PERTEMUAN 4 VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

PERTEMUAN 4 VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan 3 Dapat menghitung perkalian dan jarak antara 2 vektor VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Vektor di Ruang-2 Vektor di Ruang-3 VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

B v A vektor v = AB A disebut titik awal/inisial Vektor-vektor ekivalen B disebut titik akhir/terminal Dianggap sama Panjang dan arahnya sama VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Negasi sebuah vektor v –v secara geometrik v –v Penjumlahan dua vektor: w = u + v w Panjang sama, arah berlawanan secara geometrik v u Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v) u w v v w u VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Penjumlahan dua vektor: w = u + v w v u Cara analitik: Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3 Ruang-2: u = (u 1, u 2); v = (v 1, v 2); w = (w 1, w 2) = (u 1, u 2) + (v 1, v 2) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2) w 1 = u 1 + v 1 w 2 = u 2 + v 2 VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar secara geometrik: v v 3 v – 2 v VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number) w = k v ; k = skalar Cara analitik: Di Ruang-2: w = kv = (kv 1, kv 2) (w 1, w 2) = (kv 1, kv 2) w 1= kv 1 w 2 = kv 2 VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Koordinat Cartesius: P 1 = (x 1, y 1) dan P 2 = (x 2, y 2) P 1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 1, y 1) atau sebagai vektor OP 1 di Ruang-2 dengan komponen pertama x 1 dan komponen kedua y 1 P 2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x 2, y 2) atau sebagai vektor OP 2 di Ruang-2 dengan komponen pertama x 2 dan komponen kedua y 2 Vektor P 1 P 2 = OP 2 – OP 1 = (x 2 – x 1, y 2 – y 1) VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Vektor-vektor di ruang-3 Aturan tangan kanan Aturan tangan-kiri z z x y x : 4 jari y : telapak tangan z : ibu jari Lihat bab 3. 1. Gambar 11 VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Translasi sumbu-y’ y y’ l (0, 0) (k, l) (0, 0) k x’ = x – k P x’ (x, y) (x’, y’) sumbu-x’ x sumbu-x y’ = y – k VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Bab 3. 2 Aritmatika vektor Norma sebuah vektor VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3 Teorema 3. 2. 1. : u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3 k, l adalah skalar (bilangan real) • u+v = v+u • (u+v)+w = u+(v+w) • u+0 = 0+u = u • u+(-u) = (-u)+u = 0 • k(lu) = (kl)u • k(u+v) = ku + kv • (k+l)u = ku + lu • 1 u = u VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Bukti teorema 3. 2. 1. : 1. Secara geometrik (digambarkan) 2. Secara analitik (dijabarkan) Bukti secara analitik untuk teorema 3. 2. 1. di Ruang-3 u = (u 1, u 2, u 3); v = (v 1, v 2, v 3); u + v = (u 1, u 2, u 3) + (v 1, v 2, v 3) w = (w 1, w 2, w 3) u + 0 = (u 1, u 2, u 3) + (0, 0, 0) = (u 1+ v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3) = (u 1+ 0, u 2 + 0, u 3 + 0) = (v 1 + u 1, v 2 + u 2, v 3 + u 3) = (0 + u 1, 0 + u 2, 0 + u 3) =v+u =0+u = (u 1, u 2, u 3) =u VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

k(lu) = k (lu 1, lu 2, lu 3) k(u + v) = k((u 1, u 2, u 3) + (v 1, v 2, v 3)) = (klu 1, klu 2, klu 3) = k(u 1+ v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3) = kl(u 1, u 2, u 3) = (ku 1+ kv 1, ku 2 + kv 2, ku 3 + kv 3 ) = klu = (ku 1, ku 2, ku 3) + (kv 1, kv 2, kv 3 ) = ku + kv (k + l) u = ((k+l) u 1, (k+l) u 2, (k+l) u 3) = (ku 1, ku 2, ku 3) + (lu 1, lu 2, lu 3) = k(u 1, u 2, u 3) + l(u 1, u 2, u 3) = ku + lu VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Norma sebuah vektor: (Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor) Ruang-2 : norma vektor u = ||u|| = u 12 + u 22 Ruang-3 : norma vektor u = ||u|| = u 12 + u 22 + u 32 Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1 VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Jarak antara dua titik: Ruang-2: vektor P 1 P 2= (x 2 – x 1, y 2 – y 1) jarak antara P 1(x 1, y 1) dan P 2(x 2, y 2) = (x 2 – x 1)2 + (y 2 – y 1)2 Ruang-3: vektor P 1 P 2= (x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1) jarak antara P 1(x 1, y 1, z 1) dan P 2(x 2, y 2, z 2) = (x 2 – x 1)2 + (y 2 – y 1)2 + (z 2 – z 1)2 VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka norma ku = | k | || u || VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Contoh(1): Cari norm dari v = (0, 6, 0) Penyelesaian : Contoh(2): Anggap v = (-1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norm kv = 4 Penyelesaian : VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Contoh(3): Carilah jarak antara a. b. P 1 = (3, 4) dan P 2 = (5, 7) P 1 = (3, 3, 3) dan P 2 = (6, 0, 3) Penyelesaian : a. b. VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3

Contoh(4): a. Jika v adalah vektor tak nol, maka tunjukkan bahwa merupakan vektor satuan b. Gunakan penyelesaian dari a untuk menemukan vektor satuan yang mempunyai arah sama dengan v = (3, 4) c. Gunakan penyelesaian dari a untuk menemukan vektor satuan yang mempunyai arah berlawanan dengan v = (-2, 3, -6) Contoh(5): Misalkan u = (2, -2, 3), v = (1, -3, 4), w = (3, 6, -4). Tentukan hasil dari : a. b. d. VEKTOR DIMENSI 2 DAN DIMENSI 3