Plan de la prsentation du chapitre II 23012022

Plan de la présentation du chapitre II 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 1

Introduction Symétrie cristalline Opération de symétrie Elément de symétrie Groupes d’orientation Axes propres: n= 1, 2, 3, 4, 6 23/01/2022 7 systèmes cristallins Groupes de position 4 modes de Bravais Axes hélicoïdaux: nt= 2 t, 3 t, 4 t, 6 t plan de glissement a, b, c, d, e…… Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 2

II-1 - Notions de base de la symétrie cristalline II-1 -1 - groupe: On appelle groupe tout ensemble non-vide G muni d’une loi de composition interne * , vérifiant les 4 propriétés suivantes: q la loi ∗ est associative dans G: rappelons que cela signifie que : x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z pour tous x, y, z ∈ G. q la loi ∗ admet un élément neutre dans G: rappelons que cela signifie qu’il existe e ∈ G tel que : x ∗ e = e ∗ x = x pour tout x ∈ G. q tout élément de G doit avoir un inverse dans G pour la loi ∗ : rappelons que cela signifie que, pour tout x ∈ G, il existe x-1 ∈ G tel que x ∗ x-1 = x-1 ∗ x = e. q le produit par cette loi ∗ de deux éléments de G est un élément de G: rappelons que cela signifie que x, y ∈ G, il existe z ∈ G tel que: x ∗ y = z. II-1 -2 - Groupe abélien: On appelle groupe commutatif, ou groupe abélien, tout groupe G dont la loi vérifie de plus la condition supplémentaire de commutativité: x ∗ y = y ∗ x pour tous x, y ∈ G. 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 3

II-1 - Notions de base de la symétrie cristalline II-1 -3 - ordre d’ 1 groupe: on appelle ordre d’ 1 groupe le nbre d’élément contenu dans cette groupe. II-1 -4 - ordre d’ 1 élément: pour tout x ∈ G, on appelle ordre d’ 1 élément le plus petit nbre entier (s) tel que xs =E=1. exple: (C 2)2 =E=1; (C 3)3 =E=1; (C 4)4 =E=1. II-1 -5 - Classe d’élément de symétrie- éléments conjugués: soit x, y, z ∈ G, on dit que x est conjugué avec y si la relation suivante est vérifiée: z=y*x*y-1 x et y forment une classe d’élément de symétrie. Si le groupe est abélien chaque élément de G forme une classe à lui tant seul. en effet : y*x*y-1 =x*y*y-1 *x=E*x=x II-1 -6 - Sous groupe : si une partie des éléments de G forme elle-même un groupe, alors cet ensemble est un sous groupe d’un groupe G. exple : C 2 est un sous groupe de C 4 et C 6; C 3 est un sous groupe de C 6 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 4

II-1 - Notions de base de la symétrie cristalline II-1 -7 - Opération de symétrie: L’opération de symétrie est 1 opération qui amène l’objet en coïncidence avec lui-même: soit dans 1 position identique soit dans 1 position équivalente. II-1 -8 - Élément de symétrie: est 1 être géométrique (point, droite ou plan) qui sert à définir opération de symétrie. II-1 -9 - Axe principale: c’est l’axe propre qui a l’ordre le plus élevé. exple: sys. cubique 4; sys. monoclinique 2; sys. triclinique 1; Sys. Trigonal 3. II-1 -10 - Plan vertical: c’est le plan qui contient l’axe principale d’ordre n. on le note m. II-1 -11 - Plan horizontal: c’est le plan qui est perpendiculaire à l’axe principale d’ordre n. on le note n/m. exple: 2/m; 4/m; 6/m. II-1 -12 - Groupe ponctuel: l’ensemble des opérations du symétrie d’un système forme un groupe ponctuel. Le groupe est dit ponctuel si tous les éléments de symétrie laissent invariant un point du système. 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 5

II-1 - Notions de base de la symétrie cristalline Opération de symétrie Elément de symétrie Symbole selon Schonflies Symbole selon Hermann Mauguin Identité Axe de symétrie E 1 Rotation Axe de symétrie Cn ou An n= 2; 3; 4; 6 inversion Point ou centre de symétrie i Rotation inversion Axe de symétrie +centre de symétrie Sn Réflexion Plan de symétrie σ Axe hélicoïdal Translation suivie rotation ou rotation inversion Plan de glissement Translation suivie réflexion 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux m a; b; c; a +b…… 6

II-2 - Symétries de groupes ponctuels 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 7

II-2 - Symétries de groupes ponctuels K 2 1 0 -1 -2 COS 2π/n 1 1/2 0 -1/2 -1 2π/n 2π 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2 n 23/01/2022 1 6 4 3 2 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 8

II-2 - Symétries de groupes ponctuels II-2 -1 - Axe propre n: II-2 -1 -1 - Définition: on appelle axe de rotation d’ordre n tout axe autour du quel une rotation de 2π/n donne une figure équivalente à celle de départ. L’axe d’ordre n engendre n opérations de symétrie distinctes symbolisées par nk rotation 2πk/n autour de l’axe n avec 1≤k≤n. nk=n 1; n 2, n 3; …. . ; nn. Exple: 2 parallèle à l’axe z L’opérateur 2 (axe binaire) transforme le point p (r, θ, φ) au point p’(r, θ, φ + π). 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 9

