Pierwiastek wielomianu Twierdzenie Bezoutea Definicja 1 Pierwiastkiem wielomianu

Pierwiastek wielomianu. Twierdzenie Bezoute’a

Definicja 1 • Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy liczbę rzeczywistą a, dla której W(a)=0.

Przykład 1 • Dany jest wielomian: • Z podanych niżej przykładowych liczb ze zbioru, sprawdzimy, czy któraś z nich jest pierwiastkiem tego wielomianu.

• Obliczamy: • Liczby i wielomianu. są pierwiastkami danego Wielomian stopnia zerowego nie ma pierwiastków. W przypadku wielomianu zerowego każda liczba rzeczywista jest jego pierwiastkiem.

Przykład 2 • Wyznaczymy pierwiastki wielomianu: • Szukamy argumentów, dla których W(x)=0. Wartość wielomianu W(x) jest równa zeru tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy zeru, zatem: Wielomian osiąga wartość zero dla argumentów 2, -3 oraz 0. Wielomian W(x) ma trzy pierwiastki: 2, -3 oraz 0.

Twierdzenie 1 (Bezouta) I. Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a). II. Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a), to liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Przykład 3 • Nie wykonując dzielenia, zbadamy, czy wielomian jest podzielny przez dwumiany: (x-2) oraz (x+1). • Obliczamy: Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), zaś liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu. Zatem W(x) jest podzielny przez dwumian x-2 i nie jest podzielny przez x+1.

Twierdzenie 2 • Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu W(x) jednej zmiennej rzeczywistej jest nie większa niż stopień wielomianu W(x).