gdy q”. Tabela wartości logicznych równoważności. p q 1 1 0 0 0 1 p q znaczy, że ( p q q p ) ©M

Przykłady -5 < 0 |-5| = -(-5) Wartość logiczna 1 Równoważność zdań stosujemy do definiowania pojęć np. x A B x A x B lub w twierdzeniach matematycznych np. Liczba n N jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr liczby n jest podzielna przez 3. ©M

Prawa rachunku zdań to zdania złożone, które można zapisać za pomocą spójników: , , i których wartość logiczna jest zawsze równa 1. ©M

Prawa de Morgana (p q ) (( p) ( q)) Zaprzeczenie koniunkcji jest równoważne alternatywie zaprzeczeń. ( p q) (( p) ( q)) Zaprzeczenie alternatywy jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń. ©M