II-2 - Symétries de groupes ponctuels II-2 -1 -2 - Représentation graphiques d’axes propres n: L’axe d’ordre 1 correspond à l’opération identité. les autres axes sont représentés dans les diagrammes par des symboles graphiques (tableau suivant). Ces symboles des axes 2, 3, 4, 6 sont respectivement une ellipse, un triangle équilatéral, un carré et un hexagone régulier. Ils correspondent à des axes perpendiculaires au plan de la figure. L’axe 2 est quelquefois parallèle au plan de la figure. Il est alors représenté par une flèche qui indique sa position et sa direction. Axe n Représentation graphique d’un axe perpendiculaire au plan du dessin Terminologie 23/01/2022 1 2 3 4 6 Axe ternaire Axe quaternaire Axe sénaire Perpendiculaire au plan Néant Parallèle au plan Identité Axe binaire Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 10

II-2 - Symétries d’orientation 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 11

II-2 - Symétries de groupes ponctuels Représentation graphique d’un axe perpendiculaire au plan du dessin Perpendiculaire au plan Parallèle au plan Interprétation Positions équivalentes 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 12

II-2 - Symétries d’orientation II-2 -3 - La projection stéréographique Une représentation commode des éléments de symétrie d’un cristal est leur projection stéréographique. On choisit une sphère de centre O et de rayon R. On l’oriente par un axe Nord-Sud. Le plan équatorial sera le plan de projection. Tout point de l’hémisphère nord sera représenté par l’intersection avec le plan équatorial de la droite issue du pole sud et joignant le point à projeter et réciproquement pour les points de l’hémisphère sud avec la droite issue du pole nord. Principe de la PS: Si on dispose un cristal au centre O de la sphère de manière que son axe de plus grande symétrie soit suivant NS. Si on dispose ses dimensions négligeables devant R. les différents éléments de symétrie sont issus de O. Dans le plan de projection, on projette ce qui est en haut par une croix (X), ce qui est en bas par un rond (O). Les axes coupent la sphère en des points. Les miroirs la coupent suivant des cercles. Les plans diagonaux dans le système cubique la coupe suivant des cônes. Les projections stéréogrammes permettent ainsi de voir Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 23/01/2022 13 tous les éléments de symétrie et leurs disposition, donc déduire le groupe ponctuel.

II-2 - Symétries d’orientation II-2 -3 -1 - Exemples de la projection stéréographique des axes propres et impropres: Axe n 1 2 3 4 6 Projection stéréographique (Fig. II-9) 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 14

II-2 - Symétries d’orientation II-2 -3 -1 - Exemples de la projection stéréographique des classes cristallines : m, 1 m, 2 mm, 3 m, 4 mm et 6 mm: 1 m: un miroir perpendiculaire au plan du dessin 2 mm: l’axe d’intersection de deux miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 2. 3 m: l’axe d’intersection de trois miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 3. 4 mm: l’axe d’intersection de quatre miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 4. 6 mm : l’axe d’intersection de six miroirs perpendiculaires au plan du dessin est un axe de rotation direct d’ordre 6. Combinaison d’axes propres et impropres 1 m 2 mm 3 m 4 mm Projection stéréographique (Fig. II-10) 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 15

II-2 - Symétries d’orientation II-2 -3 -1 - Exemples de la projection stéréographique des classes cristallines : 222, 32, 422 et 622. 2: axe de rotation direct perpendiculaire au plan du dessin. 222: deux axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan (un suivant ox et l’autre suivant oy) et leur intersection est un axe d’ordre 2 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz. 32: trois axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan et un axe de rotation direct d’ordre 3 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz. 422: quatre axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan et un axe de rotation direct d’ordre 4 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz. 622: six axes de rotation direct d’ordre 2 dans le plan et un axe de rotation direct d’ordre 6 perpendiculaire au plan du dessin et dirigé suivant oz. Combinaison d’axes propres et impropres 222 32 422 Projection stéréographique 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 16

II-2 - Symétries d’orientation II-2 -3 -2 - Représentation et répartition des trente deux classes cristallines: Les axes de symétrie sont orientés selon les directions des axes du système de coordonnées du système considéré. Pour les miroirs, c’est la direction de la normale au plan qu’est prise en compte. Dans les systèmes possédant un axe de symétrie d’ordre supérieur à 2, (axe principal) la direction de l’axe z est celle de l’axe de symétrie d’ordre le plus élevé du groupe. Les classes du système trigonal font exception à cette règle. Les trente deux classes cristallines sont réparties sur les 7 systèmes cristallins comme suit: Système Triclinique Groupes ponctuels (classes cristallines) 23/01/2022 Monoclinique Orthorhombique Trigonal Tétragonal Héxagonal Cubique ������ , 2/�� Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 17

II-3 - Symétries de position 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 18

II-3 - Symétries de position Les translations égales ou multiples du paramètre sont considérées comme des opérations identité. Seules nous intéressent égales à une fraction de paramètre. Donc : 0<t<n. II-3 -1 -1 - Etudes différents axes hélicoïdaux: Nous utiliserons comme précédemment la projection notée. Chaque position (ou atome) de la maille située à une cote z positive par rapport à l’origine sera désignée par +. Le paramètre de l’axe sera pris pour unité. Les translations seront des fractions d’unité qui vont caractériser les différentes positions obtenues par symétrie. L’axe est normal au plan de la feuille (où se trouve l’origine). D’autre part, les seuls axes possibles dans les figures périodiques infinies sont les axes d’ordre 2, 3, 4 et 6. 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 19

II-3 - Symétries de position 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 20

II-3 - Symétries de position 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 21

II-3 - Symétries de position 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 22

II-3 - Symétries de position Représentation et positions équivalentes 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 23

II-3 - Symétries de position II-3 -2 - Les plans de glissement L’opération plan de glissement est une symétrie par rapport à un plan (miroir) suivie nécessairement d’une translation suivant une rangée parallèle à ce plan. Comme pour les axes hélicoïdaux, il y a une stricte limitation des translations possibles, qui est due au caractère périodique de la figure ci après. Partant de la position I, on aboutit à une position II. Si maintenant on applique l’opération à la position II, on doit retrouver la position I décalée d’un paramètre. Par conséquent la translation est nécessairement égale à la moitié de la période de la rangée considérée. 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 24

II-3 - Symétries de position II-3 -2 -1 -Symboles et nature des plans de glissement Etant donné une maille de paramètres linéaires a, b, c, les translations seront données dans le tableau suivant : Symbole Nature de la translation m a b c n (c/2) le long de (a+b)/2 ou Plan (a/2) (b/2) z; (a+b+c)/2 le (b+c)/2 ou ordinaire, le le long de la (a+c)/2 ou sans long direction [111] (a+b+c)/2 translation de x de y en axes (quadratique rhomboédriques. et cubique) 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux d (a ± b)/4 ou (a ± c)/4 ou (b ± c)/4 ou (a ± b ± c )/4 (quadratique et cubique) 25

II-3 - Symétries de position II-3 -2 -2 - Représentations graphiques et symboles Les plans de glissement ont pour symboles des lettres et pour symboles graphiques des traits continus ou discontinus comportant parfois des flèches. Fixant ainsi le type de plan, et sa disposition dans la maille. Comme pour les axes hélicoïdaux, on notera que le nombre d’opérations de symétrie est le même pour le miroir et le plan de glissement. Les plans de glissement a, b, c sont dits axiaux, les plans n sont dits diagonaux, les plans d sont appelés plans de glissement du diamant. 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 26

II-3 - Symétries de position 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 27

II-3 - Symétries de position 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 28

II-3 - Symétries de position 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 29

II-3 - Symétries de position 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 30

II-3 - Symétries de position II-3 -2 -4 - Symbole du groupe spatial : C’est le même que celui du groupe ponctuel dont il dérive, corrigé ou complété par des indications relatives aux opérations de symétrie avec translation : La première lettre indique le type de réseau : P, I, F, A, B, C ou R Des axes de rotations sont parfois remplacés par axes hélicoïdaux Des miroirs sont parfois remplacés par des plans de glissement. exemples: comment lire le symbole suivant ���� /�� �� -P majuscule désigne un groupe spatial à 3 dimensions, -Dont les opérateurs de symétrie sont ceux de la classe cristalline 2/m, mais où l’axe binaire s’est transformé en axe hélicoïdal �� , �� -le système compatible avec �� /�� est le système monoclinique, -et le mode de réseau est le mode primitif de ce système monoclinique. 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 31

II-3 - Symétries de position II-3 -2 -4 - Symbole du groupe spatial : Le tableau donne des exemples simples de groupes spatiaux qui ont en dérivent. Tableau : groupes ponctuels et les groupes spatiaux correspondants. Système Mode de réseau Groupes ponctuels (classes cristallines) Groupe spatial Triclinique Monoclinique P P �� ���� 23/01/2022 Orthorhombique Héxagonal P �� /�� �� ���� /�� �� �� Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux P Cubique P �� /������ �� 32

II-3 - Symétries de position II-3 -2 -4 - Symbole du groupe spatial : Le dénombrement des groupes spatiaux à 3 dimensions est abouti au nombre de 230 groupes. Il décrive les 230 manières différentes d’arranger régulièrement dans l’espace des éléments de symétrie relatifs à des figures périodiques infinies tridimensionnelles. Ici encore, le groupe spatial résulte de la combinaison d’un mode de réseau avec un ”groupe ponctuel” appartenant au même système. Les 230 groupes spatiaux sont décrits dans les ”tables Internationales de cristallographie ” et ils sont réparties sur les 7 systèmes cristallins comme suit: 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 33

II-3 - Symétries de position 23/01/2022 Chapitre II: Symétrie, Groupes ponctuels et spatiaux 34

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