PERTEMUAN 12 Determinan TOPIK BAHASAN Determinan Ordo 2

PERTEMUAN 12 Determinan

TOPIK BAHASAN Determinan Ordo 2 Determinan Ordo 3

DETERMINAN ORDO 2 Sistem Persamaan : a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 x 1 = x 2 = Determinan Orde 2 = = a 11 a 22 – a 21 a 12

; x 2 = Aturan Cramer : x 1 = D= ; D 1 = ; D 2 = (D 0)

Jika b 1 dan b 2 adalah nol, system dikatakan homogen. Sehingga system ini setidaknya mempunyai “solusi trivial” x 1=0, x 2=0; Solusi lain ada jika dan hanya jika D=0. Jika setidaknya b 1 dan b 2 tidak nol, system dikatakan tak homogen. Sehingga jika D ≠ 0, maka system ini mempunyai tepat satu solusi yang diperoleh dari x 1 = ; x 2 =

DETERMINAN ORDO 3 Sistem Persamaan : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Determinan ordo 3, dapat diperoleh dari ordo 2 yang diperoleh dari D dengan cara menghapus satu baris dan satu kolom (disebut minor)

Misalnya : minor elemen a 21 dan a 22 didalam D adalah : dan M 11= - M 21= - M 31=

D= = a 11 - a 21 + a 31 = a 11 M 11 – a 21 M 21 + a 31 M 31 Aturan Cramer : x 1 = ; x 2 = ; x 3 =

D 1 = D 2 = D 3 = Sistem adalah homogen (jika b 1= b 2= b 3=0) maka setidaknya system mempunyai solusi trivial x 1= x 2= x 3=0, dan solusi bukan trivial ada jika D=0

Jika system tidak homogen dan D ≠ 0 maka system mempunyai tepat satu solusi yang dapat diperoleh dari : x 1 = ; x 2 = ; x 3 =

CONTOH 1: Penyelesaian dgn menggunakan aturan cramer Sistem persamaan: 2 x 1 x 2 + 2 x 3 = 2 x 1 + 10 x 2 - 3 x 3 = 5 - x 1 + x 2 + x 3 = -3 Penyelesaian: Determinan system = D =

D= = a 11 M 11 – a 21 M 21 + a 31 M 31 = =2 -1 + (-1) = 2 (10 - (-3)) -1 (-1 – 2) + (-1)(3 – 20) = 2 (13) – 1(-3) + (-1)(-17) = 26 + 3 + 17 = 46

D 1 = = a 11 M 11 – a 21 M 21 + a 31 M 31 = =2 -5 + (-3) = 2 (10 - (-3)) -5 (-1 – 2) + (-3)(3 – 20) = 2 (13) – 5(-3) + (-3)(-17) = 26 + 15 + 51 = 92

D 2 = =0 X 1 = D 3 = =2 = - 46 X 2 = 0 X 3 = = -1

Kofaktor: Elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-k di dalam D didefinisikan sebagai (-1) i+k kali minor elemen tersebut. Misal : kofaktor dari elemen a 21 dan a 22 adalah - - dan

Tanda (-1)i+k mengikuti pola berikut : Nilai (-1)i+k Mik dinotasikan : Cik D = a 11 M 11 – a 21 M 21 + a 31 M 31 D = a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31

CONTOH 2 : Jika D = maka: - Minor entri a 11 adalah - kofaktor entri aadalah 11 M 11 = =C 11 = 12 – (15) = -3 1. -3 = -3 (-1)=1+1

CONTOH 2 : Ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1 : M 11 = = -3 M 21 = = (2 – (- 12)) = 14 M 31 = C 11 = (-1)1+1. -3 = (-1)2+1. 14 = - 14 = (5 – (-24)) = 29 = (-1)3+1. 29 = 29 Jadi det(A) = a 11 c 11 + a 21 c 21 +a 31 c 31 = 2. (-3) + 3. (-14) + 1. 29 = -6 + (-42) + 29 = -19

CONTOH 2 : Ekspansi kofaktor sepanjang kolom 2 : M 12 = M 22 = M 32 = = (6 -5) = 1 C 11 = (-1)1+2. 1 = -1 = (4 – (-4)) = 8 = (-1)2+2. 8 = (10 – (-12)) = 22 = (-1)3+2. 22 = -22 Jadi det(A) = a 12 c 12 + a 22 c 22 +a 32 c 32 = 1. (-1) + 6. (8) + 3. -22 = -1 + 48 + (-66) = -19

DAFTAR PUSTAKA Advanced Engineering Mathematic, chapter 8 Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear