Peubah Acak Definisi Peubah acak adalah suatu fungsi
Peubah Acak
Definisi Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata
Contoh 1 Misalkan sebuah koin dilempar tiga kali, dan barisan Gambar dan Angka yang muncul diamati. Maka ruang contohnya adalah S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}. Peubah acak yang dapat didefinisikan pada ruang contoh S antara lain (1) X=Banyaknya Angka yang muncul, X={0, 1, 2, 3} (2) Y=banyaknya Gambar yang muncul Y={3, 2, 1, 0}
Contoh : jika sebuah mata uang dilempar 3 kali dan X = banyaknya M X yang mungkin : 0, 1, 2, 3 S X R MMM MBM 0 MMB MBB BMM BBM BMB BBB Semester Pendek FMIPA UGM 5 2005 1 2 3
(3) Z=banyaknya Angka ditambah banyaknya Gambar yang muncul. Z={3} Dalam satu percobaan dapat didifinisikan berbagai peubah acak. Masing – masing peubah acak tersebut adalah fungsi yang bernilai bilangan nyata yang didefinisikan pada S.
Contoh 2 Misalkan dua dadu bermata 6 dilemparkan dan angka yang muncul diamati. Peubah Acak yang dapat didefinisikan pada ruang contohnya antara lain (1) X jumlah mata dadu yang muncul X={2, 3, 4, 5, . . . , 12} (2) Yselisih mata dadu yang muncul. Y={0, 1, 2, 3, 4, 5}
Peubah Acak diskret Definisi Peubah acak diskret adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai - nilai yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah.
Contoh Pada percobaan pelemparan dua koin dan sisi mana yang muncul diamati, ruang contohnya adalah {GG, GA, AG, AA}. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya Angka yang muncul, maka nilai X yang mungkin adalah {0, 1, 2}. Bila pada percobaan muncul {GG} maka nilai X adalah 0. Bila yang muncul adalah {GA} atau {AG} maka nilai X adalah 1 dan bila yang muncul adalah AA maka nilai X adalah 2.
Contoh Dua dadu bermata 6 dilemparkan dan angka yang muncul diamati. Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan jumlah mata dadu yang muncul. Bila yang muncul mata dadu pertama adalah 4 dan kedua adalah 6, maka nilai Y adalah 10.
Jika nilai dari peubah acak dinotasikan dengan x 1, x 2, . . . maka terdapat fungsi p sedemikian hingga p(xi) = P(X=xi) dan Fungsi ini dinamakan fungsi massa peluang dari peubah acak X.
(1) X jumlah mata dadu yang muncul X | 2 3 4 5. . . p(x) |1/36 2/36 3/36 4/36. . . (2) Yselisih mata dadu yang muncul. Y | 0 1. . . p(y) | 6/36. . .
Uang dilantunkan 4 kali. Carilah peubah acak X=banyaknya muka Hitung peluang masing-masing peubah acak Carilah rumus ditribusi peluang
Fungsi Sebaran Kumulatif Definisi Fungsi sebaran kumulatif atau lebih sering disebut fungsi sebaran F dari peubah acak X, didefiniskan untuk semua bilangan nyata b, -∞ < b < ∞, dengan F(b) = P(X ≤ b)
Beberapa sifat dari fungsi sebaran F adalah fungsi yang tidak turun, artinya jika a < b maka F(a) ≤ F(b) F adalah fungsi yang kontinu dari kanan. Artinya, untuk setiap b dan setiap barisan yang menurun bn, n≥ 1, yang konvergen ke b,
Contoh Hitunglah P(X<3) P(X=1) P(X>1/2) P(2<X≤ 4)
Hitunglah : a. P(Y>2) b. P(1≤Y≤ 3) c. P(Y=2) y 0 1 F(y) 0. 2 0. 5 2 3 0. 8 1. 0 Bila diketahui fungsi sebaran kumulatif peubah acak diskret Y adalah sebagai berikut:
Distribusi peluang gabungan Beberapa keadaan memerlukan pencatatan hasil secara serentak Misal Pengukuran kadar uap air P dan isi gas V dari percobaan kimia –-- f(p, v) Pengukuran kekerasan K dan daya rentang R dari tembaga dingin yang ditarik –-- f(k, r)
Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 biru, 2 merah dan 3 hijau. Bila X= isi biru dan Y= isi merah, hitung fungsi peluang gabungan dan hitung peluang A, jika A daerah {(x+y)<2} X 0 Y 1 2 0 3/28 6/28 1 9/28 6/28 - 2 3/28 -
Fungsi peluang gabungan f(x, y)= P(x+y<2)=f(0, 0)+f(0, 1)+f(1, 0) = 3/28+6/28+9/28 =18/28
Distribusi marjinal X dan Y g(x)= ∑ f(x, y) y h(y)= ∑ f(x, y) X | g(x) | x 0 1 10/28 15/28 3/28 2
Distribusi bersyarat f(y/x)=f(x, y)/g(x) Hitung P(X=0/Y=1)= f(0/1)=f(0/1)/h(10) =(6/28)/(12/28)=1/2
Penempatan bola (mekanika statistik) Cara pertama (vektor penentuan) Menentukan kotak mana yang dimasuki kelereng Model (BK)1 : jumlah vektor penentuan n. Pr Model (BK)∞ : Cara kedua (vektor pemempatan) Menentukan berapa banyak kelereng yang masuk ke setiap kotak Model (BK)1 : jumlah vektor penentuan n. Cr Model (BK)∞ :
Dua kelereng (r)=2 dilantunkan ke 3 keranjang(n) Vektor penentuan (BK)1 =6 (1, 2)(1, 3)(2, 1)(2, 3)(3, 1)(3, 2) (BK) ∞= 9 (1, 2)(1, 3)(2, 1)(2, 3)(3, 1)(3, 2)(1, 1)(2, 2)(3, 3) Vektor penentuan (BK)1 = 3 (1, 1, 0) (1, 0, 1)(0, 0, 1) (BK) ∞= 6 (1, 1, 0) (1, 0, 1)(0, 0, 1)(2, 0, 0)(0, 2, 0)(0, 0, 2)
- Slides: 40