PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUO II

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PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II **Classes de Modelos de PL e

PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II **Classes de Modelos de PL e suas Formulações** Profa. Vitória Pureza 1º Semestre Aulas 7 e 8

Roteiro • Classificação dos tipos de modelos de Programação Linear Schrage, capítulo 2; Williams,

Roteiro • Classificação dos tipos de modelos de Programação Linear Schrage, capítulo 2; Williams, capítulo 5

Motivação: A estruturação de problemas de PL pode ser facilitada se estes forem dispostos

Motivação: A estruturação de problemas de PL pode ser facilitada se estes forem dispostos em classes. Na prática, um problema grande é geralmente uma combinação de duas ou mais classes CLASSIFICAÇÃO (não exaustiva) 1. Mix de produtos 2. Cobertura, programação de pessoal e corte de estoque 3. Mistura 4. Planejamento multiperíodo 5. Planejamento multi-período com elementos aleatórios 6. Problemas de rede, distribuição e modelos PERT/CPM 7. Sistemas verticalmente integrados multiestágio e input/ output

Problemas de Mix de Produtos • Descrição: Seja um conjunto de produtos e um

Problemas de Mix de Produtos • Descrição: Seja um conjunto de produtos e um conjunto finito de recursos para produzi-los. Cada unidade de produto resulta em um valor de lucro e consome uma quantidade dos recursos • Objetivo: Encontrar o mix de produtos (quantidade de cada produto) que maximize o lucro, sujeito à quantidade de recursos disponíveis Maximize o lucro sujeito a restrições ≤ Horas requeridas (min) Produto Lucro unitário Mistura Envazamento 1 120 60 20 2 300 20 8 3 200 - 30 4 80 - 15 960 480 Capacidade diária (min)

Problemas de cobertura, programação de pessoal e corte de estoque • Complementares aos problemas

Problemas de cobertura, programação de pessoal e corte de estoque • Complementares aos problemas de mix de produtos Programação de pessoal • Descrição: Uma agência de correios precisa contratar funcionários em regime integral. O número mínimo de funcionários necessários depende do dia da semana • Objetivo: Encontrar o número total mínimo de funcionários que satisfaça os requerimentos de cada dia e restrições trabalhistas Minimize o custo sujeito a restrições ≥

DIA NÚMERO DE FUNCIONÁRIOS EM REGIME INTEGRAL 1 (segunda-feira) 17 2 (terça-feira) 13 3

DIA NÚMERO DE FUNCIONÁRIOS EM REGIME INTEGRAL 1 (segunda-feira) 17 2 (terça-feira) 13 3 (quarta-feira) 15 4 (quinta-feira) 19 5 (sexta-feira) 14 6 (sábado) 16 7 (domingo) 11 • Restrição trabalhista: cada funcionário em regime integral deve trabalhar 5 dias consecutivos e folgar 2 dias (escala de trabalho)

Seja xi= número de funcionários cujo 1º dia de sua escala de trabalho é

Seja xi= número de funcionários cujo 1º dia de sua escala de trabalho é o dia i, i=1. . 7 z*=22. 33, x*=(6. 33, 5, 0. 33, 7. 33, 0, 3. 33, 0) Min z= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 sujeito a: x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 17 x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 13 x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 7 ≥ 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 7 ≥ 19 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≥ 14 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ≥ 16 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ≥ 11 xi ≥ 0 i=1. . 7 z*=23, x*=(7, 3, 1, 8, 0, 4, 0) (restrição da segunda-feira) (restrição da terça-feira) (restrição da quarta-feira) (restrição da quinta-feira) (restrição da sexta-feira) (restrição do sábado) (restrição do domingo)

Cobertura • Descrição: Uma congregação religiosa precisa decidir em uma região de 5 bairros

Cobertura • Descrição: Uma congregação religiosa precisa decidir em uma região de 5 bairros onde construir templos. Deseja-se garantir que cada bairro esteja no máximo a 10 minutos de um templo • Objetivo: Encontrar o número mínimo de templos que satisfaça os requerimentos de distância

