PIR MIDE FACES LATERAIS TRIANGULARES APTEMA Definio Sejam

PIR MIDE FACES LATERAIS TRIANGULARES APÓTEMA

Definição Sejam um plano α, um ponto V tal que V ∉ α e uma região poligonal S do plano α. O ponto V é denominado vértice da pirâmide e a região poligonal S é denominada base da pirâmide.

Elementos da pirâmide Na pirâmide VABCDEF da figura: a)O ponto V é o vértice da pirâmide c) Os triângulos VAB, VBC, VCD etc. , são as faces laterais. e) O polígono ABCDEF é a base da pirâmide.

f) A distância (h) do vértice V ao plano α que contém a base é a altura da pirâmide. Pirâmide reta Uma pirâmide é denominada reta quando todas as faces laterais são triângulos isósceles. Pirâmide regular Uma pirâmide é denominada regular quando ela é reta e o polígono da base é regular.

Nas pirâmides regulares da figura: a) OA = R é o raio da circunferência circunscrita à base ou simplesmente o raio da base. b) OM = a é o apótema da base. c) VM = g é o apótema da pirâmide (altura de uma face lateral). d) O triângulo VOM é retângulo em O e, portanto g 2 = a 2 + h 2

d) O triângulo VOM é retângulo em O e, portanto g 2 = a 2 + h 2 e) O triângulo VOA é retângulo em O e, portanto, (VA)2 = R 2 + h 2 O

Área lateral A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais. Área total A área total da pirâmide é a soma da área da base com a área lateral. Assim, sendo At a área total, Ab a área da base e Al a área lateral, temos: Volume Demonstra-se que toda pirâmide tem por volume a terça parte do volume de um prisma de mesma base e mesma altura. Assim, sendo V o volume da pirâmide, temos:

Exercícios Resolvidos (UNESP)– O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m 3) necessário para a construção da pirâmide será a) 36 b) 27 c) 18 d) 12 e) 4

Resolução Sendo V o volume de concreto (em m 3), temos (MODELO ENEM) –A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m. A área da base dessa pirâmide, em m², é a) 13 272 RESOLUÇÃO: b) 26 544 c) 110 d) 120 e)130

V 179 137 D C O A M B

Numa pirâmide regular hexagonal, cada aresta da base mede 4 cm e as arestas laterais medem 5 cm cada uma. Calcular a área da base e o volume dessa pirâmide. RESOLUÇÃO:

Tetraedro regular Pirâmide • Triângulo equilátero

Definição O tetraedro regular é uma pirâmide triangular em que todas as faces são triângulos equiláteros. Área total Se a for a medida da aresta do tetraedro regular VABC e At sua área total, então:

Altura

Volume Se a for a medida da aresta do tetraedro regular VABC e V o volume, então:

EXERCICIOS

Exercícios Propostos O volume da pirâmide quadrangular regular cujo apótema lateral mede 13 cm e a aresta da base mede 10 cm é de

(MODELO ENEM) – Numa caixa de água em forma de paralelepípedo reto-retângulo cujo comprimento é 6 m, a largura 5 m e altura 10 m, coloca-se um sólido de forma irregular que afunda ficando totalmente coberto pela água. Sabendo-se que o nível da água eleva-se de 20 cm sem derramar, calcular o volume do sólido.

(PUC – MODELO ENEM) – Uma caixa sem tampa é feita com placas de madeira de 0, 5 cm de espessura. Depois de pronta, observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa, são 51 cm x 26 cm x 12, 5 cm, conforme mostra a figura abaixo. O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é a) 0, 015 b) 0, 0156 c) 0, 15 d) 0, 156 e) 1, 5 RESOLUÇÃO: As medidas da parte interna da caixa são 50 cm, 25 cm, 12 cm e, portanto, o volume interno da caixa, em metros cúbicos, é: 0, 50. 0, 25. 0, 12 = 0, 015 Resposta: A

(MACKENZIE – MODELO ENEM) – Uma piscina com 5 m de comprimento, 3 m de largura e 2 m de profundidade tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Se o nível da água está 20 cm abaixo da borda, o volume de água existente na piscina é igual a a) 27000 cm 3 b) 27000 m 3 c) 27000 litros d) 3000 litros e) 30 m RESOLUÇÃO: O volume de água existente na piscina é igual a (50. 30. 18) dm 3 = 27000 ou (5. 3. 1, 8)m 3 = 27000 Resposta: C 3