PHY 1501 circuits linaires Rikard Blunck rikard blunckumontreal

PHY 1501 – circuits linéaires Rikard Blunck – rikard. blunck@umontreal. ca PHY 1501

PHY 1501 - Les circuits linéaires RLC • Le but du cours: – Circuit linéaire RLC – Régime transitoire et alternatif – Impédance complèxe ? PHY 1501

Le Lesfiltre boîtespasse-bas noires PHY 1501

Définitions • charge q Coulomb 1 C • courant i ampère 1 A = 1 C/s • potentiel • tension v, u volt 1 V = 1 J/C 1 V charge élémentaire e = 1. 6022 10 -19 C PHY 1501

Champ électrique de deux charges q et -q = const E F = q 1 q 2 4 r 2 F = E qtest PHY 1501

Le circuit électrique i = dq/dt +V ( 1) -V ( 2) Les éléments lineaires: I(2*V) = 2*I(V) PHY 1501 ±V i

Définitions • • charge courant potentiel tension q i v v Coulomb ampère volt • source de voltage e volt • source de courant i ampère • résistance R Ohm 1 = 1 V/A • inductance L Henry 1 H = Vs/A • condensateur C Farad 1 F = 1 C/V PHY 1501 1 C 1 A = 1 C/s 1 V = 1 J/C 1 V ±V

Définitions • • charge courant potentiel tension q i v v Coulomb ampère volt • source de voltage e volt • source de courant i ampère PHY 1501 1 C 1 A = 1 C/s 1 V = 1 J/C 1 V ±V

La résistance 1. argent ±V or anneau 2. anneau i facteur tolérance R R = l/A avec : résistance spécifique l : longeur A : surface Wel = U q = U ∫ I dt = U I t P = W/t = U I t/t = U I = U 2/R = I 2 R PHY 1501 R = U / I (loi d’Ohm)

La résistance ±V i R R = l/A avec : résistance spécifique l : longeur A : surface Wel = U q = U ∫ I dt = U I t P = W/t = U I t/t = U I = U 2/R = I 2 R PHY 1501 R = U / I (loi d’Ohm)

Le condensateur E = Q / ( A) + + +Q + + + + E - -Q d V PHY 1501 = 0 r 0 = 8. 85 10 -12 As/Vm Matériel Vide Aire Verre Plexiglas Eau Bariumtitanat r 1. 0000 1. 0006 4. . 12 3 81 >1000

Le condensateur + + +Q + + + + E - -Q - F d PHY 1501 Fchamp = E q Wchamp = Fchamp d = E q d Welec = U q Welec Uq U U = Wchamp =Eqd =Ed (E=Q/ A) =Qd/ A

Le condensateur + + +Q + + + + U U E - -Q d =Qd/ A Q La capacité C C =Q/U Farad 1 F = 1 C/V Condensateur de plan C = A/d PHY 1501

Le condensateur C = Q/V i(t) = dq/dt = d(C v(t))/dt V i(t) = C dv(t)/dt v(t) = 1/C ∫i(t) dt PHY 1501

L’inductance : la bobine µ q v B = 4 r 2 µ = µ 0µ r (perméabilité magnétique) µ 0= 1/ 0 c 2 = 1. 26 10 -6 Vs/Am PHY 1501

L’inductance : la bobine Bobine de N tours: B = µ I N / 2 r (Loi de Biot-Savart) u(t) = d(AB)/dt N tours, A=const u(t) = N A d. B/dt PHY 1501

L’inductance u. L(t) = N A d. B/dt = N A d/dt(µ i(t) N / 2 r) = N 2µA/2 r di(t)/dt V u. L(t) di(t)/dt u. L(t) = L di(t)/dt L: inductance L = N 2µA/2 r PHY 1501

L’inductance : la bobine PHY 1501

Définitions • • charge courant potentiel tension q i v v Coulomb ampère volt • source de voltage e volt • source de courant i ampère • résistance R Ohm 1 = 1 V/A • inductance L Henry 1 H = Vs/A • condensateur C Farad 1 F = 1 C/V PHY 1501 1 C 1 A = 1 C/s 1 V = 1 J/C 1 V ±V

Les lois de Kirchhoff PHY 1501 U=RI loi d’Ohm ∑ddtqk = ∑ik = 0 1. loi de Kirchhoff ∑ek - ∑uk = 0 2. loi de Kirchhoff

Deux résistances en série Diviseur du tension PHY 1501

Extension d’échelles des mètres de voltage et courant PHY 1501

Série et parallèle Rtotal = ∑Rk 1 = ∑ 1 Rtotal Rk PHY 1501 Ltotal = ∑Lk 1 = ∑ 1 Ltotal Lk 1 Ctotal = ∑ 1 Ck Ctotal = ∑Ck

Courant dans une ampoule PHY 1501

Circuit RRC i = i 1 + i 2 i i 1 i 2 E = V + R 1 i V V = R 2 i 1 dv/dt + (1/R 2 C + 1/R 1 C) v –E/R 1 C = 0 e(t) t continue PHY 1501 transitoire continue

Circuit RRC e(t) dv/dt + (1/R 2 C + 1/R 1 C) v –e/R 1 C = 0 t continue transitoire continue équation différentielle homogène: dv/dt + (1/R 2 C + 1/R 1 C) v = 0 v(t) = v 0 e-at + const a = (R 1+R 2)/R 1 R 2 C v(t=0) = 0 const = -v 0 v(t=∞) = i R 2 = E R 2/(R 1+R 2) = const v(t) = E PHY 1501 R 2 R 1+R 2 {1 -e (R 1+R 2) t R 1 R 2 C }

