PODOBNOS TROJUHOLNKOV Zopakujme si Zhodnos geometrickch tvarov Dva

PODOBNOSŤ TROJUHOLNÍKOV

Zopakujme si. . . Zhodnosť geometrických útvarov Dva útvary, ktoré môžeme premiestniť (aj prevrátiť, alebo otočiť) tak, aby sa kryli, nazývame zhodnými (U U ). 2. Znak zhodnosti. 3. Zhodné útvary majú zhodný tvar, odpovedajúce strany a uhly týchto útvarov sú zhodné. 4. Zhodné trojuholníky ABC a A B C majú zhodné odpovedajúce strany a odpovedajúce uhly. 1.

Zopakujme si. . . Vety o zhodnosti trojuholníkov Veta (sss) AB A B (c c ) BC B C (a a ) AC A C (b b ) ABC A B C Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých troch stranách sú zhodné.

Zopakujme si. . . Vety o zhodnosti trojuholníkov Veta (sus) AB A B (c c ) AC A C (b b ) uhol CAB uhol C A B ( ) ABC A B C Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom sú zhodné.

Zopakujme si. . . Vety o zhodnosti trojuholníkov Veta (usu) AB A B (c c ) uhol CAB uhol C A B ( ) Uhol ABC uhol A B C ( ) ABC A B C Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné.

Zopakujme si. . . Daná je úsečka AB, ktorej dĺžka je 9 cm. Zmeňte jej dĺžku v pomere k = 4: 3 nová pôvodná úsečka Riešenie: Novú úsečku označíme A B. V pomere je na 1. mieste veľkosť novej úsečky, veľkosť pôvodnej úsečky je na 2. mieste. Platí: AB . . . 3 diely. . . 9 cm 1 diel. . . 3 cm A B . . . 4 diely. . . 4. 3 = 12, teda A B = 12 cm Môžeme zapísať aj takto: A B = . AB = A B je z AB . 9 = 4. 9 : 3 = 12 A B = 12 cm (nová úsečka – zväčšená) Pomer k = > 1 – ide o zväčšenie.

Zopakujme si. . . Daná je úsečka BC, ktorej veľkosť BC = 10 cm. Zmeňte jej dĺžku v pomere. Riešenie: Novú úsečku označíme B C. Platí: BC . . . 5 dielov. . . 10 cm 1 diel. . . 2 cm B C . . . 2 diely. . . 2. 2 = 4, teda B C = 4 cm Alebo zapíšeme: B C =. BC = z BC . 10 = 2. 10 : 5 = 4, B C = 4 cm (nová úsečka - zmenšená) Pomer k = 1 – ide o zmenšenie.

Nové: Podobnosť geometrických útvarov Ø Dva geometrické útvary nazývame podobné, ak pomery dĺžok všetkých dvojíc odpovedajúcich si úsečiek týchto útvarov sa rovnajú. k 0; nazýva sa pomer alebo koeficient podobnosti. Body A , B , C . . . nazývame obrazy bodov A, B, C. . . v podobnosti s koeficientom (pomerom) k. ( - znak podobnosti)

Nové: Podobnosť geometrických útvarov Z definície podobnosti geometrických útvarov, vyplýva, že podobné sú napríklad: Ø každé dva štvorce, Ø každé dva rovnostranné trojuholníky, lebo sú dané jedným rozmerom (dĺžkou strany) Ø každé dva pravidelné šesťuholníky, Ø každé dve kružnice, lebo sú dané jedným rozmerom (polomerom)

Podobnosť štvorcov - do pomeru píšeme len jednu stranu, nebudeme písať 4 -krát to isté. vzor >1 a = 2 cm obraz Koeficient podobnosti k > 1, ide o zväčšenie a´ = 4 cm Podobnosť kružníc - do pomeru píšeme polomer kružnice. <1 vzor obraz r = 3 cm r´= 1, 5 cm > 0, Koeficient podobnosti k < 1, ide o zmenšenie k – koeficient (alebo pomer) podobnosti

