Peubah acak dan distribusi Peluang Diskret Peubah Acak

Peubah acak dan distribusi Peluang Diskret

Peubah Acak Probasbility/Peluang = kemungkinan terjadinya suatu kejadian Ruang sample = jumlah kejadian yg mungkin dalam percobaan statistik Ruang sampel diskret Contoh 1: Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 4 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yg diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalah T = {MM, MH, HM, HH} Ruang sample y MM 2 MH 1 HM 1 HH 0

Contoh 2 Tiga orang petani : Pak Ali, Badu dan cokro menitipkan pecinya pada seorang anakl. Sore harinya si anak mengembalikan peci tersebut secara acak/sembarang pada ketiga petani tersebut. Bila Ali, Badu dan Cokro dalam urutan seperti itu menerima peci dari si anak, maka tuliskan dan titik sampel untuk semua urutan yg mungkin mendapatkan peci tersebut dan kemudian cari nilai C dari peubak acak C ug menyatakan jumlah urutan yg cocok. Jawab Bila A, B dan C menyatakan masing-masing peci Pak Ali, Badu dan Cokro dalam urutan yg betul, maka susunan pengembalian peci yg mungkin sesuai ( c )adalah Ruang sampel c ABC 3 ACB 1 BAC 1 BCA 0 CAB 0 CBA 1

Contoh 3 Percobaan yg dilakukan terhadap suatu merek mobil, tentang kemungkinan kemampuan jarak tempuh dengan 5 liter bensin. Contoh 4 Kemungkinan lama waktu bagi percobaan suatu reaksi kimia Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret (contoh 1, 2) Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu (contoh 3, 4)

Distribusi Peluang Diskret Bila kejadian sederhana pada contoh 2 diberi bobot sama maka peluang bahwa tidak ada petani yg menerima kembali topinya yg benar, yaitu peluang C yg mendapat nilai 0 adalah 1/3. Kemungkinan nilai c dari C dan peluangnya, diberikan oleh c 0 1 3 P(C=c) 1/3 ½ 1/6 Peluang semua kejadian = 1 P(C=c) = f ( c )

Jadi f (x) = P (X = x); yaitu f(3) = P(X=3) Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) disebut fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak diskret X. Disebut distribusi peluang peubah acak diskret X bila untuk setiap kemungkinan hasil x 1. f (x) > 0 2. ∑ f (x) = 1 3. P(X =x) = f (x)

Distribusi Binomial Suatu percobaan sering terjadi atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkina hasil : sukses atau gagal. misalnya pengujian hasil produksi: cacat dan tidak cacat Proses Bernoulli 1. Percobaan terdiri atas n usaha yg berulang 2. Tiap usaha memberi hasil yg dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal 3. Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang satu berikutnya. 4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya

Contoh Pandang suatu kelompok usaha Bernoulli yg berupa pengambilan tiga bahan secara acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa, dan kemudian yg cacat dipisahkan dari yg tidak cacat. Bahan yg cacat akan disebut C dan yang tidak cacat disebut T. Hasil x TTT TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC 0 1 1 1 2 2 2 3 Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan nilai bilangan bulat dari nol sampai 3. Kedelapan hasil yg mungkin (C = cacat, T = tak cacat) dan nilai x adalah seperti di atas. Karena bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yg dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat, maka P(TCT) = P(T) P( C ) P (T) = (3/4) (1/4) (3/4) = 9/64

Peluang untuk kemungkinan hasil yg lain dihitung dg jalan yg sama. Jadi distribusi peluang X adalah x 0 f (x) 27/64 1 2 27/64 9/64 3 1/64 Banyaknya x yg sukses dalam n usaha bernoulli disebut peubah acak binomial. Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial dan akan dinyatakan dengan b(x; n, p), karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p) Jadi untuk distribusi peluang X, bila X banyaknya cacat dalam contoh di atas, P(X=2) = f(2) = b(2; 3, 1/4) = 9/64

Distribusi binomial Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dg peluang p dan gagal dg peluang q = 1 -p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah n b (x; n, p) = (x ) p q x n-x x = 1, 2, …. . , n Perhatikan bahwa bila n = 3 dan p = ¼, distribusi peluang X, yaitu banyaknya yg cacat, dapat ditulis sebagai x 3 -x 3 b (x; 3, 1/4) = ( x ) ( 41 ) ( 34 ) Teorema Chebyshev : μ = np X = 1, 2, 3 σ2 = npq

Contoh binomial Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Jawab: Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu dengan yang lain tidak mempengaruhi atau dipengaruhi yang berikutnya. Jadi p = ¾ untuk tiap keempat pengujian, sehingga b (2; 4, ¾) = 4 ( ) (3/4 )2 2 = 4! 2! 2! = 27 128 32 44 ( 1/4 )4 -2

Biasanya, soal yg dihadapi mengharuskan kita menghitung P (X<r) atau P(a< X < b). Dalam hal ini penyelesaian akan dibantu oleh tabel L. 1 Contoh soal Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yg jarang adalah 0, 4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluang 1. paling sedikit 10 akan sembuh, 2. antara 3 sd 8 yang sembuh 3. tepat 5 yang sembuh Jawab Misal X penderita yg sembuh 1. P(X > 10 ) = 1 - P(X<10) 9 = 1 - ∑ b(x; 15, 0, 4) X=0 = 1 – 0, 9662 = 0. 0338

8 2. P (3< X < 8) = ∑ b (x; 15, 0, 4) X=3 8 2 X=0 = ∑ b (x; 15, 0, 4) - ∑ b (x; 15, 0, 4) = 0, 9050 – 0, 0271 = 0, 8779 3. (P(X=5) = b (5; 15, 0, 4) 5 X=4 = ∑ b (x; 15, 0, 4) - ∑ b (x; 15, 0, 4) X=0 = 0, 4032 – 0, 2173 = 0, 1859 x=0

