Pertemuan 2 Aritmatika Vektor Topik Bahasan Perkalian vektor

Pertemuan 2 Aritmatika Vektor

Topik Bahasan • Perkalian vektor dengan skalar • Perkalian Vektor dengan Vektor: > Dot Product : Model dot product, Sifat dot product

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian Vektor dengan skalar • Untuk sembarang vektor a dengan α, maka: o panjang αa = | α |. |a| o jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a o jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a o jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0 • Untuk vektor a dalam koordinat kartesian jika a = [a 1, a 2, a 3] maka: αa = [αa 1, αa 2, αa 3]

Perkalian Vektor dengan Skalar • Perkalian vektor dengan skalar menghasilkan vektor α = skalar x=αa a = vektor Vektor x merupakan hasil perkalian antara vektor a dengan skalar α § Jika α positif arah x searah dengan a § Jika α negatif arah x berlawanan dengan a α = 3, a x = 3 a

a. R Arahnya sesuai dengan yang dikehen daki Dalam sistem sumbu Kartesian vektor satuan biasanya dinyatakan sebagai : a. X atau I , a. Y atau j dan az atau k. Z k j i X Y

● Sistem sumbu Kartesian dan komponen vektor Z+ RZ k i X+ RX R< x , y , z > j RY Y+ R< x , y , z > menyatakan koordinat vektor R i ┴ j ┴ k dan Ii. I = Ij. I = Ik. I = 1 i = vektor satuan arah sumbu X+ j = vektor satuan arah sumbu Y+ k = vektor satuan arah sumbu Z+ 7

Perkalian vektor dgn skalar Contoh 1 : • Diketahui : • Hitunglah : 5 u • Jawab :

Sifat Perkalian vektor dan skalar • • αa = aα α(ka) = (αk)a α(a+b) = αa + αb (α+k) a = αa + ka 1. a = a 0. a = 0 (-1) a = -a Komulatif Asosiatif Distributif Elemen netral Elemen central Elemen invers

Latihan(1) 1. Diketahui : • Hitunglah : 1. 2 u = u 2 2. -4 v = -v 4 3. 3 u + 3 v =(u + v )3 4. 2 u– 3 v

Latihan(1) 2. Buktikan bahwa sifat perkalian vektor dan skalar adalah benar dengan menggunakan latihan soal no 1

Perkalian Titik (Dot Product)

Visualisasi • Vektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitan • Memiliki sudut antara dua vektor yaitu Ø (dibaca teta) yang memenuhi 0 ≤ Ø ≤ π

Rumus • Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u. v adalah: u. v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 u. v = 0 jika u = 0 dan v = 0

Contoh 2 | = | b 4 60 |a| = 5 Jika |a| = 5, |b| = 4. sudut antara kedua vektor 60. maka a. b = …. Jawab: a. b = |a||b|cos = 5. 4. cos 60 = 20. ½ = 10 15

Contoh 3 |b| = 6 |a| = 4 Jika |a| = 6, |b| = 4. sudut antara kedua vektor 90. maka a. b = …. Jawab: a. b = |a||b|cos = 6. 4. cos 90 = 24. 0 = 0 16

Jika a = a 1 i +a 2 j + a 3 k dan b = b 1 i + b 2 j +b 3 k maka Hasil perkalian titik pada. Vektor dirumuskan dengan a. b =a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 17

Contoh 4 Jika a = 3 i + 2 j + k dan b = 6 i -2 j + 3 k maka hasil kali vektor b. a =. . Jawab: b. a = b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 = 6. 3 + (-2). 2 + 3. 1 = 18 – 4 + 3 = 17 18

Sifat-sifat Perkalian Titik Øa. b = b. a Øk(a. b) = ka. b = kb. a Øa. a = |a|² Øa. (b ± c) = a. b ± a. c Øa. b = 0 jika dan hanya jika a b 19

Cara lain menyatakan dot produc a. b dituliskan juga sebagai (a, b) : Inner Product |a| dituliskan pula sebagai

Besaran Sudut vektor • Dengan rumus hasil kali titik dua vektor, besaran sudut dapat ditentukan antara dua vektor. • Dari a. b = |a||b|cos , dapat diperoleh

Contoh 5 Tentukan besar sudut antara vektor a = 2 i + j - 2 k dan vektor b = -j + k Jawab: 22

cos = -½ 2 Jadi = 135 23

Latihan 2 1. Jika a = -3 i + 4 j + 2 k , b = 4 i -2 j + k dan c = -4 j + 2 k Carilah • a(b – c) • a(b + c)

a. b + a. c = -18 + (-12) = -30 • Jadi a. (b + c) = -30

Kesimpulan • Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya. • vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis • Rumus untuk dot product u. v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 u. v = 0 jika u = 0 dan v = 0 • Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar

Tugas (2) 1. Dua vektor u = dan v = adalah saling tegak lurus, maka carilah nilai x yang memenuhi. 2. Diketahui |a|=2 ; |b|=3, dan b. (a + b) =12. Carilah besar sudut antara vektor a dan b 3. Jika diketahui vektor a = [2, 3, 0], b=[4, -2, 2]. Tentukanlah: panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a dan b,

TUGAS (2) 4. Diketahui titik-titik A(4, 3, 5), B(2, 3, 1) dan C(5, 2, 4). AB wakil dari u dan AC wakil dari v. Carilah kosinus sudut dan besar sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v