Pintando cub Problema n 5 PINTANDO CUBOS Eva
Pintando cub
Problema nº 5: PINTANDO CUBOS Eva le dice a Beatriz: “Tengo un buen montón de cubitos de 1 cm de arista y con ellos he formado cubos mayores de 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . cm de arista. A continuación he pintado las seis caras de estos cubos mayores. Adivina cuál es el cubo que tiene la misma cantidad de cubitos con una sola cara pintada, que sin ninguna. ” ¿Cuántos cubitos forman el cubo que tiene que adivinar Beatriz? Razona tu respuesta Solución Menú
Solución: Comenzamos con 1 cubito: • Lógicamente va a tener todas sus caras pintadas. Vamos a ver que ocurre con el cubo de lado 2: • En este caso todos los cubitos tendrán tres de sus caras pintadas. Enunciado Menú
Solución: Continuamos con el cubo de lado 3: Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con: Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda: Enunciado Menú
Solución: Continuamos con el cubo de lado 4: Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con: Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda: Enunciado Menú
Solución: Continuamos con el cubo de lado 5: Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con: Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda: Enunciado Menú
Solución: Vamos a observar que ha ocurrido con los cubos: Cubos de lado n Cubitos 0 caras pintada n=5 6·(5 -2)2 (5 -2)3 n=4 6·(4 -2)2 (4 -2)3 n=2 Enunciado Cubitos 1 cara pintada 6·(3 -2)2 (3 -2)3 6·(2 -2)2 (2 -2)3 Menú
Solución: Vemos que en cada una de las caras del cubo, los cubitos con una sola cara pintada, si quitamos los cubitos que tienen dos o tres caras pintadas, es igual al cuadrado del número de cubitos de la arista menos 2. Es decir, cubitos con una cara pintada: (n-2)2 El total de cubitos con una cara pintada será: 6·(n-2)2 El total de cubitos con ninguna cara pintada será: (n-2)3 Como se nos pide que cuál es el cubo que tiene igual cantidad de cubitos con ninguna cara pintada que con una sola cara pintada. Luego tendremos que 6·(n-2)2 =(n-2)3 De donde 6=n-2 por tanto n=8 Luego necesitaremos 83 cubitos pequeños, es decir 512 cubitos de 1 cm de arista. Enunciado Menú
Solución: Vamos a verificarlo con una tabla: Lado n Cubitos con una cara pintada 6·(n-2)2 Cubitos con ninguna cara pintada (n-2)3 Lado 1 Imposible Lado 2 6·(2 -2)2 = 0 (2 -2)3 = 0 Si Lado 3 6·(3 -2)2 = 6 (3 -2)3 = 1 No Lado 4 6·(4 -2)2 = 24 (4 -2)3 = 8 No Lado 5 6·(5 -2)2 = 54 (5 -2)3 = 27 No Lado 6 6·(6 -2)2 = 96 (6 -2)3 = 64 No Lado 7 6·(7 -2)2 = 150 (7 -2)3 = 125 No Lado 8 6·(8 -2)2 = 216 (8 -2)3 = 216 Si Lado 9 6·(9 -2)2 = 294 (9 -2)3 = 343 No Enunciado Menú Igual número de caras
Solución: El cubo que buscamos es el formado por 8 cubitos en cada lado. Luego necesitamos 83 cubitos pequeños, es decir: 512 cubitos de 1 cm de arista HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES. . . … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Enunciado Menú
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