petrofizika propusnost PROPUSNOST STIJENE l Propusnost je openito

petrofizika - propusnost PROPUSNOST STIJENE l Propusnost je općenito mjera sposobnosti ("kapaciteta") nekog medija (napr. cijev, porozna stijena) da omogući gibanje, protjecanje fluida kroz taj medij. l Do gibanja dolazi uslijed tlačnog gradijenta, a smjer protoka je od većeg prema manjem tlaku. 1

petrofizika - propusnost Početkom 19. stoljeća, izvedeni su osnovni izrazi (Navier, Stokes), koji opisuju gibanje fluida u cijevima (raspodjela brzina čestica fluida uz različite režime - laminarni ili turbulentni - protok, itd. ) 2

petrofizika - propusnost Za razliku od cijevi, protok fluida u poroznom mediju odvija se kroz labirint međusobno povezanih pora, tj. kapilara s naglim promjenama promjera, pa opis protoka na ovoj mikroskopskoj razini, analogan onom u cijevima, nije praktičan. 3

petrofizika - propusnost Henry Darcy je, na temelju rezultata eksperimentalnih studija protjecanja vode kroz pješčane filtre gradskog vodovoda, formulirao i 1856. godine objavio zakonitost protoka fluida kroz porozni medij na makroskopskoj razini. 4

petrofizika - propusnost Darcy je ustanovio kako veličina volumetrijskog protoka vode, q, kroz vertikalni pješčani filter površine presjeka protjecanja, A, i duljine, L, izravno ovisi o razlici visina stupaca vode ulaznog i izlaznog vodenog manometra, Drugim riječima, protok je izravno proporcionalan razlici visina, što je matematički opisano izrazom: Skica Darcyevog eksperimentanog uređaja za mjerenje protoka vode kroz pješčani filter. 5

petrofizika - propusnost Konstanta proporcionalnosti, C, u ovisi o 1. Karakteristikama pojedinog poroznog medija, i 2. Transportnim svojstvima fluida, tj. o veličini unutrašnjeg trenja u fluidu, dakle o viskoznosti fluida. U daljnja razmatranja prikladno je uvesti parametar volumetrijski tok ili fluks, u (također i: površinska, superficial, brzina), koji je omjer volumetrijskog protoka i površine, normalne na smjer protjecanja fluida: 6

petrofizika - propusnost Intersticijalna ili linearna brzina fluida u poroznom mediju je omjer volumetrijskog toka i poroznosti: Uvrštavanjem volumetrijskog toka u prijašnji izraz dobije se originalna Darcyjeva jednadžba: 7

petrofizika - propusnost Na temelju kasnijih eksperimentalnih opažanja ustanovljeno je da je volumetrijski tok izravno proporcionalan gustoći, r, fluida, a obrnuto proporcionalan viskoznosti fluida, m, tj. u ~ r / m pa se originalna Darcyeva jednadžba mijenja u pri čemu sada nova konstanta proporcionalnosti, C’, sadrži utjecaj stupca fluida i svojstva porozne stijene na veličinu volumetrijskog fluksa, odnosno protoka. U gravitacijskom polju Zemlje, sila kojom hidrostatski stupac fluida djeluje na jedinicu površine jednaka je umnošku visine stupca, gustoće fluida i ubrzanja sile teže i naziva se tlakom 8

petrofizika - propusnost Uvrštenjem gravitacijske konstante dobije se Nova konstanta proporcionalnosti, k, ovisi sada samo o svojstvima poroznog medija (stijene), te je karakteristika stijene, koja se naziva propusnost stijene. 9

petrofizika - propusnost Izraz nije sasvim u redu, jer ne vrijedi za sve slučajeve, odnosno uvjete protjecanja u poroznoj stijeni. Razlog tome je što sila teže djeluje uvijek samo u jednom smjeru: vertikalno prema središtu Zemlje, dok sila, (razlika tlaka), odgovorna za protok fluida može djelovati u bilo kojem smjeru. Odnosi sila pri protoku u smjeru i nasuprot smjeru djelovanja gravitacije 10

petrofizika - propusnost Protok fluida je dakle funkcija efektivne sile, koja je vektorska suma nametnute sile u smjeru protoka i sile gravitacije. Efektivna sila naziva se potencijal protoka, F, koji ima istu dimenziju kao i tlak, a definiran je kao gravitacijski član Potencijal protoka u nekoj točki u poroznom mediju jednak je razlici tlaka u toj točki i tlaka hidrostatskog stupca fluida, čija je vertikalna udaljenost do neke referentne ravnine jednaka h. 11