Corte de estoque • Descrição: Uma companhia corta e vende peças de madeira de

Corte de estoque • Descrição: Uma companhia corta e vende peças de madeira de diferentes tamanhos a partir de um tipo de chapa padrão. Há várias formas ou padrões de cortagem da chapa • Objetivo: Encontrar padrões de corte que minimize o número de chapas utilizadas e que atendam requerimentos de demanda 1 2 2 x 1 2 2 4 x 2 2 1 3 Padrão 1 1 3 2 1 1 x Padrão 2 2

Problemas de Mistura • Encontrados em indústrias de refinamento de óleo, alimentícias, de ração,

Problemas de Mistura • Encontrados em indústrias de refinamento de óleo, alimentícias, de ração, dentre outras • Descrição: Uma indústria alimentícia produz um produto final (lingüiça) a partir de um conjunto de matériasprimas disponíveis (diferentes tipos de carne, temperos) • Objetivo: Obter a quantidade utilizada de cada ingrediente de forma que o custo unitário do produto final seja minimizado, sujeito a restrições de qualidade (mínimo de 15% de proteína, máximo de 20% de gordura)

Problemas de Planejamento Multi -período • Consideram que as decisões feitas em um dado

Problemas de Planejamento Multi -período • Consideram que as decisões feitas em um dado período determinam parcialmente as possíveis decisões de períodos posteriores • Sua principal característica é a ligação de diferentes períodos • Descrição: Uma fábrica de aviões possui demanda para os próximos 12 meses. Existe limitação de capacidade produtiva e estoque pode ser mantido • Objetivo: Determinar a programação da produção de forma a minimizar custos de produção e estoque

 • O submodelo usado em cada período pode ser um problema de mix

• O submodelo usado em cada período pode ser um problema de mix de produto, um problema de mistura, ou algum outro tipo de problema • Estes submodelos são geralmente “amarrados” por meio de variáveis de estoque, os quais são carregados de um período para outro, gerando restrições no modelo • Restrições de balanço Ikt = estoque de aviões do tipo k, advindo do período t xkt = produção de aviões do tipo k no período t dkt = demanda de aviões do tipo k no período t x 11 + I 10= I 11+ d 11 x 12 + I 11 = I 12 + d 12 (Avião tipo 1 para t=1) (Avião tipo 1 para t=2)

Problemas de Rede, Distribuição e modelos PERT/CPM • Problemas cuja estrutura permite fácil representação

Problemas de Rede, Distribuição e modelos PERT/CPM • Problemas cuja estrutura permite fácil representação como grafos ou redes (em geral, problemas de distribuição de produtos) • Existem métodos especializados para resolvêlos

Problema de Transporte j i x ij xij= unidades de bens enviados do ponto

Problema de Transporte j i x ij xij= unidades de bens enviados do ponto de suprimento i para o ponto de demanda j onde xij ≥ 0, i, j • Mais fáceis de resolver pelo algoritmo simplex de transporte • Se ai e bj forem inteiros a solução ótima terá valores inteiros

Um Problema de Planejamento da Produção Modelado como um Problema de Transporte Uma companhia

Um Problema de Planejamento da Produção Modelado como um Problema de Transporte Uma companhia produz um bem em 2 turnos (regular e hora extra) p/ atender demandas mensais. O custo de produção unitário é de $1 (horas regulares) e $1. 50 (horas extras). Pode -se armazenar antes da entrega a um custo de $0, 30 por unidade. Quanto produzir para atender as demandas presentes e futuras?

 CAPACIDADE (UNIDADES DE PRODUTO) JAN FEV MAR ABR HORAS REGULARES 100 150 40

CAPACIDADE (UNIDADES DE PRODUTO) JAN FEV MAR ABR HORAS REGULARES 100 150 40 160 HORAS EXTRAS 50 75 70 80 DEMANDA 80 200 300 200 CUSTOS UNITÁRIOS ENTREGUE EM PRODUZIDO EM JAN FEV MAR ABR JAN REG EXT 1 1, 5 1, 3 1, 8 1, 6 2, 1 1, 9 2, 4 FEV REG EXT - 1 1, 5 1, 3 1, 8 1, 6 2, 1 MAR REG EXT - - 1 1, 5 1, 3 1, 8 ABR REG EXT - - - 1 1, 5

