Planul Semiplanul Introducere Cu siguran ai fost cel

Planul. Semiplanul Introducere

• Cu siguranță ați fost cel puțin o dată într-o poieniță cu flori. Să ne imaginăm că ne aflăm acolo. Dacă ne uităm în fața noastră, vedem fie vreun copac, fie vreo casă, sau, cel puțin, undeva ni se pare că Pământul și cerul se întâlnesc printr-o linie. Oare Pământul și cerul chiar se întâlnesc vreodată? Răspunsul este negativ. Dacă există pe această câmpie vreun copac, sau vreo casă și mergem în acel loc, ce vom vedea de acolo?

Acolo, exact în acel loc, se termină câmpia respectivă? Nu, dacă privim din nou înainte, vom observa alți copaci, de exemplu, sau dealuri, munți etc. Ne putem pune următoarea întrebare: Pământul, oare, se sfârșește vreodată? Nu. Care este concluzia pe care o putem desprinde? Pământul este nesfârșit, nemărginit, nu există capătul Pământului. La o suprafață nemărginită, la matematică, i se va spune suprafață infinită. Cum Pământul și cerul nu se întâlnesc niciodată, se mai spune că “se întâlnesc la infinit”.

Definiția planului, reprezentare, notatie O suprafață care ar semăna cu o câmpie, adică o suprafață în general netedă, o vom numi-o în limbaj matematic, o suprafață plană, sau, pur și simplu, un plan. Planul întotdeauna este nemărginit.

Vom reprezenta totuși planul la matematică întotdeauna printr-un paralelogram, chiar dacă, așa cum am spus, planul este nemărginit, iar paralelogramul are patru laturi. Paralelogramului îi vom hașura două dintre laturi, tocmai pentru a arăta că este nemărginit.

Planele se notează cu litere mici din alfabetul grecesc. Una dintre aceste litere este α (se numește alfa, adica litera a, din limba română. Putem ține minte că alfa înseamnă a, deoarece cuvântul “alfa” începe cu a). Alte litere folosite pentru notația planelor sunt β (beta), γ (gama), δ (delta).

Semiplanul. Introducere Să ne imaginăm România ca o câmpie nemărginită, (chiar dacă are pe teritoriul ei Munții Carpați). După cum se știe de la geografie, România are o mare porțiune de graniță fluviul Dunărea, care se varsă, prin brațele Chilia, Sulina si Sfântul Gheorghe, adică prin Delta Dunării, în Marea Neagră. România este formată din mai multe regiuni: Oltenia, Muntenia, Transilvania, Moldova și Dobrogea. Între Oltenia și Transilvania se găsesc Munții Carpați. Așa cum am precizat, dacă privim România ca pe un plan, Oltenia, Muntenia, Transilvania, Moldova și Dobrogea pot fi considerate ca “părți” din acest plan. Aceste“părți” din plan vor fi cunoscute sub numele de semiplane.

Dacă ne punem problema ce ar însemna cuvântul semiplan, acesta este format din două părți: semi, sau jumătate și plan, deci un semiplan ar reprezenta o “jumătate” dintr-un plan, sau, în limbaj matematic, porțiune dintr-un plan. Dacă Oltenia si Transilvania ar reprezenta două dintre semiplane, Munții Carpați ar reprezenta granița (frontiera) lor.

Definitia semiplanului Un semiplan, in limbaj matematic, este o porțiune dintrun plan. Semiplanul întotdeauna are o frontiera.

Notiunea de segment In orice regiune a României, deci, de exemplu, în Oltenia, exista foarte multe localități. Să considerăm, de exemplu, orașele Craiova și Slatina. Dacă ne gândim că distanța dintre aceste două orașe o putem reprezenta printr-o linie, aceasta va avea ”capetele” C, de la Craiova și S, de la Slatina. Această dreaptă se va numi segment.

Clasificarea segmentelor Segmentele pot fi închise, deschise și închise la un capăt și deschise la celălalt. Pentru a înțelege conceptul de segment închis, să ne imaginăm că plecăm dimineața de acasă la școală. Distanța de acasă la școală este, putem spune, aproximativ aceeași, dacă, de exemplu, măsurăm drumul de la ușa casei la ușa clasei, sau de la ușa scării de bloc (sau poarta casei) la intrarea în școală. Totuși, între ușa casei și ușa scării de bloc avem o distanță de câțiva metri.

Aceeași distanță este între ușa clasei și intrarea în școală. Raportat la distanța de acasă la școală, care este de cel puțin 50 – 100 de metri, o diferență de câțiva metri este nesemnificativă, dar totuși există. Dacă am măsura lungimea distanței (segment) de acasă la școală chiar de la ușa casei la ușa clasei, acest segment este un segment închis, adică cuprinde inclusiv “capetele” (ușa casei, respectiv ușa clasei), iar dacă am măsura lungimea distanței (segment) de acasă la școală de la ușa scării de bloc la intrarea în școală, acest segment este un segment deschis, adică nu conține “capetele”.

În baza celor precizate, putem considera segmentul CS ca fiind un segment închis. Cu explicații similare, un semiplan care conține și frontiera se numește semiplan închis, iar dacă nu conține frontiera, se numește semiplan deschis.

Un astfel de “semiplan” l-ar putea reprezenta regiunea Oltenia, care conține, de exemplu, punctul C (Craiova) și Munții Carpați. Dacă semiplanul închis [d. A nu ar conține frontiera d, atunci se numește semiplan deschis și se notează (d. A.

Aplicatie Vom rezolva, în cele ce urmează, o aplicație, în care vom aplica toate aceste noțiuni. Se consideră un plan α, patru puncte A, B, C, D, care aparțin planului α și o dreaptă a, în acest plan, ca în desenul alăturat:

Să se afle valoarea de adevăr a următoarelor propoziții: a) a � α; b) [AB] � α; c) a � [a. C; [CD] ϵ α. Pentru a determina valoarea de adevăr a unei propoziții, stabilim mai intâi când ar fi propoziția respectivă adevărată. a) Atât semnul “ϵ” (“aparține”), cât și semnul “�” (“inclus”) înseamnă, într–un limbaj comun, “se găsește”. Semnul “ϵ” se folosește numai pentru puncte, iar semnul “�”, pentru segmente, semidrepte, plane, semiplane. Cum dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului, a este o dreaptă. Astfel, putem folosi pentru a semnul “�” , deci a este o propoziție adevărată.

b) [AB] este un segment închis, astfel că putem folosi semnul “�”. Cum segmentul închis [AB] se găsește pe dreapta a, înseamnă că propoziția este o propoziție adevărată. c) [a. C fiind un semiplan închis, vom folosi semnul “�”. Cum semiplanul [a. C conține frontiera a, este o propoziție adevărată. d) Ne punem întrebarea ce semn s-ar folosi în mod corect în cazul unui segment. [CD] fiind un segment închis, utilizăm semnul “�”. Pe de o parte, propoziția este falsă, deoarece nu folosim semnul “ϵ” , iar, pe de altă parte, segmentul închis [CD] nu se găsește pe dreapta a.

Multumesc pentru atentie!