Pitagoras i jego dokonania Opracowaa mgr Elbieta Pitka

Pitagoras i jego dokonania Opracowała: mgr Elżbieta Piętka

Śladami Pitagorasa Ten grecki matematyk pochodził z wyspy Samos (580 – 496 p. n. e. ). Wielki wpływ na rozwój jego myśli miał pobyt w Egipcie. Najbardziej twórczy okres swego życia spędził w Krotonie i tam też powstała filozoficzna szkoła pitagorejska. Trudno oddzielić jego odkrycia od dokonań jego uczniów. Badania pitagorejczyków przyczyniły się do wspaniałego rozwoju geometrii oraz teorii liczb. .

Ø Gwiazda pitagorejska Ø Trójkąt egipski Ø Trójkąty pitagorejskie Ø Twierdzenie Pitagorasa i jego dowód Ø Inne dokonania Pitagorasa Ø Zadania .

Gwiazda pitagorejska Umiłowaną figurą geometryczną pitagorejczyków był pentagram. Jest to prawidłowy pięciokąt, którego boki są przedłużone w obie strony i tworzą pięciokąt gwiaździsty. Suma kątów pentagramu wynosi W pentagramie mamy doczynienia ze złotym podziałem. .

Złoty podział (a + b) : a = a : b Podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. .

a Złote cięcie znajduje się we wszystkich punktach skrzyżowania promieni pentagramu. b a .

Trójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5 nazywamy trójkątem egipskim. W Egipcie używano go do wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu. .

Trójkąt egipski 5 3 Pitagoras przekazał nam związek między bokami trójkąta egipskiego: 4 Pole trójkąta egipskiego wynosi 6, a więc liczbie kolejnej po trzech liczbach oznaczających długości boków. Ponadto.

Trójkąt o bokach 3, 4 i 5 uważany był w Starożytności za figurę magiczną. 3 5 4 W słynnej piramidzie Cheopsa tak zwana komnata królewska ma wymiary w sposób szczególny związane z liczbami 3, 4, 5. .

Trójkąty prostokątne, których boki są wyrażone liczbami naturalnymi nazywamy trójkątami pitagorejskimi Oto kilka trójkątów pitagorejskich: 5, 12, 13; 15, 8 , 17; 7, 24, 25; Pitagoras obmyślił też regułę odnajdywania liczb naturalnych dla swych trójkątów: 2 2 n+1, 2 n(n+1), 2 n +2 n+1, gdzie n jest liczbą naturalną.

Są inne, znacznie późniejsze wzory odnajdywania liczb wyrażających boki w trójkątach pitagorejskich. m, n są liczbami naturalnymi , m >n

Twierdzenie Pitagorasa Kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równa się sumie kwadratów przyprostokątnych. c a b Uwaga: Pitagoras nie był odkrywcą tej własności, ale pierwszy zdołał to udowodnić.

Ilustracja geometryczna c b 2 2 a 2 Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. .

Dowód twierdzenia Pitagorasa Obecnie twierdzenie to udowodnione jest na ponad sto sposobów. .

a + b c b a Inny dowód twierdzenia Pitagorasa.

Suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat. . . . . A oto ilustracja geometryczna tego spostrzeżenia. .

Liczba nieparzysta jest różnicą dwu kwadratów. . . A oto ilustracja geometryczna tego spostrzeżenia. .

Liczby doskonałe Liczbami doskonałymi nazywali pitagorejczycy takie liczby, w których suma podzielników (bez danej liczby) równa się tej liczbie. 6 = 1 + 2 +3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 Dzisiaj w dobie komputerów jest znanych ponad 40 liczb doskonałych (ostatnia ma ponad 19 milionów cyfr).

Liczby zaprzyjaźnione Gdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel? ” odpowiedział: „Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”. Dwie liczby są zaprzyjaźnione, jeżeli suma dzielników każdej z nich (bez niej samej) równa się drugiej liczbie czyli zaprzyjaźnionej. 220 = 1 +2 + 4 + 71 + 142 , to są dzielniki liczby 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 Składniki tej sumy są dzielnikami liczby 220 .

Drugim wielkiej doniosłości twierdzeniem geometrycznym przypisywanym Pitagorasowi jest twierdzenie o sumie kątów trójkąta. .

Pitagoras uznawany jest powszechnie za twórcę pierwszych zasad budowy wielościanów foremnych, które nazwał figurami kosmicznymi ikosaedr oktaedr dodekaedr tetraedr hekasedr

Zadanie 1 Tam za murem dziewczyna, a pod ręką drabina, co pięć metrów długości ma. W fosie krążą rekiny. Żal przecudnej dziewczyny, co za murem z rozpaczy łka. Czy zwykłemu chłopczynie na wspomnianej drabinie te przeszkody pokonać się da? Dane wierszyk pominie. Znajdziesz je przy rycinie. Policz sprytnie. Odpowiedz raz dwa!.

Rozwiązanie: 5 m . Odpowiedź: Drabina jest za krótka.

Zadanie 2 Czy lustro o wymiarach 2, 20 m x 2, 20 m można przenieś przez drzwi o wymiarach 1 m x 2 m? .

Rozwiązanie: p . Odpowiedz: Lustro można przenieść przez drzwi.

Celem dalszego poznania dokonań Pitagorasa odsyłam do ciekawej książki S. Jeleńskiego p. t. „Śladami Pitagorasa” Dziękuję za uwagę.