Platonische Krper Ergnzung zum multimedialen bilingualen deutschenglisch Buch

Platonische Körper Ergänzung zum multimedialen, bilingualen (deutsch/englisch) Buch „Darstellende Geometrie/ 3 D-Geometry“ erschienen im Veritas Verlag: Lehrerversion Schülerversion ISBN - 978 -3 -7058 -9079 -4 ISBN - 978 -3 -7058 -9293 -4 Speziell für Lehrende aufbereitetes Werk: Übersichtlich gegliederte Printversion von Theorie und detailliert aufbereiteten Beispielen. Das Kernstück ist die beiliegende CD, mit Theorie und Beispielen in Form von animierten Power. Point. Präsentationen für einfaches und bequemes Lehren geometrischer Inhalte. Speziell für Studierende aufbereitetes Werk: Arbeitsblätter in Printversion mit beiliegender CD. Auf der CD befinden sich Theorie und Beispiele in Form von animierten Power. Point-Präsentationen, die einfaches und bequemes Lernen geometrischer Inhalte bzw. schrittweises Lösen von räumlichen Aufgaben ermöglichen. Für weitere Details und Bestellung 1

Platonische Körper sind die einzigen Polyeder, für die gilt: 1. Ihre Oberfläche besteht aus lauter kongruenten regelmäßigen Vielecken des gleichen Typs. 2. Alle Kanten dieser Körper sind gleich lang. 3. Von jedem Eckpunkt geht die gleiche Anzahl von Kanten und Flächen aus. 4. Sie sind konvex, d. h. es gibt keine einspringenden Ecken. Platonische Körper wurden von dem griechischen Mathematiker Platon (427 -347 v. Chr. ) und seinen Schülern untersucht. Platonische Körper sind sehr häufig in der Natur zu finden, besonders im Mikrokosmos. Es gibt nur 5 Platonische Körper: Tetraeder Oktaeder Hexaeder Dodekaeder Ikosaeder (Vierflächner) (Achtflächner) (octo (Sechsflächner) (Zwölfflächner) (Zwanzigflächner) (tettares = vier) = acht) (hex = sechs) (dodeka = zwölf) (eikosi = zwanzig) 2

Platonische Körper Je zwei platonische Körper sind zueinander dual. Das heißt: Wählt man die Flächenmittelpunkte aller Flächen eines platonischen Körpers, dann sind diese die Eckpunkte eines anderen platonischen Körpers. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual. Würfel und Oktaeder sind zueinander dual. Dodekaeder und Ikosaeder sind zueinander dual. 3

Platonische Körper Tetraeder 4 Ecken 6 Kanten 4 Flächen dual Oktaeder 6 Ecken 12 Kanten 8 Flächen dual Hexaeder Würfel 8 Ecken 12 Kanten 6 Flächen Dodekaeder 20 Ecken 30 Kanten 12 Flächen dual Ikosaeder 12 Ecken 30 Kanten 20 Flächen Der Eulersche Polyedersatz gilt für alle konvexen Polyeder: EEcken + FFlächen – KKanten = 2 Alle Platonischen Körper besitzen eine Umkugel, eine Inkugel und Kantenkugel. Eine Umkugel geht durch alle Ecken des Körpers. Eine Inkugel berührt alle Flächen des Körpers. Eine Kantenkugel berührt alle Kanten des Körpers. 4

Platonische Körper Außer diesen 5 Körpern gibt es keine anderen platonischen Körper. Netz eines Tetraeders Man kann 3 gleichseitige Dreiecke zu einer Raumecke falten und den Körper vervollständigen, dann erhält man ein. Netz eines Oktaeders Tetraeder. Man kann 5 gleichseitige Dreiecke zu einer Raumecke falten und den Körper vervollständigen, dann erhält man ein Ikosaeder. Man kann 4 gleichseitige Dreiecke zu einer Raumecke falten und den Körper vervollständigen, dann erhält man ein Oktaeder. Man kann 6 gleichseitige Dreiecke nicht mehr zu einer Raumecke falten. Netz eines Ikosaeders 5

Platonische Körper Außer diesen 5 Körpern gibt es keine anderen platonischen Körper. Netz eines Würfels Man kann 3 Quadrate zu einer Raumecke falten und den Körper vervollständigen, dann erhält man ein Hexaeder (einen Würfel). Man kann 4 Quadrate nicht mehr zu einer Raumecke falten. Netz eines Dodekaeders Man kann 3 regelmäßige Fünfecke zu einer Raumecke falten und den Körper vervollständigen, dann erhält man ein Dodekaeder. Man kann 4 regelmäßige Fünfecke nicht mehr zu einer Raumecke falten. Man kann auch 3 regelmäßige Sechsecke nicht mehr zu einer Raumecke falten. 6

Archimedische Körper Lässt man verschiedene Typen von Begrenzungsflächen zu, so erhält man die Archimedischen Körper. Diese können durch Eckenabschneiden aus den platonischen Körpern erzeugt werden. Es gibt 13 archimedische Körper. Der bekannteste davon ist wohl das abgestumpfte Ikosaeder – der Fussball. Abgestumpftes Tetraeder Abgestumpftes Hexaeder Abgestumpftes Oktaeder Abgestumpftes Dodekaeder Abgestumpftes Ikosaeder Weitere Archimedischen Körper können im Internet angesehen werden. Rhombenikosidodekaeder Abgestumpftes Kuboktaeder Rhombenkuboktaeder Ikosidodekaeder Abgestumpftes Ikosidodekaeder Abgeschrägtes Hexaeder Abgeschrägtes Dodekaeder 7