Platnova tlesa Pravideln mnohostny Konvexn mnohostn Vechny stny

Platónova tělesa

Pravidelné mnohostěny • Konvexní mnohostěn • Všechny stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky (K-úhelníky) • V každém vrcholu se stýká stejný počet hran (L hran)

Jaké pravidelné mnohostěny mohou existovat • • V … počet vrcholů S … počet stěn H … počet hran Pro každý konvexní mnohostěn platí Eulerova formule V + S = H +2

Existence pravidelných mnohostěnů • Dále platí vztahy z podmínek pro pravidelnost mnohostěnu – K. S = 2. E – L. V = 2. E S = 2 E/K V = 2 E/L • Po dosazení do Eulerovy formule 2 E/L + 2 E/K = E +2 1/L + 1/K = 1/E + 1/2

Jaká čísla K, L, E vyhoví vztahu 1/K+1/L = 1/E +1/2 • K a L jsou celá čísla větší nebo rovna 3 • Pro K = 3 – – L=3, E=6: 1/3+1/3 = 1/6+1/2 L=4, E=12: 1/3+1/4 = 1/12+1/2 L=5, E=30: 1/3+1/5 = 1/30+1/2 Pro L=>6 nelze vyhovět • Pro K = 4 – L=3, E=12: 1/4+1/3 = 1/12+1/2 – Pro L=>4 nelze vyhovět • Pro K = 5 – L=3, E=30: 1/5+1/3 = 1/30+1/2 – Pro L=>4 nelze vyhovět • Pro K => 6 nelze vyhovět ani pro L=3

Důkaz neexistence více než 5 ti pravidelných mnohostěnů • Z výše uvedených rovnic vyplývá, že nemohou existovat jiné pravidelné mnohostěny, než následující K L Hran Vrcholů Stěn 3 3 6 4 4 3 4 12 6 8 3 5 30 12 20 4 3 12 8 6 5 3 30 20 12 • Ještě není jasné, zda taková tělesa opravdu existují, musíme je zkostruhovat

Pravidelný 4 stěn • Má 4 3 -úhelníkové stěny, 4 vrcholy, v každém 3 hrany, celkem 6 hran

Pravidelný 4 stěn • Má 4 3 -úhelníkové stěny, 4 vrcholy, v každém 3 hrany, celkem 6 hran

Pravidelný 8 stěn • Má 8 3 -úhelníkových stěn, 6 vrcholů, v každém 4 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 8 stěn • Má 8 3 -úhelníkových stěn, 6 vrcholů, v každém 4 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 20 stěn • Má 20 3 -úhelníkových stěny, 12 vrcholů, v každém 5 hran, celkem 30 hran

Pravidelný 20 stěn • Má 20 3 -úhelníkových stěny, 12 vrcholů, v každém 5 hran, celkem 30 hran

Pravidelný 6 stěn • Má 6 4 -úhelníkových stěny, 8 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 6 stěn • Má 6 4 -úhelníkových stěny, 8 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 12 stěn • Má 12 5 -úhelníkových stěny, 20 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 30 hran

Pravidelný 12 stěn • Má 12 5 -úhelníkových stěny, 20 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 30 hran

Souřadnice vrcholů pravidelný 6 stěn, krychle • (± 1, ± 1) • A(1, 1, 1) B(-1, 1, 1) C(-1, 1) D(1, -1, 1) E(1, 1, -1) F(-1, 1, -1) G(-1, -1) H(1, -1) • Stěny ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, DAEH

Souřadnice vrcholů pravidelný 4 stěn, tetrahedron • A(1, 0, 0) B(0, 1, 0) C(0, 0, 1) D(1, 1, 1) • Stěny ABC, ABD, BCD, ACD

Souřadnice vrcholů pravidelný 8 stěn, octahedron • (± 1, 0, 0) (0, ± 1, 0) (0, 0, ± 1) • A(1, 0, 0) B(-1, 0, 0) C(0, 1, 0) D(0, -1, 0) E(0, 0, 1) F(0, 0, -1) • Stěny ACE, AED, ADF, AFC, BCE, BED, BDF, BFC

Souřadnice vrcholů pravidelný 12 stěn, dodecahedron • Φ = (1+√ 5)/2 ≈ 1. 618 „zlatý řez“ • (± 1, ± 1) (0, ± 1/Φ, ±Φ) (± 1/Φ, ±Φ, 0) (±Φ, 0, ± 1/Φ)

Souřadnice vrcholů pravidelný 20 stěn, icosahedron • Φ = (1+√ 5)/2 ≈ 1. 618 „zlatý řez“ • (± 1, ±Φ, 0) (0, ± 1, ±Φ) (±Φ, 0, ± 1)