Piramide Piramide su dobile ime po jednoj grkoj

Piramide

• Piramide su dobile ime po jednoj grčkoj slastici zvanoj pyramis. Ogromna su zdanja, te kraljevske grobnice, imala isti oblik kao grčki mali kolači pa su ih Grci koji su posjećivali Egipat u šali tako zvali. Ime je ostalo do danas.

• Piramida je uglato geometrijsko tijelo koje je omeđeno jednim mnogokutom (bazom ili osnovkom) i trokutima koji imaju jedan zajednički vrh (pobočjem). • Bazu i pobočke jednim imenom zovemo stranama piramide.

Piramida • h – duljina visine • a – duljina pobočka piramide osnovnog brida • b – duljina h pobočnog brida v b • d – duljina d dijagonale baze a • v – duljina visine osnovka (baza) pobočke piramide

• Zajednički vrh svih pobočaka zove se vrh piramide. • Visina piramide je dužina povučena iz vrha piramide okomito na ravninu baze. • Pravilna piramida je piramida kojoj je baza pravilni mnogokut, a nožište visine (ortogonalna projekcija vrha) je upravo u središtu opisane kružnice mnogokuta. • Sve pobočke pravilne piramide sukladne su i svi pobočni bridovi pravilne piramide međusobno su jednakih duljina.

1. Među predmetima na slici pronađi piramide.

2. Koji je mnogokut baza peterostrane piramide?

3. a) Koliko strana ima četverostrana piramida? b) Koliko je baza (osnovki)? • c) Koliko je pobočki?

4. Nacrtaj mrežu pravilne trostrane piramide s osnovnim bridom duljine a = 3. 5 cm i pobočnim bridom duljine b = 5 cm.

5. Dovrši mrežu piramide. Kod kuće ju napravi od kartona i sastavi tijelo.

6. Piramida ima 7 vrhova. a) Koliko ta piramida ima bridova? b) Koliko ima strana? c) Koji je mnogokut baza piramide?

7. Na slici su nacrtane 3 baze pravilnih piramida. Skiciraj te piramide. Njihova je visina 3 cm (2 kvadratića su 1 cm)

• Najveća piramida u Gizi, Keopsova piramida, gledana izdaleka gotovo je identična idealnoj geometrijskoj piramidi kojoj su strane ravne plohe, a bridovi dužine. Međutim, gledano izbliza ona je u stvari hrpa pravilno raspoređenih kamenih blokova. Tako je i njezin obujam približno jednak obujmu kamenih blokova od kojih je izgrađena (uključujući obujam hodnika i prostorija u njoj). Da su kameni blokovi sitniji, ta bi aproksimacija bila bolja. To nam daje ideju što je to obujam piramide.

Podsjetimo se • Oplošje prizme je zbroj površina njezinih obiju osnovaka i površine pobočja. • O=2∙B+P • Obujam prizme je umnožak površine baze i duljine visine prizme. • V=B∙h

• Oplošje piramide je zbroj površine baze i površine pobočja (plašta) te piramide. • O=B+P

Primjer 1. Površina baze piramide iznosi 324 dm 2, a oplošje 8 m 2. Kolika je površina pobočja? • • B = 324 dm 2 = 3. 24 m 2 O = 8 m 2_____ P=? O=B+P 8 = 3. 24 + P P = 8 − 3. 24 P = 4. 76 m 2 Rješenje

POKUS Za pokus su potrebne prizma i piramida tako da imaju sukladnu bazu i jednaku visinu.

POKUS

• Obujam piramide jednak je trećini umnoška površine baze(osnovke) i duljine visine piramide.

Primjer 2. Koliki je obujam piramide kojoj baza ima površinu 256 dm 2, a njezina je visina duga √ 27 dm? • B = 256 dm 2 • h = √ 27 dm = 3√ 3 dm • V=? Rješenje

1. Površina baze piramide iznosi 152 cm 2, a površina njezina pobočja 528 cm 2. Koliko je oplošje te piramide?

2. Obujam piramide iznosi 43. 24 dm 3, a površina njezine baze 5 640 cm 2. Kolika je duljina visine te piramide?

3. Nacrtane su mreže piramida. Procijeni koja od piramida ima veće oplošje.

Pravilna četverostrana piramida Skicu počinjemo crtati od baze!

• Pravilna četverostrana piramida zove se još i kvadratna piramida. Osnovka te piramide je kvadrat, a pobočke su sukladni jednakokračni trokuti. • Visina kvadratne piramide je spojnica vrha i središta kružnice opisane oko baze (sjecište dijagonala baze), a okomita je na ravninu baze.

Primjer 1. Na slici kvadratne piramide označeni su različiti pravokutni trokuti. Za svaki trokut ispiši Pitagorin poučak. d=a√ 2 Rješenje

Oplošje i obujam pravilne četverostrane piramide • OPLOŠJE • O=B+P • B = a 2 • OBUJAM Formule

Primjer 2. Izračunaj oplošje i obujam kvadratne piramide kojoj je osnovni brid duljine a = 10 cm, a visina piramide duljine h = 12 cm. • • a = 10 cm h = 12 cm O, V=? O=B+P • O = 100 + 260 • O = 360 cm 2 /√ B = a 2 B = 100 cm 2 Rješenje

1. Izračunaj oplošje i obujam pravilne četverostrane piramide s bridom baze duljine 6 cm ako je duljina visine pobočke 5 cm. 2. Izračunaj oplošje i obujam pravilne četverostrane piramide ako joj je zadana duljina osnovnog brida i duljina visine pobočke: a=18 mm i v=4. 1 cm 3. Izračunaj oplošje i obujam pravilne četverostrane piramide s osnovnim bridom duljine 12 cm i bočnim bridom duljine 1 dm.

Pravilne šesterostrana piramida Crtamo dijagonale baze!

• v – duljina visine jednakostraničnog trokuta u bazi • R - duljina polumjera bazi opisane kružnice • r – duljina polumjera bazi upisane kružnice

• Pravilna šesterostrana piramida je piramida kojoj je baza pravilni šesterokut, a pobočje čini šest sukladnih jednakokračnih trokuta. Visina pravilne šesterostrane piramide je dužina koja spaja vrh piramide i središte bazi upisane kružnice.

Primjer 1. Na slici pravilne trostrane piramide označeni su različiti pravokutni trokuti. Za svaki trokut ispiši Pitagorin poučak. Rješenje

Oplošje i obujam pravilne šesterostrane piramide • OPLOŠJE • O=B+P • OBUJAM Formule

Primjer 2. Duljina osnovnog brida pravilne šesterostrane piramide iznosi 1 dm, a duljina bočnog brida 13 cm. Izračunaj oplošje te piramide. • a = 1 dm=10 cm • b = 13 cm • O=? • O=B+P Rješenje

1. Duljina visine pravilne šesterostrane piramide iznosi 6 cm, a duljina bočnog brida 1 dm. Izračunaj oplošje i obujam te piramide. 2. Najdulja dijagonala baze pravilne šesterostrane piramide je 16 cm, a duljina visine pobočke jest 15 cm. Izračunaj oplošje te piramide. 3. Obujam pravilne šesterostrane piramide iznosi 6 cm 3. Osnovni brid piramide dug je 10 mm. Izračunaj duljinu visine pobočke.