Min z= 1 x 11 + 1. 3 x 12 + 1. 6 x

Min z= 1 x 11 + 1. 3 x 12 + 1. 6 x 13 + 1. 9 x 14 + 1. 5 y 11 + 1. 8 y 12 + 2. 1 y 13 + 2. 4 y 14 + Sejam 3 x + 1. 3 x + 1. 6 x + 10 21 22 23 24 x 3 ij= unidades de produto produzidas 10 y 21 + 1. 5 y 22 + 1. 8 y 23 + 2. 1 y 24 + em hora regular no mês i e 103 x 31 + 103 x 32 + 1 x 33 + 1. 3 x 34 + consumidos no mês j 3 3 10 y 31 + 10 y 32 + 1. 5 y 33 + 1. 8 y 34 + 3 3 10 + 103 x 42 + 10 43 + 1 x 44 +produzidas yijx=41 unidades de xproduto 3 3 y + 1. 5 y 10 + 103 extra y 42 + 10 no 43 emy 41 hora mês i e 44 consumidos sujeito a: j no mês Mês da Produção J F F M M A A x 11 + x 12 + x 13 + x 14 ≤ 100 y 11 + y 12 + y 13 + y 14 ≤ 50 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 150 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 ≤ 140 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 ≤ 160 y 21 + y 22 + y 23 + y 24 ≤ 75 y 31 + y 32 + y 33 + y 34 ≤ 70 y 41 + y 42 + y 43 + y 44 ≤ 80 x 11 + y 11 ≥ 80 x 13 + x 23 + x 33 + y 13 + y 23 + y 33 ≥ 300 xij , yij ≥ 0 Mês do Consumo xij , yij J (SUPRIMENTO) x 12 + x 22 + y 12 + y 22 ≥ 200 (DEMANDA) x 14 + x 24 + x 34 + x 44+ y 14 + y 24 + y 34 + y 44 ≥ 200 i=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3, 4

z* = 941, 50 x 11 = 35, y 11 = 45, x 12

z* = 941, 50 x 11 = 35, y 11 = 45, x 12 = 65, x 22 = 135, x 23 = 15, y 23=75 x 33 = 140, y 33 = 70, x 44 = 160, y 44=40 Mês da Produção 35, 40 J 65, 0 135, 0 F 15, 75 M 140, 70 A 160, 40 Mês do Consumo J F M A

Problema de Transbordo • Extensão do Problema de Transporte onde é possível a distribuição

Problema de Transbordo • Extensão do Problema de Transporte onde é possível a distribuição entre pontos de suprimento e de demanda • Podem haver pontos de transbordo onde bens são enviados ao longo de seu trajeto de um ponto de suprimento para um ponto de demanda DE PARA 6 7 8 9 i 1 xik 2 5 3 5 1 10 20 100 2 35 87 30 3 45 25 80 78 25 12 7 5 14 90 34 123 DEMANDA 50 70 10 80 x kj 7 8 9 4 4 k 4 j 6 SUPRIMENTO

Min z=10 x 14 + 20 x 15+ 35 x 24 + 87 x

Min z=10 x 14 + 20 x 15+ 35 x 24 + 87 x 25 +45 x 34 + 25 x 35 + 78 x 46 + 25 x 47 + 12 x 48 + 7 x 49 + 14 x 56 + 90 x 57 + 34 x 58+ 123 x 59 sujeito a: x 14 + x 15 ≤ 100 x 24 + x 25 ≤ 30 x 34 + x 35 ≤ 80 i 1 (SUPRIMENTO) 2 3 xik k 4 5 x kj j 6 7 8 9 x 14 + x 24 + x 34= x 46 + x 47 + x 48 + x 49 (BALANÇO EM PONTOS DE TRANSBORDO) x 15+ x 25 + x 35= x 56 + x 57 + x 58 + x 59 x 46 + x 56 ≥ 50 x 47 + x 57 ≥ 70 x 48 + x 58 ≥ 10 x 49 + x 59 ≥ 80 (DEMANDA) todas as variáveis não negativas

Problema de Designação • Descrição: Um conjunto de n tarefas deve ser realizado. Existem

Problema de Designação • Descrição: Um conjunto de n tarefas deve ser realizado. Existem n funcionários disponíveis, e cada funcionário i leva um tempo médio tij para realizar a tarefa j • Objetivo: Designar cada funcionário a uma tarefa distinta de forma a minimizar o tempo total de execução das tarefas j i x ij i, j • A integralidade da solução é garantida ao resolver o problema como um PL • Resolvido também pelo método Húngaro

 Cinco candidatos concorrem por quatro posições no setor de manufatura de uma empresa.

Cinco candidatos concorrem por quatro posições no setor de manufatura de uma empresa. Cada posição envolve a realização de uma tarefa específica. A fim de selecionar os candidatos, o gerente aplicou um teste e mediu o tempo (apresentado na tabela abaixo) que cada candidato leva para realizar cada tarefa. Formule um modelo linear que permita determinar quais candidatos devem ser selecionados e sua designação às tarefas tal que o tempo total de execução das tarefas seja mínimo HORAS REQUERIDAS PARA EXECUÇÃO DA TAREFA i i TAREFA 1 TAREFA 2 TAREFA 3 TAREFA 4 CANDIDATO 1 22 18 30 18 CANDIDATO 2 18 27 22 CANDIDATO 3 16 20 28 28 CANDIDATO 4 16 22 14 CANDIDATO 5 21 25 28

z* = 73 x 12 = 1, x 31 = 1, x 44 =

z* = 73 x 12 = 1, x 31 = 1, x 44 = 1, x 53 = 1, x 25=1 Candidato Tarefa 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

Problema de Fluxo de Custo Mínimo • Os problemas anteriores são casos especiais do

Problema de Fluxo de Custo Mínimo • Os problemas anteriores são casos especiais do problema geral de construir um fluxo de custo mínimo através de uma rede. No caso geral, os arcos podem ter capacidades mínima e máxima de fluxo • Descrição: Uma empresa possui demanda por seu produto em 3 diferentes localidades. Existem alguns modais e caminhos disponíveis para o transporte dos produtos a estas localidades • Objetivo: Determinar a forma de distribuição, de maneira a minimizar os custos de transporte e satisfazer a demanda

10 Fluxos de entrada 0 5 5 2 15 1 4 3 4 1

10 Fluxos de entrada 0 5 5 2 15 1 4 3 4 1 3 -9 6 4 6 2 5 6 -10 Custos unitários de fluxo no arco Fluxos de saída 4 2 7 -6 Min z= 5 x 02 + 4 x 13 + 2 x 23 + 6 x 24 + 5 x 25 + x 34 + 2 x 37 + 4 x 42 + 6 x 45 + 3 x 46 + 4 x 76 sujeito a: z*=209, x 02=10, x 13 = 15, x 23 = 1, x 25=9, x 34 = 10, x 02 = 10 x 37 = 6, x 46 = 10 x 13 = 15 x 02 + x 42 = x 23 + x 24 + x 25 Se todos os dados de entrada são inteiros x 24 + x 34 = x 42 + x 45 + x 46 a solução também será x 13 + x 23 = x 34 + x 37 x 25 + x 45= 9 x 46 + x 76= 10 x 37= x 76 + 6 todas as variáveis não negativas

Problema de Caminho Mínimo • Descrição: Uma empresa precisa entregar uma carga de seu

Problema de Caminho Mínimo • Descrição: Uma empresa precisa entregar uma carga de seu produto a um cliente. Existem diferentes rodovias para o transporte. • Objetivo: Determinar o caminho mais curto. 3 1 2 1 0 Nó de origem 1 5 1 2 2 1 7 4 4 1 3 3 Distância (custo) do arco 1 8 Nó de destino 2 1 4 6 • A integralidade da solução é garantida por programação linear • Melhor resolvido por algoritmos especializados (Dijkstra).

Problema de Fluxo Máximo Qual o máximo fluxo entre fontes e sumidouros ? S

Problema de Fluxo Máximo Qual o máximo fluxo entre fontes e sumidouros ? S 0 0 12 Fluxos de entrada S 1 6 2 1 20 8 4 7 3 5 T 5 3 3 6 5 6 6 T 4 9 7 7 T Capacidade máxima de fluxo no arco Fluxos de saída Z*=25 Max z = xs 0 + xs 1 sujeito a: xs 0 = x 02 xs 1 = x 13 x 02 = x 23 + x 24 + x 25 x 13 + x 23 = x 34 + x 37 x 24 + x 34 = x 42 + x 45 + x 46 x 25 + x 45 = x 5 T x 46 + x 76 = x 6 T x 37 = x 76 + x 7 T x 02 ≤ 12, x 13 ≤ 20, x 23 ≤ 6, x 24 ≤ 3, x 25 ≤ 6, x 42 ≤ 2, x 34≤ 7, x 37 ≤ 9, x 45 ≤ 5, x 46 ≤ 8, x 76 ≤ 4 todas as variáveis não negativas

Método do Caminho Crítico (CPM) • Método para planejamento de projetos que podem ser

Método do Caminho Crítico (CPM) • Método para planejamento de projetos que podem ser representados por uma rede onde o Arcos atividades a serem realizadas o Nós término e início das atividades • Também conhecido como PERT (project evaluation and review technique) • A rede pode ser analisada para responder questões como: o Quanto tempo é necessário para completar o projeto? o Quais atividades podem ser atrasadas se necessário e por quanto tempo sem atrasar o projeto ?

 • O caminho crítico é o caminho mais longo em uma rede e

• O caminho crítico é o caminho mais longo em uma rede e aponta as atividades do projeto que se atrasadas dado atrasariam o projeto como um todo. Construção de uma casa • Cada arco representa uma atividade do projeto 2 (fundação) 1 • As durações das atividades 3 10 (levantamento 4 (terraplanagem) de paredes) (dias) estão indicados juntos com a atividade 7 (obtenção de 0 4 • O arco 4 -2 marcado com uma tijolos) 3 (instalação de 12 (obtenção de linha pontilhada é uma partes elétricas) azulejos) atividade “fantasma sem 5 6 2 duração”. Ele impede que a 4 (pintura) 5 (construção do atividade 2 -5 seja iniciada telhado) antes da atividade 3 -4 ter sido finalizada.

Construção do modelo • Variáveis ti representando o instante de início de cada atividade

Construção do modelo • Variáveis ti representando o instante de início de cada atividade (t 0 para as atividades 0 -1, 0 -3 e 0 -2). • Variável z representando o instante de término do projeto. • Objetivo: Minimizar z • Restrições: Relações de precedência entre as atividades. o Início de 1 -3 ≥ Início de 0 -1 + Duração de 0 -1 t 1 ≥ t 0 + 4. . . o Fim do projeto ≥ Início de 5 -6 + Duração de 5 -6 z ≥ t 5 + 4

Sistemas verticalmente integrados e input/output Sistemas verticalmente integrados • Em uma mesma empresa, a

Sistemas verticalmente integrados e input/output Sistemas verticalmente integrados • Em uma mesma empresa, a saída de um processo é entrada de outro processo. 2º Nível AUTOMÓVEIS • Descrição: A GM produz motores componentes em MOTORES EMBREAGENS e outros FREIOS. . . 1º Nível um 1º nível da produção, enquanto em um 2º nível produz carros a partir desses componentes. • Objetivo: Determinar no 1º nível o que produzir ou comprar de terceiros de forma a minimizar custos, sujeito à satisfação da demanda dos produtos do 2º nível (decisões “make-orbuy”).

 • Sua principal característica é a ligação de diferentes níveis na empresa. •

• Sua principal característica é a ligação de diferentes níveis na empresa. • A ligação dos níveis da empresa é feita por meio de variáveis representando os produtos intermediários, gerando restrições no modelo. • Restrições de ligação de níveis mck = motores do tipo k comprados mpk = motores do tipo k produzidos mvk = motores do tipo k vendidos xik = carros do tipo i produzidos que usam motor do tipo k mck + mpk= xik+ mvk ( k)

Sistemas INPUT/OUTPUT (Leontief, 1951) Modelo Estático • A saída (output) de uma indústria ou

Sistemas INPUT/OUTPUT (Leontief, 1951) Modelo Estático • A saída (output) de uma indústria ou setor da economia é usada com 2 propósitos: Ø Consumo de um cliente doméstico (por exemplo, energia elétrica para residências). Ø Entrada (input) para outras indústrias (por exemplo, energia elétrica para a indústria do aço). • Como as saídas de muitas indústrias podem ser divididas nestes dois tipos de consumo, um conjunto complexo de inter-relações se apresenta.

Simplificações • Admite-se que a saída de cada indústria é diretamente proporcional a sua

Simplificações • Admite-se que a saída de cada indústria é diretamente proporcional a sua entrada (ao se duplicar todas as entradas, duplicam-se todas as saídas). • Admite-se que as entradas estão em proporções fixas determinadas pela tecnologia do processo de produção (a diminuição de uma entrada não pode ser compensada aumentando-se outra entrada).

 • Exemplo: Economia de 3 indústrias Matriz input/output Transporte Energia OUTPUT INPUT ENERGIA

• Exemplo: Economia de 3 indústrias Matriz input/output Transporte Energia OUTPUT INPUT ENERGIA AÇO TRANSPORTE ENERGIA 0, 1 0, 5 0, 4 AÇO 0, 1 0, 2 TRANSPORTE 0, 2 0, 1 0, 2 MÃO DE OBRA 0, 6 0, 3 0, 2 CONSUMO EXTERNO ENERGIA 20 AÇO 5 TRANSPORTE 25 Aço

OUTPUT INPUT ENERGIA AÇO TRANSPORTE ENERGIA 0, 1 0, 5 0, 4 AÇO 0,

OUTPUT INPUT ENERGIA AÇO TRANSPORTE ENERGIA 0, 1 0, 5 0, 4 AÇO 0, 1 0, 2 TRANSPORTE 0, 2 0, 1 0, 2 MÃO DE OBRA 0, 6 0, 3 0, 2 $0, 1 EDE $0, 1 X DEENERGIA $0, 1 EDE $0, 1 X DEAÇO $0, 2 EDE $0, 2 X DETRANSPORTE $0, 6 EDE $0, 6 X DEMÃO MÃODE DEOBRA I O $0, 5 XA $0, 1 XA $0, 3 XA DE ENERGIA DE AÇO DE TRANSPORTE DE MÃO DE OBRA $0, 4 XT $0, 2 XT DE ENERGIA DE AÇO DE TRANSPORTE DE MÃO DE OBRA INDÚSTRIA DE ENERGIA I $X DE ENERGIA $1 E DE O INDÚSTRIA DO AÇO I $XA DE AÇO O INDÚSTRIA DO TRANSPORTE $XT DE TRANSPORTE

Pode-se responder às seguintes questões: 1) Quanto produzir de cada indústria para satisfazer a

Pode-se responder às seguintes questões: 1) Quanto produzir de cada indústria para satisfazer a demanda externa? Os valores devem ser suficientes para servir como input para as 3 indústrias e o consumo doméstico. x. E = 0, 1 x. E + 0, 5 x. A + 0, 4 x. T + 20 x. A = 0, 1 x. E + 0, 1 x. A + 0, 2 x. T + 5 x. T = 0, 2 x. E + 0, 1 x. A + 0, 2 x. T + 25 • Sem restrições de capacidade, têm-se 3 equações e 3 variáveis. A solução deste sistema linear é xc=56, 1, xa=22, 4 e xt=48, 1.

2) Quanto de mão de obra isso requer? xm = 0, 6 x. E

2) Quanto de mão de obra isso requer? xm = 0, 6 x. E + 0, 3 x. A + 0, 2 x. T = 50 • Sem restrições de capacidade, a função objetivo é irrelevante e o modelo é irrealista. Restrição de capacidade produtiva – bem primário 3) Com uma restrição de mão de obra, quanto do consumo externo pode ser atendido? Max x. E + x. A + x. T sujeito a: x. E = 0, 1 x. E + 0, 5 x. A + 0, 4 x. T + y. E x. A = 0, 1 x. E + 0, 1 x. A + 0, 2 x. T + y. A x. T = 0, 2 x. E + 0, 1 x. A + 0, 2 x. T + y. T 0, 6 x. E+ 0, 3 x. A+ 0, 2 x. T ≤ 40 (mão-de-obra)

Matriz Input-output com Processos de Produção Alternativos • Se existe um único bem primário,

Matriz Input-output com Processos de Produção Alternativos • Se existe um único bem primário, então na solução ótima existe um único processo de produção para cada indústria (Teorema de substituição de Samuelson). OUTPUT INPUT ENERGIA AÇO TRANSPORTE ENERGIA 0, 1 0, 2 0, 5 0, 6 0, 4 0, 6 AÇO 0, 1 - 0, 1 0, 2 TRANSPORTE 0, 2 0, 1 - 0, 2 0, 05 MÃO DE OBRA 0, 6 0, 7 0, 3 0, 2 0, 15