Nové: Podobnosť trojuholníkov Ak sú dva trojuholníky ABC a A B C podobné, potom platí: vzor Z predošlého pre výpočet dĺžky strán vyplýva: (k – koeficient podobnosti) obraz a = k. a b = k. b c = k. c Pozor! Podobné trojuholníky majú vnútorné uhly zhodné: ; ; Zápis podobnosti trojuholníkov: ABC A B C ( znak podobnosti)

Nové: Vety o podobnosti trojuholníkov Veta „sss“ Dva trojuholníky sú podobné, ak pomery dĺžok každých dvoch odpovedajúcich si strán sa rovnajú. C´ C A B A´ B´ ABC A´B´C´

Nové: Vety o podobnosti trojuholníkov Veta „sus“ Každé dva trojuholníky, ktoré majú rovnaký pomer odpovedajúcich si strán a zhodujú sa v uhle, ktorý tieto strany zvierajú, sú podobné. C C´ ´ A´ A B B´ ´ ABC A´B´C´

Nové: Vety o podobnosti trojuholníkov Veta „uu“ Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch vnútorných uhloch, sú podobné. C C´ A B A´ ´ ´ ´, ´ ABC A´B´C´ Každé dva pravouhlé trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednom ostrom uhle, sú podobné. B´

Príklad č. 1: Daný je trojuholník ABC, ktorého strany sú dlhé a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm. Vypočítajte dĺžky strán trojuholníka A B C , ktorý je podobný s trojuholníkom ABC, ak koeficient podobnosti je k = 0, 5. Riešenie: Trojuholníky ABC a A B C majú byť podobné s koeficientom podobnosti k = 0, 5. Keďže k ˂ 1 , pôjde o zmenšenie. O stranách Δ A B C platí: a = k. a, b = k. b, c = k. c Na základe toho vypočítame dĺžky strán trojuholníka A B C : a = 0, 5. 6 = 3 cm b = 0, 5. 4 = 2 cm c = 0, 5. 8 = 4 cm Odpoveď: Trojuholník A B C má dĺžky strán a = 3 cm, b = 2 cm, c = 4 cm.

Príklad č. 2: Rozhodnite, či Δ ABC so stranami a =2 cm, b =4 cm, c =5 cm a Δ MNO so stranami m = 10 cm, n = 8 cm, o = 4 cm sú podobné. Riešenie: Je potrebné správne určiť dvojice odpovedajúcich strán (najmenšia z Δ ABC do pomeru s najmenšou z Δ MNO atď. ) a vypočítať koeficient podobnosti. k =2 ABC NMO Pozor! V náčrte použite farbičky, označte odpovedajúce strany rovnakými farbami. Z náčrtu je jasné, že obrazom vrcholu A (zelená a čierna strana) je vrchol N, obrazom vrcholu B (čierna a červená strana) je vrchol M atď. Odpoveď: Trojuholníky ABC a NMO sú podobné podľa vety (sss) s pomerom podobnosti k = 2.

Zhrnutie (tak po lopate) Ø Ak máme dané rozmery „vzoru“ a poznáme koeficient podobnosti k, a našou úlohou je určiť rozmery strán „obrazu“, vynásobíme pôvodné strany koeficientom. Ø Ak máme určiť koeficient podobnosti k, dĺžku strany „obrazu“ vydelíme dĺžkou strany „vzoru“. Ø Ak máme zistiť, či sú útvary podobné a poznáme dĺžky všetkých strán, vypočítame všetky podiely odpovedajúcich strán (koeficient podobnosti k). Ak sú všetky podiely rovnaké, útvary sú podobné. Ø Pozor, pri podobnosti útvarov sú vnútorné uhly zhodné! Veľkosti uhlov nezväčšujeme ani nezmenšujeme. Ø Ak máme dané rozmery „obrazu“ a koeficient podobnosti k, a našou úlohou je určiť rozmery strán „vzoru “, vydelíme strany „obrazu“ koeficientom.

Úlohy pre vás: Do zošita Ø Názov témy: Podobnosť trojuholníkov Ø Poznámky do zošita od snímky č. 8 do č. 16 Overenie pochopenia učiva: Hravá matematika Ø str. 92/ zopakujte si teóriu Ø str. 93 až str. 99 – vyriešte príklady Čas na vypracovanie: 30. 3. – 3. 4. 2020