PERTEMUAN 2 MATEMATIKA DISKRIT PREDICATE QUANTIFIER APAKAH INI

PERTEMUAN 2 MATEMATIKA DISKRIT PREDICATE & QUANTIFIER

APAKAH INI MERUPAKAN PROPOSISI ? - Nurdin mempunyai 2 motor -2>1 - 10 <= 8 -x>3 -x+y=5

PREDIKAT DAN FUNGSI PROPOSISI Perhatikan dari pernyataan P(x), dan notasi simbolik dari x > 5 P(x) : x > 5 • X disebut subjek / variabel • >5 disebut predikat • P(x) belum mempunyai nilai kebenaran selama x belum diketahui; maka disebut sbg fungsi proposisi P untuk x • P(x) akan menjadi proposisi jika kepada x telah diberikan nilai tertentu kepadanya

P(x) : x > 5 • Akan menjadi proposisi jika x telah diberi nilai tertentu (x telah diikat / bound dengan nilai tertentu) • Nilai yang diberikan kepada x diambil dari himpunan nilai yang disebut semesta (universe of discourse) atau domain • Dalam contoh di atas domain dapat berupa himpunan bilangan bulat / integer

PROPOSIONAL FUNCTION Proposional Sebuah Function adalah : kandidat proposisi Kal. Yg blm menjadi proposisi, karena terdiri dari satu atau lebih variabel Notasi P(x), P(x, y). . .

EX : PROPOSIONAL FUNCTION Ex : P(x) = 2 X adalah bil genap, Bgm nilai kebenarannya ? Jwb : X = domain X = integer X = {1, 2, 3. . } Coba dimasukkan semua nilai X ke dalam P(x) Ternyata benar, Mk nilai kebenarannya adalah true

CARA MERUBAH P. F MENJADI PROPOSISI Cara merubah P. F menjadi proposisi : Tiap var diberi nilai, atau Menjadikan P. F menjadi Quantifier Ex: memberi nilai pada var P(x) = x>3, bagaimana nilai kebenarannya untuk P(4) dan P(2) ? Jwb : P(4) = 4>3 nilai kebenarannya : true P(2) = 2>3 nilai kebenarannya : false

CARA MERUBAH P. F MENJADI PROPOSISI(COUNT’D) Ex: memberi nilai pada var Q(x, y) x = y + 3, bagaimana nilai kebenarannya untuk Q(1, 2) dan Q(3, 0) ? Jwb : Q(1, 2) 1 = 2 + 3 nilai kebenarannya : false Q(3, 0) 3 = 0 + 3 nilai kebenarannya : true

Quantifier • Selain mengikat x dengan suatu nilai dari domain tertentu, x dapat juga diikat dengan quantifier • Prosesnya disebut quantification • Ada 3 macam quantifiers: 1. Universal quantifier 2. Existential quantifier 3. Unique quantifier

QUANTIFIERS Quantifiers quantifier Existential quantifier Universal Artinya For Ex: : quantifier all every x P (x) artinya : Untuk semua nilai x membuat p(x) menjadi benar Untuk setiap nilai x membuat p(x) menjadi benar P(x) benar untuk semua nilai x

UNIVERSAL QUANTIFIER Ex: P(n) = n 2 + 2 n adalah bil ganjil integer n E D = {all integer} Jwb : P(n) is true when n is an odd integer P(n) is false when n is an even integer Ex: P(x) = x + 1 > x , bgm nilai kebenaran dari x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar untuk semua x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata benar, maka x P(x) bernilai true

COUNTEREXAMPLE Counterexample Nilai x yg memb P(x) menj salah Ex: P(n) = n 2 + 2 n adalah bil ganjil integer , bgm nilai kebenaran dari n P(n), dimana n=integer Jwb : N=2 p(n)=8, ternyata pernyataan ini salah, Mk n=2 adalah counterexample untuk P(n)

UNIVERSAL QUANTIFIER P(x) : x > 5 x P(x) di-bahasa-kan demikian: “untuk semua nilai x dalam domain, x > 5” “untuk semua nilai x membuat P(x) menjadi benar” “P(x) benar untuk semua nilai x” Apakah nilai kebenaran dari x P(x) jika domain adalah 1. { 1, 2, 3, 4, 5 } 2. { 1. . 10 } 3. { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } 4. { 6 }

UNIVERSAL QUANTIFIER Ex : Q(x) = x < 2, bagaimana nilai kebenaran quantifier x Q(x), dimana domain (x) adalah real number ? Jawab : X = { …… 2, 3, 4, 5………) Q(x) tidak benar untuk setiap real number x Misal Q(3) false, maka x =3 adalah counterexample untuk x Q(x)

EXISTENTIAL QUANTIFIER Existential quantifier Artinya : For some Minimal ada satu nilai yang membuat menjadi benar Ex: x P (x) artinya : Minimal ada satu nilai x membuat p(x) menjadi benar Ex: P(x) = x + 1 > x , bgm nilai kebenaran dari x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar minimal ada satu nilai x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata benar, maka x P(x) bernilai true

EXISTENTIAL QUANTIFIER Ex: P(x) = x > 3 , bgm nilai kebenaran dari x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar minimal ada satu nilai x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata benar, maka x P(x) bernilai true

EXISTENTIAL QUANTIFIER Ex: P(x) x = x + 1 , bgm nilai kebenaran dari x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar minimal ada satu nilai x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata tidak ada satu nilaipun untuk x yang benar, maka x P(x) bernilai false

EXISTENTIAL QUANTIFIER P(x) : x > 5 x P(x) di-bahasa-kan demikian: “untuk suatu nilai x dalam domain, x > 5” Apakah nilai kebenaran dari x P(x) jika domain adalah 1. { 1, 2, 3, 4, 5 } 2. { 1. . 10 } 3. { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } 4. { 6 }

UNIQUE QUANTIFIER P(x) : x > 5 ! x P(x) di-bahasa-kan demikian: “untuk tepat satu nilai x dalam domain, x > 5” Apakah nilai kebenaran dari ! x P(x) jika domain adalah 1. { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } benar 2. { 1. . 10 } salah 3. { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } salah 4. { 6 } benar

VARIABEL TERIKAT, VARIABEL BEBAS, SCOPE Contoh 1: P(x) : x > 5 dalam proposisi P(4), x P(x) variabel x disebut variabel terikat P(4) : x diikat oleh nilai 4 x P(x) : x diikat oleh x

VARIABEL TERIKAT, VARIABEL BEBAS, SCOPE Contoh 2: P(x, y) : x + y > 5 P(4, y) x adalah variabel terikat (oleh 4) y disebut variabel bebas y P(x, y) x disebut variabel bebas y diikat oleh y x P(x, y) x diikat oleh x y disebut variabel bebas

VARIABEL TERIKAT, VARIABEL BEBAS, SCOPE Contoh 3: x [ P(x) Q(x) ] x R(x) scope dari x adalah [ P(x) Q(x) ] scope dari x adalah R(x)

NEGASI Contoh: 1. Semua mahasiswa di kelas ini lulus dalam matakuliah Fisika. 2. Tidak semua mahasiswa di kelas ini lulus dalam matakuliah Fisika. Domain (x) = { mahasiswa di kelas ini } F(x) : x lulus dalam matakuliah Fisika 1. x F(x) 2. x F(x) ekivalen dengan x [ F(x)]

NEGASI Contoh: 1. Ada mahasiswa dari Lamongan di kelas ini. 2. Tidak ada mahasiswa dari Lamongan di kelas ini. Domain (x) = { mahasiswa di kelas ini } M(x) : x adalah mahasiswa dari Lamongan 1. x M(x) 2. x M(x) ekivalen dengan x [ M(x)]

NEGASI Negasi Proposisi ekivalen TRUE FALSE x P(x) untuk semua x, P(x) salah / negasi P(x) x P(x) ada suatu nilai x untuk semua x, yang membuat P(x) benar P(x) salah / negasi P(x) ada suatu nilai x yang membuat P(x) benar

PROPOSISI DENGAN BEBERAPA QUANTIFIER Anggap domain adalah himpunan bilangan nyata (real numbers) 1. x [ y (x + y = y +x)] 2. x y (x + y = 0) 3. x y (x + y = 0) 4. x y ( (x > 0) (y < 0) xy < 0 )

Ringkasan untuk 2 quantifiers proposisi TRUE FALSE x y P(x, y) y x P(x, y) benar untuk semua pasangan x dan y Ada pasangan x dan y yang membuat P(x, y) salah x y P(x, y) Untuk tiap x ada suatu y yang membuat P(x, y) benar Ada x yang membuat P(x, y) salah untuk tiap y x y P(x, y) Ada x yang membuat P(x, y) benar untuk tiap y Untuk tiap x ada suatu y yang membuat P(x, y) salah x y P(x, y) Ada pasangan x dan y yang membuat P(x, y) benar P(x, y) salah untuk semua pasangan x dan y

DOUBLE VARIABLE Ex: P(x, y) x+y = y+x nilai kebenaran untuk x y P(x, y), dimana x, y = integer ? Jwb : Bgm Untuk semua x dan untuk semua y, apakah membuat P(x, y) benar ? Apakah x+y=y+x adalah benar ? Ternyata benar, maka proposisi ini berniali benar Ex: Q(x, y) x+y = 0 Bgm nilai kebenaran untuk : y x Q(x, y) x y Q(x, y) Dimana x, y adalah integer

Jwb : y x Q(x, y) : x y Q(x, y) Min ada 1 nilai y untuk semua/setiap nilai x yang membuat Q(x, y) benar Mis y=2, mk x = -2 , padahal seharusnya 2 ini bisa untuk sembarang nilai x, maka Proposisi ini bernilai false Untuk semua nilai x min ada 1 nilai y yg membuat Q(x, y) benar Mis x=2, mk y=-2 Mis x=3, mk y=-3 Mk => proposisi ini bernilai true

TRIPLE VARIABLE Ex: Q(x, y, z) x+y = z Bgm nilai kebenaran untuk : x y z Q(x, y, z) x y z Q(x, y, z) Dimana x, y, z adalah integer

Jwb : x y z Q(x, y, z) : Min ada 1 nilai z untuk semua/setiap nilai x dan y yang membuat Q(x, y, z) benar Mis y=2 dan x = 3 , maka z = 5 Proposisi ini bernilai benar x y z Q(x, y, z) Min ada 1 nilai x untuk semua nilai y dan z yang membuat Q(x, y, z) benar MEmbaca dari kiri ke kanan, Jadi x =1 apakah bisa untuk sembarang nilai y dan z , jawaban tidak Mk => proposisi ini bernilai false

PR Halaman Nomor 30 12 -16 Nomor 17 -21