petrofizika - propusnost Odnosi tlaka i potencijala protoka za različite smjerove protjecanja fluida u poroznom mediju s obzirom na utjecaj gravitacije: Ako se razlika potencijala računa kao uvijek je negativna (tlak se povećava u smjeru suprotnom od smjera protoka). 12

petrofizika - propusnost Darcyjeva jednadžba protoka u poroznom mediju, koja vrijedi za bilo koji smjer protoka u odnosu na smjer djelovanja sile teže je odnosno 13

petrofizika - propusnost Pri horizontalnom protoku, vektor pokretne sile okomit je na vektor gravitacije te su vrijednosti potencijala protoka i tlaka iste. Opća Darcyjeva jednadžba za linearni horizontalni protok fluida (tekućine) je zato 14

petrofizika - propusnost Diferencijalni oblik Darcyjevog zakona SVRHA: U diferencijalnom obliku, zakon postaje primjenljiv za sve fluide i u drugim sustavima/geometrijama protjecanja, napr. radijalnoj. U linearnom sustavu konačne duljine na toj duljini, i , za bilo koje dvije točke (pozicije) vrijedi 15

petrofizika - propusnost Budući da je općenito diferencijalni oblik Darcyjeve jednadžbe je je gradijent potencijala 16

petrofizika - propusnost Poopćena Darcyjeva jednadžba za protok fluida kroz porozni medij vrijedi samo ako su ispunjeni slijedeći uvjeti: 1. Porozni medij je potpuno ispunjen fluidom koji protječe, 2. Nema fizikalno-kemijskih interakcija između fluida i poroznog medija (bilo kakva interakcija, napr. djelomično otapanje karbonatne stijene) mijenja karakter poroznog medija, tj. propusnost, tijekom protjecanja, 3. Režim protoka fluida je laminarni, tj. veličina protoka linearno ovisi o gradijentu tlaka (potencijala), za razliku od turbulentnog protoka, kada nema te linearnosti. Pri ovakvim uvjetima određena propusnost je apsolutna propusnost poroznog medija. 17

petrofizika - propusnost Veličine i jedinice propusnosti Iz Darcyjeve jednadžbe propusnost poroznog medija je definirana kao: Uvrštenjem odgovarajućih SI jedinica dobije se Jedinica za propusnost ima dakle dimeziju površine, a definicija propusnosti je: "Propusnost od 1 m 2 omogućava protok od 1 m 3/s fluida viskoznosti 1 Pa s kroz površinu protjecanja od 1 m 2 uz tlačni gradijent od 1 Pa/m ". 18

petrofizika - propusnost Tradicionalna jedinica za propusnost, izvedena u starijem c-g-s (centimetar-gram-sekunda) sustavu jedinica, je 1 darcy [D], definirana kao tj. neki porozni medij ima propusnost od 1 darcy, kada fluid viskoznosti od 1 c. P, koji potpuno ispunjava pore medija, teče kroz taj medij uz protok od 1 cm 3/s kroz površinu presjeka od 1 cm 2 te pri tlačnom gradijentu od 1 Atm/cm. 19

petrofizika - propusnost Većina ležišnih stijena ima propusnost mnogo manju od 1 D, tako da je u praksi prihvaćena jedinica za propusnost milidarcy [m. D] : 1 Darcy = 1000 milidarcy = 1000 m. D Odnosi između starijih i SI jedinica za propusnost su slijedeći: 1 D = 9. 869 × 10 -9 cm 2 = 9. 869 × 10 -13 m 2 ( 1 m 2 = 10 -12 m 2) 1 m. D = 9. 86 × 10 -16 m 2 = 9. 86× 10 -4 m 2 1 m 2 = 1. 01325 × 1015 m. D 1 m 2 = 1. 01325 × 103 m. D 1× 10 -12 m 2 Očito je da je 1 darcy skoro jednak kvadratu mikrometra, tako da se u većini inženjerskih računa u SI sustavu može rabiti aproksimacija 1 D 1 m 2. 20

petrofizika - propusnost Primjene Darcyjeve jednadžbe Matematički oblik jednadžbi za računanje protoka u stvarnim uvjetima ovisi o karakteristikama ležišne stijene i fluida, koje uključuju: l Vrste fluida prema stlačivosti l Geometriju ležišta l Režim protjecanja fluida l Broj fluida u protoku 21