Hitung rataan dan variansi peubah acak binomial untuk contoh di atas dengan terorema chebyshev untuk menafsir selang μ + 2 σ μ = np = 15 ( 0, 4) = 6 σ2 = npq = (15) (0, 4) (0, 6) = 3, 6 σ = 1, 897 selang yg ditanya adalah 6 + (2 x 1, 897) = 2, 206 – 9, 794

Distribusi Hipergeometrik Perbedaan antara distribusi binomial dengan distribusi hipergeometrik terletak dari cara pengambilan sampelnya. Pada binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian (diperlukan kebebasan antar usaha ), seperti pada sekotak kartu, sejumlah barang produksi. Sedangkan pada hipergeometrik dilakukan pengambilan sampel tanpa pengembalian, misal pengujian elektronik, pengendalian mutu. Suatu percobaan geometrik memiliki sifat berikut: 1. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda; 2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan N-k diberi nama gagal.

Distribusi hipergeometrik; distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yg diambil dari N benda yg mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal, ialah h (x; N, n, k) = N-k n-x k X ()( ) X = 0, 1, 2, …. , n N n ( ) Rataan = μ = nk N Variansi = σ = N-n (n) k (1 - k ) N-1 N N

Contoh Pada pengambilan terhadap kota yang berisi 52 kartu bridge. Pengambilan dilakukan tanpa pengembalian. Bila 5 kartu diambil secara acak, berapa peluang terambilnya 3 kartu merah dari 26 kartu merah dan peluang terambilnya 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam yang ada di dalam kotak. 26 26 3 2 Banyaknya cara untuk pengambilan 3 kartu merah dan 2 kartu hitam adalah ( 52 banyaknya cara pengambilan 5 kartu tanpa pengembalian adalah ( 5 ) ) ( ) Peluang untuk mengambil 5 kartu tanpa pengembalian dengan 3 merah dan 2 hitam adalah: Jawab: 26 26 (3 ) ( ) 2 (52 ) 5 ( 26!/ 3 ! 23! ) (26! / 2! 24!) = 0, 3251 = (52! / 5! 47!)

Distribusi Poisson Suatu percobaan Poisson mendapat nama dari proses Poisson dan memiliki sifat berikut: 1. Banyaknya hasil yg terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh (bebas dari ) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah. Dalam hubungan ini proses poisson disebut tak punya ingatan. 2. Peluang terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yg amat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya hasil yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut. 3. Peluang terjadinya lebih dari 1 hasil dalam selang waktu yg pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan.

Distribusi Poisson; distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yg terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t, diberikan oleh p (x; λt ) = e-λt (λt )x X! λt menyatakan rata 2 banyaknya sukses yg terjadi per satuan waktu atau daerah tersebut dan e = 2, 71828…. . Rataan dan variansi distribusi Poisson p (x; λt) keduanya sama dengan λt

Contoh Rata-rata banyaknya partikel yg melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu? Jawab Dengan menggunakan distribusi poisson untuk x = 6 dan λt = 4, dari tabel L. 2 diperoleh X=6 X=5 X=0 p (6; 4 ) = e-4 (6 )6 = ∑ p (x; 4) - ∑ p (x; 4) 6! = 0, 8893 – 0, 7851 = 0, 1042

Latihan Distribusi Binomial 1. Seorang dipilih dari 10 karyawan untuk mengawasi suatu proyek dengan cara memilih satu gulungan kertas dari sebuah kantung berisi 10 gulungan bernomor 1 sampai 10. Bila X adalah peubah acak yg menyatakan bilangan yg tertulis dalam gulungan kertas yg diambil secara acak, carilah rumus distribusi peluang X. Berapakah peluang mengambil bilangan lebih kecil dari 4? 2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yg kasar ditemukan bahwa 25% truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Dari 15 truk yg diuji selanjutnya, carilah peluangnya bahwa a. dari 3 sd 6 mengalami ban pecah b. kurang dari 4 yg mengalami ban pecah c. lebih dari 5 yg mengalami ban pecah

Distribusi Hipergeometrik 1. Dari sebuah kotak berisi 10 peluru, diambil 4 secara acak dan kemudian ditembakkan. Bila kotak itu mengandung 3 peluru yang cacat yang tidak akan meledak, berapakah peluang a. keempatnya meledak b. paling banyak 2 yg meledak 2. Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan yg sekarang dalam pengiriman 50 barang yg sama. Cara ini dengan mengambil sampel sebesar 5 dan lolos pemeriksaaan bila berisi tidak lebih dari 2 yg cacat. Berapa proporsi pengiriman yg mengandung 20 % cacat akan lolos pemeriksaan?

Distribusi Poisson 1. Peluang pembelian suatu televisi berwarna di suatu toko televisi adalah 0, 3. Hitunglah peluang bahwa pembelian televisi yg kesepuluh di toko tersebut akan merupakan pembelian televisis berwarna yg ke 5. 2. Misalkan peluang 0. 8 bahwa setiap orang akan percaya tentang desas desus mengenai hubungan gelap seorang bintang terkenal. Berapakah peluangnya a. orang ke-6 yg mendengar berita tsb merupakan orang ke-4 yg mempercayainya? b. orang k-3 yg mendengan berita tsb merupakan orang pertama yg mempercayainya?

Distribusi Normal Dsitribusi peluang kontinu yg paling terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal.