PERTEMUAN KE 2 DISTRIBUSI PELUANG VARIABEL ACAK Variabel

PERTEMUAN KE 2 DISTRIBUSI PELUANG

VARIABEL ACAK Variabel acak Sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi acak atau untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda. Variabel acak diskret Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai tertentu dalam suatu interval/ hasil perhitungan data Variabel acak kontinu Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai yang menempati seluruh titik dalam suatu interval/ hasil pengukuran data. 2

PENDAHULUAN Fungsi Peluang : ØVariabel acak diskrit x menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai x 1, x 2, …, xn terdapat peluang P(xi) sehingga ∑ P(xi) = 1, P(x) disebut fungsi peluang. Ekspektasinya E(x)= ∑ xi. P(xi) ØVariabel acak kontinu x mempunyai fungsi densitas f(x) sehingga Ekspektasinya E(x) =

Contoh 1: Pengamatan terhadap banyak kendaraan (x) yang melalui suatu jalan tiap menit mengikuti distribusi peluang x 0: 1 2 3 4 5 6 7 8 sbb Pelu ang 0. 0 1 Peluang 0. 0 5 0. 1 0. 2 58 0. 2 2 0. 1 8 0. 0 5 0. 0 3 dalam satu menit paling sedikit ada 3 kendaraan = 1 - (0. 01+0. 05+0. 1) = 0. 84 atau 0. 28+0. 22+0. 18+0. 05+0. 03 = 0. 84 Rata-rata tiap menit banyak kendaraan

Contoh 2 : Masa pakai x suatu alat dapat ditunjukkan dengan fungsi densitas : F(x) = ½ e -1/2 x, x≥ 0 dalam bulan e=2, 7183 Tentukan peluang alat tersebut dapat dipakai selama : A. antara 3 sampai 3, 5 bulan B. rata-rata masa pakai

Jawab : A. P(3<x<3, 5) = B. E(x)=

Definisi Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label "berhasil" bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau ”gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulanganulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu sebesar 0, 5. (Ronald E. Walpole) 7

Ciri-Ciri Distribusi Binomial Percobaan diulang sebanyak n kali. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas, misal : ke ◦ "BERHASIL" atau "GAGAL"; ◦ "YA" atau "TIDAK"; ◦ "SUCCESS" atau "FAILED"; Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1 - p. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan yang lainnya. Percobaannya terdiri dari atas n ulangan (Ronald E. Walpole). Nilai n < 20 dan p > 0. 05 8

Rumus Distribusi Binomial b(x; n, p) = ncxpxqn-x dimana : x = 0, 1, 2, 3, . . . , n n = banyaknya ulangan x = banyaknya kerberhasilan dalam peubah acak x p = Peluang berhasil dalam setiap ulangan q = Peluang gagal, dimana q = 1 - p dalam setiap ulangan 9

Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES. Parameter pada distribusi binom : 1. rata-rata µ = Nπ 2. Simpangan baku 10

Contoh : Peluang mendapat 6 muka gambar ketika melakukan undian dengan mata uang koin sebanyak 10 kali adalah : P(x=6)=10 C 6 (1/2)4 = 0. 205

Contoh distribusi binomial : Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas : ◦ Paling banyak 2 diantaranya menyatakan sangat puas ◦ Paling sedikit 1 di antara menyatakan kurang puas ◦ Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja 12

Jawab : X≤ 2 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(x; n, p) = b(0; 5, 0. 20) + b(1; 5, 0. 20) + b(2; 5, 0. 20) = 0. 32768 + 0. 40960 + 0. 20480 = 0. 94208 atau b(x=0) = 5 C 0 (0. 20)0 (0. 80)5 = 0. 32768 b(x=1) = 5 C 1 (0. 20)1 (0. 80)4 = 0. 40960 b(x=2) = 5 C 2 (0. 20)2 (0. 80)3 = 0. 20480 -------------------------- + Maka hasil x = 2 adalah = 0. 94208 13

X≥ 1 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(1; 5, 0. 15) + b(2; 5, 0. 15) + b(3; 5, 0. 15) + b(4; 5, 0. 15) + b(5; 5, 0. 15) = 0. 3915 + 0. 1382 + 0. 0244 + 0. 002 + 0. 0001 = 0. 5562 X=2 b(2; 5, 0. 25) = 0. 2637 14

X=2 X=4 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(2; 5, 0. 40) + b(3; 5, 0. 40) + b(4; 5, 0. 40) = 0. 3456 + 0. 2304 + 0. 0768 = 0. 6528 15

Analisis masing-masing point : ◦ Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0. 94208 atau 94, 28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar. ◦ Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0, 5563 atau 55, 63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%). ◦ Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0, 2637 atau 26, 37% adalah kecil (karena dibawah 50%). Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0, 6528% atau 65, 28% dapat dikatakan cukup besar. 16

Analisis keseluruhan : Presentase Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94, 28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia. 17

Nilai X Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55, 63% yang menyatakan kurang puas. Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia. 18

Kepala bagian produksi PT SINGSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 yang rusak ? 19

Jawab : p ( rusak ) = 0, 15, q ( baik ) = 0, 85, x = 2, n = 4 Rumus : b(x; n; p) = n. Cx px q n-x b (x = 2 ; 4 ; 0, 12 ) = 4 C 2 (0, 15)^2 (0, 85)^(4 - 2) = 0, 0975 20

Analisis : Dengan jumlah 0, 0975 atau 9, 75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata - rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9, 75%) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian. 21

Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8 MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL Anda klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function. 2. Anda pilih menu statistical pada function category 3. Anda pilih menu Binomdist pada function name, Anda tekan OK. 4. Setelah anda tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut: 1. BINOMDIST Number_s : ………… (masukkan nilai X) Trials : ………. . (masukkan nilai n) Probability : ………… (masukkan nilai p) Cumulative: ………… (tulis kata False) Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=) 22

CONTOH PT JATIM ABADI memiliki perkebunan buah melon di Magetan dan Madiun. Setiap bulannya dapat dihasilkan 20 ton buah melon dengan kualitas A. Buah melon tersebut di bawa dengan truk ke Jakarta. Probabilitas melon mengalami kerusakan selama perjalanan adalah 20%. Berapa probabilitas maksimal 4 ton dari jumlah melon tersebut rusak dan berapa peluang tepat 4 ton buah melon tersebut rusak? 23

24

25

DISTRIBUSI POISSON • Dikembangkan oleh Simon Poisson • Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil (terjadinya sangat jarang hampir =0) akan sulit mendapatkan nilai binomialnya. • Rumus: P(X) = xe- /X! 26

Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8 CONTOH DISTRIBUSI POISSON Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0, 1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen? Jawab: n = 120 P(X) X=5 p=0, 1 =n. p =120 x 0, 1 = 1252, 71828 -12/5! = 0, 0127 Untuk mendapatkan nilai distribusi Poisson, dapat digunakan tabel distribusi Poisson. Carilah Nilai = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai 0, 0127 27

Contoh 2 : Misal rata-rata ada 1, 4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang. Sebuah sampel sejumlah 200 telah diambil. Jika x banyak buta huruf per 200 orang, maka rata = = 2, 8. Peluang tidak terdapatnya buta huruf = P(0) = 2, 802, 71828 -2, 8/0! = 0, 0608

Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8 MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI POISSON Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function • Pilih menu statistical pada function category • Pilih menu POISSON pada function name, tekan OK • Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut: • POISSON X Mean Cumulative : ………… (masukkan nilai x) : ………. . (masukkan nilai ) : ………… (tulis FALSE) • Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=) 29

30

31

Pertemuan 3 : Distribusi Normal (Variabel Acak Data Kontinu) Distribusi normal adalah distribusi yang paling banyak ditemukan Diperoleh dari data kontinyu Parameter : μ = rata-rata, σ =deviasi standar=simpangan baku π=3, 14 , e=2, 7183, -∞<x<∞ Fungsi densitasnya:

Distribusi Normal (Variabel Acak Data Kontinu) Distribusi ◦ ◦ Normal Standar : Distribusi normal yang memiliki μ = 0 dan σ = 1. Konversi dari X yang terdistribusi normal ke Z yang terdistribusi normal standar:

Contoh : Berat bayi baru lahir rata-rata 3. 750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal tentukan berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4. 500 gram ? Transformasi untuk berat x = 4500 Z=(4500 -3750)/325 = 2, 31 Luas daerah pada kurva normal dengan z>2, 31 = 0, 5 -0, 4896=0, 0104 Jadi ada 1, 04% bayi dengan berat lebih dari 4500 gram Jika total banyak bayi ada 1000, maka banyak bayi dengan berat lebih dari 4500 gram = 0, 0104. 1000=10, 4=11 bayi

Distribusi t (Variabel Acak Kontinu) Distribusi student-t sama dengan distribusi Normal pada banyak sampel besar >= 30 Digunakan apabila jumlah sampel yang ada ukurannya kecil (n< 30)

Penggunaan Tabel Distribusi (Tabel z : Distribusi Normal Baku) Tabel ini berisi nilai peluang untuk nilai z dari 0 s. d. 4. 095 kurva distribusi normal baku z

Penggunaan Tabel Distribusi (Tabel z : Distribusi Normal Baku) A. Mencari nilai z untuk suatu nilai peluang yang diketahui Misal ingin dicari nilai z bagi nilai peluang sebesar 0. 05, Langkah-langkah: 1. Carilah angka 0. 05 pada deretan angka berwarna biru. Apabila tidak ada angka yang persis sebesar 0. 05, maka carilah angka yang paling mendekati angka 0. 05. angka yang paling mendekati 0. 05 pada tabel adalah 0. 049985. 2. Dari angka 0. 049985, tariklah garis ke kiri terlebih dahulu hingga mencapai deretan angka pada kolom paling kiri dan catatlah angkanya. Dalam kasus ini adalah 1. 6 3. Kemudian kembali ke posisi angka 0. 049985, tariklah garis ke atas hingga mencapai deretan ujung kolom bagian atas dan catatlah angkanya (yaitu 0. 045). 4. Nilai z yang dicari adalah 1. 6 + 0. 045 = 1. 645

Penggunaan Tabel Distribusi (Tabel z : Distribusi Normal Baku) 3 2 1

Penggunaan Tabel Distribusi (Tabel z : Distribusi Normal Baku) Cara mencari nilai peluang dari nilai z bertanda negatif. Nilai peluang bagi nilai z bertanda positif dan negatif adalah sama. Kemudahan ini didasarkan pada sifat kurva distribusi z (normal baku) yang simetris.

10% dari penduduk tergolong kategori A. Sampel acak diambil dari 400 penduduk. Tentukan peluang akan terdapat 55 orang atau lebih yang termasuk kategori A. σ = √npq = √ 400. 0, 1. 0, 9 = 6 orang Jawab : 55 orang atau lebih z=(54, 5 -40)/6= 2, 42

TERIMA KASIH