petrofizika - propusnost Vrste ležišnih fluida (a) nestlačivi (b) slabostlačivi (c) stlačivi fluidi Stlačivost (kompresibilnost) tvari opisana je koeficijentom stlačivosti: ili 22

petrofizika - propusnost Ø Vrste ležišnih fluida Nestlačivi fluid - ne mijenja volumen promjenom tlaka, tj. (Ne postoji u stvarnosti međutim, uz pretpostavku nestlačivosti fluida, moguće je relativno jednostavno izvesti dovoljno točne matematičke izraze) 23

petrofizika - propusnost ØVrste ležišnih fluida Slabo stlačivi fluid su sve tekućine - promjena volumena tekućina s tlakom je mala, zato 24

petrofizika - propusnost ØVrste ležišnih fluida Stlačivi fluidi jako mijenjaju volumen s tlakom (svi plinovi) Promjene volumena plina s tlakom mogu se opisati 1. Jednadžbom stanja realnog plina: 2. Volumnim faktorom plina: 3. Koeficijentom stlačivosti plina: Cg plina ovisi o tlaku: 25

petrofizika - propusnost Vrste ležišnih fluida 26

petrofizika - propusnost Geometrija ležišta - određuje geometriju protjecanja fluida. najinteresantnije u naftnoj praksi (a) linearna geometrija Površina presjeka konstantna, a ravne prosječne strujnice fluida su paralelne (b) radijalna geometrija Strujnice fluida u dvije dimenzije konvergiraju prema zajedničkom središtu, površina presjeka protjecanja nije konstantna (c) sferna geometrija Strujnice fluida usmjerene su prema zajedničkom središtu u tri dimenzije 27

petrofizika - propusnost Geometrija ležišta 28

petrofizika - propusnost Režimi protjecanja fluida – (Međuovisnost protoka fluida i raspodjele tlaka u ležištu kao funkcije vremena) v Ustaljeni protok (engl. steady-state flow), v Neustaljeni protok, (engl. unsteady-state flow, često i transient flow) v Pseudoustaljeni protok fluida, (engl. pseudosteady-state flow ili semisteady-state flow, katkada i quasi steady-state flow) 29

petrofizika - propusnost Režimi protjecanja fluida Ustaljeni protok Tlak Pseudoustaljeni protok Neustaljeni protok Vrijeme 30

petrofizika - propusnost 1. Linearni protok nestlačivog fluida (tekućina) (U izvodima jednadžbi protjecanja fluida pretpostavljeni su ustaljeni (steady -state) uvjeti protjecanja) separacija varijabli integriranje 31

petrofizika - propusnost 1. Linearni protok nestlačivog fluida (tekućina) Konačna jednadžba za linearni protok nestlačivog fluida bilo koji smjer: za horizontalni protok: 32

petrofizika - propusnost 2. Linearni protok slabo stlačivog fluida (tekućina) Promjena volumena s tlakom ekvivalentna promjeni protoka s tlakom Konačne jednadžbe za linearni protok slabo stlačivog fluida Za protok pri ulaznom tlaku: Za protok pri izlaznom tlaku: 33

petrofizika - propusnost 3. Linearni protok stlačivog fluida (plin) IDEALNI PLIN: Protok uporabom JS idealnog plina maseni protok Konačna jednadžba za linearni protok stlačivog fluida (idealni plin) pri tlaku p 34

petrofizika - propusnost 3. Linearni protok stlačivog fluida (plin) Linearni protok stlačivog fluida (idealni plin) pri srednjem tlaku Srednji, prosječni tlak je maseni protok Iz 35

petrofizika - propusnost 3. Linearni protok stlačivog fluida (plin) REALNI PLIN -Volumen definiran JS realnog plina: Jednadžba za linearni protok realnog plina pri S. C. (STP): 36

petrofizika - propusnost Varijacije propusnosti u linearnom sustavu protjecanja fluida U prirodi su ležišta rijetko homogena; ležište se najčešće sastoji od slojeva ili blokova različite građe i/ili svojstava. Zato u mnogim podzemnim geološkim formacijama ležišne stijene pokazuju manji ili veći stupanj anizotropije, anizotropije drugim riječima, postoje prostorne varijacije propusnosti. Homogenost = svugdje ista građa, svojstva, napr. litologija Izotropija = ista svojstva u svim smjerovima Sa stanovišta prostornog razmještaja, geometrija anizotropnog poroznog medija može uključiti serijske ili paralelne promjene propusnosti. 37