Régime variable u(t) = E 0 t<0 t=0 u(t) = E t>0 T u(t+T) = u(t) PHY 1501

Le circuit LRC en série i = i. L = i. R = i. C e = v. L + v. R + v. C = Ldi/dt + Ri + Q/C de d 2 i di = L 2 +R dt dt dt + Solution: E i(t) = e Rt/2 L sin( 0 t) 0 L avec PHY 1501 0=(4 L/C –R 2)1/2 i C

LRC régime transitoire PHY 1501

Régime variable u(t) = E 0 t<0 t=0 u(t) = E t>0 T u(t+T) = u(t) PHY 1501

Régime alternatif • sinus • triangle • rectangle • dents de scie 2 =—∑sin( kt)/k π PHY 1501

Régime alternatif – génération u(t) = d(BA)/dt = B d. A/dt = B r l cos( t) PHY 1501

Régime alternatif - génération u(t) = d(BA)/dt = B d. A/dt = B r l cos( t) PHY 1501

Le courant alternatif u(t) û T = 1/f = 2 / B PHY 1501 u(t) = û cos(2 f t) = û cos(2 t/T) t

Le courant alternatif u(t) 1 2 = 2 - 1 û 1 t B u 1(t) = û 1 cos( t + 1) u 2(t) = û 2 cos( t + 2) PHY 1501

Le circuit LRC en série de d 2 i di = L 2 +R dt dt dt + e(t) = Ê cos( t) i(t) = Î cos( t+φ) PHY 1501 i C

Impédance – déphasage résonance 0=1/(LC)1/2 Î = Ê/(R 2+(1/ C - L)2)½ PHY 1501 tan (φ) = 1/ C - L R

La phase PHY 1501

Le condensateur en régime alternatif C = Q/U i(t) = C d/dt u(t) = e(t) = E cos( t) i(t) = - CE sin( t) = C E cos( t + /2) u(t) = L d/dt i(t) = 1/L E cos( t) dt i(t) = E/ L sin( t) = 1/ L E cos( t - /2) i(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos( t + 0) PHY 1501

Le courant alternatif u(t) 1 2 = 2 - 1 û 1 t B u 1(t) = û 1 cos( t + 1) u 2(t) = û 2 cos( t + 2) PHY 1501

C, L et R en régime alternatif C = Q/U i(t) = C d/dt u(t) = e(t) = E cos( t) i(t) = - CE sin( t) = C E cos( t + /2) u(t) = L d/dt i(t) = 1/L E cos( t) dt i(t) = E/ L sin( t) = 1/ L E cos( t - /2) i(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos( t + 0) PHY 1501

Impédance complexe uc(t) = Ûej t = Û cos( t) + jÛ sin( t) Re(u. C(t)) = Û cos( t) = u(t) Im(u. C(t)) = Û sin( t) (aucun sens) PHY 1501 (Euler)

Impédance complexe uc = Ûej = Û cos( ) + jÛ sin( ) = Re(uc) + j Im(uc) Û = Re(uc)2 + Im(uc)2 Im(uc) tan( ) = Re(uc) PHY 1501

Impédance complexe Z PHY 1501 ej( + /2) = cos( + /2) + j sin( + /2) = -sin( ) + j cos( ) = j (cos( ) + j sin( )) = j ej( ) = d/d ej( ) ej( - /2) = cos( - /2) + j sin( - /2) = sin( ) - j cos( ) = -j (cos( ) + j sin( )) = -j ej( ) = 1/j ej( ) = ∫ ej( ) d

Impédance complexe Z ej( + /2) = j ej( ) = d/d ej( ) ej( - /2) = -j ej( ) = 1/j ej( ) = ej( ) d Condensateur: u(t) = 1/C ∫ i(t) dt = 1/C ∫ Î ej t dt = 1/j C Î ej t = 1/j C i(t) Inductance: u(t) = L di(t)/dt = L d/dt Î ej t = j L i(t) PHY 1501

Impédance complexe Z Z = impédance complexe PHY 1501 Condensateur: u(t) = 1/j C i(t) Z = 1/j C Inductance: u(t) = j L i(t) Z = j L Résistance u(t) = R i(t) = R Î ej t Z=R

Impédance complexe Z série Ztotal = Z 1 + Z 2 parallèle 1/Ztotal = 1/Z 1 + 1/Z 2 R R 1+R 2 = Rtotal 1/R 1+1/R 2= 1/Rtotal L j L 1 + j L 2 = j (L 1 + L 2) = j Ltotal 1/j L 1 + 1/j L 2 =1/j (1/L 1 + 1/L 2) = 1/j Ltotal C 1/j C 1 + 1/j C 2 = 1/j (1/C 1 + 1/C 2) = 1/j Ctotal j C 1 + j C 2 = j (C 1 + C 2) = j Ctotal PHY 1501

Impédance complexe ZL d’une inductance réelle ZL = RL + j L |ZL| = tan ( )= RL 2 + ( L)2 L R = ZL = |ZL| ej PHY 1501 Im(ZL) Re(ZL)

Le circuit LRC en série ic(t) = uc(t) / Z i(t) = Re{ic}= Re{uc(t)/Z} ic(t) u(t) = E cos( t) uc(t) = E ej t Série: Ztotal = Zc+ZR+ZL avec = (R 2 + Z 02)1/2 = uc(t)/Ztotal = E/|Z| ej t e-j |Z| Z 0 = E/(R 2+Z 02)1/2 ej( t- ) i(t) PHY 1501 = Re{ic(t)} = E/(R 2+Z 02)1/2 cos( t- ) = 1/j C + R + j L = R + j( L-1/ C) = |Z| ej = L – 1/ C = arctan(Z 0/R)