PODOBNOS TROJUHOLNKA Mgr Lucia Ujhziov OBSAH 1 0

PODOBNOSŤ TROJUHOLNÍKA Mgr. Lucia Ujháziová

OBSAH 1. 0 Zhodnosť trojuholníkov 1. 1 Vety o zhodnosti trojuholníkov (Veta sss, sus, usu) 2. 0 Podobnosť geometrických útvarov 2. 1 Podobnosť trojuholníkov 2. 1. 1 Veta (sss) 2. 1. 2 Veta (sus) 2. 1. 3 Veta (uu) 3. 0 Literatúra

1. 0 Zhodnosť trojuholníkov Zopakujme si. . . 1. Dva útvary, ktoré môžeme premiestniť (aj prevrátiť na rub) tak, aby sa kryli, nazývame zhodnými (U U ). 2. Zhodné útvary majú zhodný tvar, odpovedajúce strany a uhly týchto útvarov sú zhodné. Zhodné trojuholníky ABC a A B C majú zhodné odpovedajúce strany a odpovedajúce uhly.

a a , b b , c c , , ABC A B C ( - znak zhodnosti)

1. 1 Vety o zhodnosti trojuholníkov Veta (sss) AB A B - c c BC B C - a a AC A C - b b ABC A B C Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých troch stranách sú zhodné.

Veta (sus) AB A B - c c AC A C - b b uhol CAB uhol C A B ABC A B C Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle medzi nimi určenom sú zhodné.

Veta (usu) AB A B - c c uhol CAB uhol C A B - Uhol ABC uhol A B C - ABC A B C Každé dva trojuholníky. Ktoré sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné.

Príklad č. 1: Daná je úsečka AB, ktorej dĺžka je 9 cm. Zmeňte je dĺžku v pomere k = 4: 3. Riešenie: Novú úsečku označíme A B. V pomere je na 1. mieste veľkosť novej úsečky, veľkosť pôvodnej úsečky je na 2. mieste. Platí: AB . . . 3 diely. . . 9 cm 1 diel. . . 3 cm A B . . . 4 diely. . . 4. 3 = 12, teda A B = 12 cm Z tohto výpočtu je zrejmé, že: A B je 4/3 z AB. Skrátene možno zapísať: A B = 4/3. AB = 4/3. 9 = 12 A B = 12 cm Pomer k = 4/3 > 1 – ide o zväčšenie.

Príklad č. 2: Daná je úsečka BC, ktorej veľkosť BC = 10 cm. Zmeňte jej dĺžku v pomere 2: 5. Riešenie: Novú úsečku označíme B C. Platí: BC . . . 5 dielov. . . 10 cm 1 diel. . . 2 cm B C . . . 2 diely. . . 2. 2 = 4, teda B C = 4 cm Skrátený zápis: B C = 2/5. BC = 2/5. 10 = 4, B C = 4 cm. Pomer k = 2/5 1 – ide o zmenšenie.

2. 0 Podobnosť geometrických útvarov Ø Dva geometrické útavry nazývame podobné, ak pomery dĺžok všetkých dvojíc odpovedajúcich si úsečiek týchto útvarov sa rovnajú. Ø Podobné sú napríklad každé dva štvorce, každé dve kružnice, každé dva rovnostranné trojuholníky, každé dva pravidelné šesťuholníky.

ZVÄČŠENIE k = a /a = 3 cm/1. 5 cm = = 2/1 1, k 1 ZMENŠENIE k = r /r = 1 cm/2 cm = = ½ < 1, k < 1

A B / AB = B C / BC = C D / CD =. . . = E C / EC = k Číslo A B / AB = k 0 sa nazýva pomer alebo koeficient podobnosti. Body A , B , C . . . nazývame obrazy bodov A, B, C. . . v podobnosti s koeficientom (pomerom) k.

Pripomeňme si. . . ü Pre k > 1 je úsečka A B väčšia ako úsečka AB – ide o zväčšenie. ü Pre 0 < k < 1 je úsečka A B menšia ako úsečka AB – ide o zmenšenie. ü Pre k = 1 odpovedajúce si úsečky A B a AB – sú zhodné.

2. 1 Podobnosť trojuholníkov a = k. a, b = k. b, c = k. c a /a = b /b = c /c = k Skrátený zápis: A B C ABC ( - znak podobnosti)

2. 1. 1 Veta (sss) v Dva trojuholníky sú podobné, ak pomery dĺžok každých dvoch odpovedajúcich si strán sa rovnajú. A B / AB = B C / BC = A C / AC ABC A B C

2. 1. 2 Veta (sus) v Každé dva trojuholníky, ktoré majú ten istý pomer dĺžok dvoch dvojíc odpovedajúcich si strán a zhodujú sa v uhle nimi určenom sú podobné. A B / AB = A C / AC , uhol BAC uhol B A C ABC A B C

2. 1. 3 Veta (uu) v Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch vnútorných uhloch sú podobné. uhol BAC uhol B A C , uhol ABC uhol A B C ABC A B C

v Z vety uu vyplýva veta o podobnosti pravouhlých trojuholníkov: Každé dva pravouhlé trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednom ostrom uhle sú podobné.

Príklad č. 3: Daný je trojuholník DAL, ktorého strany sú dlhé d = 6 cm, a = 4 cm, l = 8 cm. Vypočítajte dĺžky strán trojuholníka D A L , ktorý je podobný s trojuholníkom DAL, ak koeficient podobnosti je k = ¾. Riešenie: Trojuholníky DAL a D A L majú byť podobné s koeficintom podobnosti ¾, preto o ich stranách platí: d = ¾. d, a = ¾. a, l = ¾. l Na základe toho vypočítame dĺžky strán trojuholníka D A L : d = ¾. 6 cm = 4. 5 cm a = ¾. 4 cm = 3 cm l = ¾. 8 cm = 6 cm Odpoveď: Trojuholník D A L má dĺžku strán d = 4. 5 cm, a = 3 cm, l = 6 cm.

Príklad č. 4: Rozhodnite, či trojuholník ABC so stranami a = 3 cm, b = 1. 8 cm, c = 4. 2 cm a trojuholník DEF so stranami d = 5 cm, e = 3 cm, f = 7 cm sú podobné. Riešenie: d = k. a k = d/a = 5 cm/3 cm = 5/3 e = k. b k = e/b = 3 cm/1. 8 cm = 30/18 = 5/3 f = k. c k = f/c = 7 cm/ 4. 2 cm = 70/42 = 5/3 k = 5/3 ABC DEF Odpoveď: Pomer podobnosti je k = 5/3, preto sú trojuholníky ABC a DEF podobné podľa vety (sss).