petrofizika - propusnost 4. Linearni protok - Serijske promjene propusnosti Razmatra se dio ležišta sa segmentima različite duljine (debljine) i različitih propusnosti 38

petrofizika - propusnost 4. Linearni protok - Serijske promjene propusnosti Rezultat prethodnih matematičkih manipulacija je Za taj isti anizotropni medij može se napisati valjana Darcyjeva jednadžba za ukupni linearni protok kroz razmatrani segment na slijedeći način = prosječna, srednja ili efektivna propusnost (engl. average permeability a katkada i apparent permeability. Napomena: apparent, ovisno o kontekstu može značiti prividan ali i očit, stvarni, opažan, mjeren. U ovom slučaju radi se o drugom značenju!) 39

petrofizika - propusnost 4. Linearni protok - Serijske promjene propusnosti Izjednačavanjem i dobiva se izraz za prosječnu propusnost formacije pri serijskim promjenama propusnosti: 40

petrofizika - propusnost 4. Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti Naftna ležišta često se sastoje od paralelnih slojeva različite propusnosti, međusobno odijeljenih nepropusnom barijerom, tako da nema komunikacije fluida (engl. crossflow) između slojeva. 41

petrofizika - propusnost 4. Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti U svim slojevima protjecanje fluida odvija se pri istom, konstantnom tlačnom gradijentu, Uz istu širinu slojeva, , veličina protoka kroz svaki individualni sloj ovisi o debljini, i propusnosti, sloja: 42

petrofizika - propusnost 4. Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti Ukupni protok jednak je zbroju protoka kroz pojedine slojeve: S druge strane, proporcionalan je prosječnoj propusnosti svih slojeva, i njihovoj ukupnoj debljini 43

petrofizika - propusnost 4. Linearni protok - Paralelne promjene propusnosti Uvrštavanjem u i kombinacijom s prosječna (efektivna) propusnost paralelno naslaganih slojeva je: Ista širina, različita debljina; Ai = a h i Različita širina i debljina; Ai = a i h i 44

petrofizika - propusnost 5. Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina) Razmatra se protok fluida kroz segment poroznog medija anularnog (prstenastog) oblika, čije dimenzije određuje razlika između dvaju koncentričnih cilindara (valjaka) iste visine ili debljine. Radijalni protok fluida iz ležišta u bušotinu = visina (debljina) valjka, tj. sloja = potencijal pri = polumjer (radius) bušotine = potencijal pri = drenažni radius (radius iscrpljivanja). 45

petrofizika - propusnost 5. Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina) Pri radijalnom protoku povećanjem udaljenosti od točke većeg potencijala prema nižem potencijalu a u smjeru protoka smanjuje se Volumetrijski protok kroz bilo koji radius definiran je kao tako da je Potencijal (tlak) povećava se u istom smjeru kao i radius – zato plus (+) umjesto minusa ! 46

petrofizika - propusnost 5. Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina) Površina presjeka je površina plašta cilindra, dalje matematička “mašinerija” - odgovarajući integrali: separacija varijabli: 47

petrofizika - propusnost 5. Radijalni protok nestlačivog fluida (tekućina) Konačni izraz za radijalni protok nekompresibilnog fluida (a) za bilo koji smjer protjecanja (b) za horizontalno protjecanje 48

petrofizika - propusnost 6. Radijalni protok slabostlačivog fluida (tekućina) Izraz za protok slabostlačivog fluida uvrstiti u radijalnu jednadžbu: = protok pri referentnom tlaku integrali: matematička mašinerija: Konačni izraz: 49

petrofizika - propusnost 6. Radijalni protok slabostlačivog fluida (tekućina) Kada se za referentni tlak odabere dinamički tlak na dnu bušotine, Pri računanju proizvodnje nafte pri standardnim, površinskim uvjetima, jer je 50

petrofizika - propusnost 7. Radijalni protok stlačivog fluida (plin) Izvod jednadžbi analogan onom za linearni protok plina IDEALNI PLIN: Izotermni volumetrijski protok idealnog plina kroz porozni medij pri nekom tlaku p je: Uzevši u obzir da je radijalni protok idealnog plina pri srednjem tlaku je: 51

petrofizika - propusnost 7. Radijalni protok stlačivog fluida (plin) REALNI PLIN: Protok realnog plina kroz radius može se izračunati iz protoka plina mjerenog pri standardnim p, T-uvjetima pomoću volumnog faktora plina Bg pri tlaku p Supstitucijom u radijalni oblik Darcyjeve jednadžbe dobije se : Uzevši u obzir da je 52

petrofizika - propusnost 7. Radijalni protok stlačivog fluida (plin) REALNI PLIN: Jednadžba za protok realnog plina u tlačnom području od 0 do ~130 bar 53

petrofizika - propusnost 7. Radijalni protok stlačivog fluida (plin) REALNI PLIN: Jednadžba za protok realnog plina u području tlakova > od ~130 bar 54

petrofizika - propusnost 8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida (a) Radijalni protok uz paralelne promjene propusnosti Veliki broj formacija naftonosnih stijena sastoji se od slojeva različite debljine i propusnosti, iz kojih ležišni fluid radijalno utječe u zajedničku bušotinu, uz isti, zajednički tlačni gradijent, mjeren od istog drenažnog polumjera. Promjene propusnosti su na vertikalnoj koordinati, koja odgovara dubini. 55

petrofizika - propusnost 8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida (a) Radijalni protok uz paralelne promjene propusnosti Protok fluida je horizontalni te je gradijent potencijala na udaljenosti od re do rw jednak gradijentu tlaka, i isti je za sve slojeve Protok fluida u pojedinom sloju, qi, je različit jer ovisi o propusnosti, ki , i debljini, hi sloja. Ukupni protok fluida iz bušotine, q 56

petrofizika - propusnost 8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida (a) Radijalni protok uz paralelne promjene propusnosti Ukupni protok prema radijalnoj jednadžbi fluida je Prosječna propusnost je , pa je ukupni protok moguće izraziti na drugi način kao 57

petrofizika - propusnost 8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida (a) Radijalni protok uz paralelne promjene propusnosti Izjednačavanjem jednadžbi i kraćenjem dobiva se izraz za prosječnu propusnost paralelnih slojeva u radijalnom protoku , Identično linearnom slučaju ! 58

petrofizika - propusnost 8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida (b) Radijalni protok uz serijske promjene propusnosti Tijekom izrade bušotine isplaka u manjoj ili većoj mjeri prodire u pore stijene, gdje se krute čestice iz isplake talože (tzv. isplačni "kolač"; engl. mud cake), smanjujući porni volumen, i dalje, propusnost stijene. , Propusnost oštećene pribušotinske zone znatno je manja od originalne propusnosti ležišne stijene, tako da je to u praksi najčešći slučaj serijske promjene propusnosti uz radijalnu geometriju strujanja fluida iz ležišta u bušotinu 59

petrofizika - propusnost Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida (b) Radijalni protok uz serijske promjene propusnosti U svrhu izvoda jednadžbi za radijalni protok fluida uz serijske promjene propusnosti te izraza za prosječnu propusnost, , razmatra se segment ležišne , stijene konstantne debljine , koji uključuje anularni segment oštećene zone od do propusnosti i segment neoštećene stijene, od do , . propusnosti , pri čemu je 60

petrofizika - propusnost Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida (b) Radijalni protok uz serijske promjene propusnosti Ukupna razlika tlaka u sustavu jednaka je zbroju tlačnih gradijenata . 61

petrofizika - propusnost Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida (b) Radijalni protok uz serijske promjene propusnosti Uređenjem gornjeg izraza i rješenjem po dobije se da je prosječna propusnost pri radijalnom protjecanju uz serijske promjene propusnosti dvaju segmenata 62

petrofizika - propusnost 8. Varijacije propusnosti u radijalnom sustavu protjecanja fluida (b) Radijalni protok uz serijske promjene propusnosti Pri izvodu odgovarajuće jednadžbe za protok fluida treba početi od diferencijalnog oblika radijalne jednadžbe te je konačni izraz za radijalni horizontalni protok fluida uz serijske promjene propusnosti 63

petrofizika - propusnost Eksperimentalno određivanje propusnosti Tijekom eksperimenta protjecanja plina ili tekućine poznate viskoznosti kroz jezgru poznatih dimenzija, mjere se volumeni fluida u jedinici vremena te pripadni tlačni gradijent. Ovi eksperimentalni podaci, uvršteni u Darcyjevu jednadžbu za protok fluida omogućuju računanje apsolutne propusnosti prema 64

petrofizika - propusnost Eksperimentalno određivanje propusnosti 65