PERSAMAAN SIMULTAN Pada kenyataannya banyak situasi dimana hubungan

PERSAMAAN SIMULTAN Pada kenyataannya banyak situasi dimana hubungan sebab akibat tidak hanya terjadi satu arah, tetapi terjadi dua arah. Seperti pada saat tertentu naik turunnya harga. Secara matematis ditunjukkan oleh: Y = f(X) X = f(Y) Untuk kasus seperti ini, pendugaan koefisien fungsi dengan menggunakan model persamaan tunggal akan menyebabkan bias dan tidak konsisten. Sehingga untuk menduga model seperti itu digunakan model persamaan simultan.

Misalnya fungsi permintaan dan penawaran sbb:

Beberapa contoh persamaan simultan adalah: Model permintaan dan penawaran. Dimana : Qd = kuantitas yang diminta Qs = kuantitas yang ditawarkan P = Harga Y = Pendapatan T = Teknologi t = waktu Model Keynes untuk menetapkan pendapatan C = Belanja konsumsi Y = Pendapatan I = Investasi (diasumsikan bersifat eksogen) S = Tabungan t = waktu

Model Upah Harga. (Berdasarkan model jenis Philips) Dimana: W : tingkat perubahan upah U : tingkat pengangguran P : tingkat perubahan harga R : tingkat perubahan biaya modal M : tingkat perubahan baku yang diimpor t : waktu

Variabel-variabel dalam model persamaan simultan Variabel endogen (endogeneous variable) adalah variabel dalam persamaan simultan yang nilainya ditentukan di dalam sistem persaman. Variabel ini dapat berupa variabel independen atau variabel dependen. Variabel predetermine adalah variabel yang nilainya ditentukan diluar sistem atau ditentukan terlebih dahulu. Variabel predetermine meliputi konstanta, variabel eksogen dan lag variabel (baik lag endogenenus variable maupun lag exogeneous variable). Variabel eksogen (exogeneous varible) adalah variabel yang nilainya tidak ditentukan di dalam sistem, tetapi di luar sistem, misalnya ditentukan oleh suatu policy atau faktor lain. Variabel ini mempengaruhi variabel endogen di dalam sistem.

Model persamaan simultan dapat berupa: Model persamaan struktural Model persamaan reduced form. Model persamaan struktural atau tingkah laku (structural or behavioral Equations) adalah model sistem persamaan yang menggambarkan struktur hubungan antara variabel ekonomi yang satu dengan variabel ekonomi yang lainnya. Model struktural ini menggambarkan variabel endogen sebagai fungsi dari variabel endogen lainnya, variabel predetermine dan unsur random. Koefisien setiap persamaan struktural disebut parameter struktural (structural parameters), yang menunjukkan pengaruh langsung (direct effect) dari setiap variabel independen terhadap variabel dependen. Sebagai contoh adalah sebagai berikut:

Model persamaan reduced form adalah persamaan yang dibentuk dari persamaan struktural sedemikian rupa sehingga masing-masing variabel endogen dalam model merupakan fungsi dari semua variabel predetermined dan error. Tujuan dibentuknya persamaan reduced form adalah untuk menduga parameter atau koefisien fungsi dalam persamaan struktural. Dari model di atas maka persamaan reduced form :

Persamaan struktural Jika pers ct dan it di masukkan dalam persamaan yt, hasil sebagai berikut: Jika persamaan reduced form yt dimasukkan dalam persamaan ct maka

Jika persamaan reduced form yt dimasukkan dalam persamaan it maka diperoleh hasil sebagai berikut: Persamaan reduced di mana form sebagai berikut:

Jika model persamaan simultan diduga dengan metode OLS akan menyebabkan terjadinya bias yang dinamakan ”bias persamaan simultan”, yaitu suatu keadaan di mana terjadi ‘over estimation atau under estimation’ Bias tersebut disebabkan karena variabel endogen dalam model yang juga merupakan variabel independent berkorelasi dengan error, sehingga terjadi pelanggaran asumsi OLS

MASALAH IDENTIFIKASI Pada saat menduga fungsi permintaan dan penawaran, tidak dapat dijamin bahwa yang dihasilkan adalah fungsi permintaan atau fungsi penawaran. Mengapa? Dalam keadaan keseimbangan, data jumlah yang diminta dan data jumlah yang ditawarkan adalah sama, demikian juga halnya dengan data harga Perlu identifikasi Tujuan identifikasi model adalah untuk menentukan apakah nilai πij yang diduga dari persamaan reduced form dapat digunakan untuk menduga parameter dalam model persamaan struktural atau tidak ? Jika persamannya dapat diduga, metode pendugaan model apa yang dapat digunakan ?

Contoh : Model persamaan permintaan dan penawaran : Persamaan struktural permintaan dan penawaran tersebut terdiri dari dua variabel endogen, Qt dan P, serta satu variabel eksogen, I. Persamaan reduced form nya: Dari persamaan reduced form dapat dihitung koefisien fungsi penawaran β 0 dan β 1 sebagai berikut

Hasil Identifikasi Just atau exact identification: kondisi di mana koefisien fungsi penawaran dapat ditentukan secara tepat dari koefisien persamaan reduced form. Metode yang digunakan untuk menduga model adalah Indirect Least Square (ILS) Under identification (tidak dapat diidentifikasikan). Kondisi di mana dari persamaan reduced form tidak dapat digunakan untuk menduga koefisien model struktural (Contoh di atas fungsi permintaannya). Model tidak dapat diduga Over identification : kondisi di mana dari koefisien persamaan reduced form dapat menghasilkan lebih dari satu nilai salah satu koefisien persamaan struktural. Metode yang digunakan untuk menduga model adalah Two Stage Least Square (2 SLS=TSLS)

Untuk melakukan identifikasi suatu model persamaan struktural dilakukan dengan order condition dan rank condition Order Condition. Order condition merupakan syarat yang harus dipenuhi untuk identifikasi, tetapi belum mencukupi. Untuk melakukan identifikasi dengan order kondition dapat digunakan rumus sebagai berikut: (K−M) ≥ (G− 1) di mana: G : banyaknya persamaan dalam model K : banyaknya variabel (variabel endogen dan predetermined) dalam model M : banyaknya variabel dalam persamaan tertentu Jika (K−M) < (G− 1) : under identification, Jika (K−M) = (G− 1) : Just atau exactly indentification Jika (K−M) > (G− 1) : Over indentification.

Contoh : Model versi Keynesian untuk menentukan pendapatan nasional, terdiri dari fungsi konsumsi, fungsi investasi, fungsi pajak dan persamaan identitas. Dalam model terdapat empat variabel endogen, yaitu konsumsi C, investasi I, pajak T, dan pendapatan nasional Y, dan dua variabel predetermine, lag pendapatan Yt-1, dan pengeluaran pemerintah G. (1)Identifikasi Fungsi Konsumsi. Order Condition Dalam model terdapat empat persamaan (G=4), enam variabel, C, Y, Yt-1, T, I dan G (K=6). Dalam Fungsi konsumsi terdapat tiga variabel, yaitu C, Y dan T (M=3) (K – M) = (6 -3)=3, (G -1)=(4 -1)=3 memenuhi syarat

Rank Condition. Dalam dalam sistem persamaan yang terdiri dari G persamaan, maka suatu persamaan memenuhi syarat identifikasi jika dan hanya jika dapat dibentuk sekurang-kurangnya satu determinant ordo (G-1) tidak sama dengan nol. Persamaan di atas dapat juga dapat sajikan dalam bentuk fungsi implisit sebagai berikut: Dari persamaan diatas koefisien fungsi dimasukkan dalam tabel berikut: Persamaan No. Ct It Gt Yt Yt-1 Tt 1 -1 0 0 α 1 0 α 2 2 0 -1 0 β 1 Β 2 0 3 0 0 0 γ 1 0 -1 4 1 1 1 -1 0 0

Dari Tabel tersebut nilai-nilai koefisien yang tidak tercoret hanya dapat di bentuk satu determinan ordo 3, yaitu; Dari determinan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi konsumsi, walaupun memenuhi syarat order condition tetapi tidak memenuhi syarat rank condition, sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi konsumsi tersebut under identification.

(2) Identifikasi fungsi Investasi. Order Condition Dalam model terdapat empat persamaan (G=4), enam variabel, C, Y, Yt-1, T, I dan G (K=6). Dalam Fungsi konsumsi terdapat dua variabel, yaitu I, Yt-1 T (M=2) (K – M) = (6 -2)=4, (G -1)=(4 -1)=3 memenuhi syarat Persamaan No. Ct It Gt Yt Yt-1 Tt 1 -1 0 0 α 1 0 α 2 2 0 -1 0 β 1 Β 2 0 3 0 0 0 γ 1 0 -1 4 1 1 1 -1 0 0 Dari Tabel tersebut nilai-nilai koefisien yang tidak tercoret dapat di bentuk lebih dari 1 determinan ordo 3, yaitu;

Model Recursive Terdapat situasi dimana OLS dapat diterapkan secara benar bahkan dalam hubungan persamaan simultan. Bentuk seperti ini terjadi pada kasus model berulang (recursive), segitiga (triangular) atau sebab-akibat. Salah satu contoh bentuk recursive adalah : Y 1 t = β 10 + γ 11 X 1 t + γ 12 X 2 t + u 1 t Y 2 t = β 20 + β 21 Y 1 t + γ 21 X 1 t + γ 12 X 2 t + u 1 t Y 3 t = β 30 + β 31 Y 1 t + β 32 Y 2 t + γ 21 X 1 t + γ 12 X 2 t + u 1 t

Metode Kuadrat Terkecil Tak Langsung (ILS=Indirect Least Square) Metode pendugaan model yang Just Identification adalah dengan metode ILS yang meliputi tiga langkah, yakni : 1. Berdasarkan persamaan struktural dibentuk persamaan reduced form di mana masing-masing variabel endogen dalam model merupakan fungsi dari semua variabel predetermined. Banyaknya persamaan reduced form sama dengan banyaknya variabel endogen. 2. Menduga koefisien semua persamaan reduced form dalam model dengan menggunakan metode OLS. 3. Menduga koefisien model persaman structural dengan menggunakan koefisien yang dihasilkan dari pendugaan persaman reduced form yang telah diduga dengan OLS.

Contoh. Model persamaan simultan dari fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar. Model terdiri dari dua variabel endogen, yaitu jumlah, Q dan harga, P serta dua variabel eksogen, yaitu pendapatan, I dan curah hujan C. Persamaan reduced form sebagai berikut:

Dari koefisien persamaan reduced form dapat ditentukan nilai koefisien persamaan struktural sebagai berikut:

Metode Kuadrat Terkecil Dua Tahap (2 SLS) Metode yang digunakan untuk persamaan struktural yang over-identificationi, Metode Kuadrat Terkecil Dua Tahap/ Two Stage Least Square (2 SLS). Contoh: Fungsi permintaan dan penawaran berikut yang terdiri dari dua variabel endogen (Q dan P) dan tiga variabel predetermined, yaitu pendapatan (I), curah hujan (C) dan teknologi (T)

Persamaan reduced formnya adalah sebagai berikut : Persamaan ini diduga dengan metode OLS, hasilnya: Pilai P dugaan yang digunakan meregresikan persamaan asli dan diduga dengan metode OLS sebagai berikut:

Contoh Pendugaan Model Simultan dengan Metode Two Stage Least Square. Model terdiri dari dua persamaan, yaitu persamaan permintaan dan penawaran minyak goreng sawit. Variabel endogen yang dimasukkan dalam model adalah jumlah minyak goreng sawit yang diminta, Qd, yang ditawarkan , Qs dan harga minyak goreng sawit, P. Variabel eksogen yang masuk model adalah pendapatan nasional, I, harga minyak goreng kelapa, S, harga CPO, R, dan trend T. Data yang digunakan data time series dari tahun 1980 sampai dengan tahun 2004. Modelnya sbb: Hasil pendugaan adalah sebagai berikut :

TH Qd=Qs S P I R T 1980 279 1353 4430 58701 2252 0 1981 326 1171 4632 63486 2283 1 1982 326 1301 3502 64214 2153 2 1983 342 970 4298 69681 2096 3 1984 605 1221 4831 74718 2837 4 1985 490 1885 4159 77336 2828 5 1986 588 1201 3520 81959 2864 6 1987 664 1055 3722 86317 2487 7 1988 728 1264 4131 91800 2593 8 1989 847 1551 4058 100100 2573 9 1990 969 1381 3465 109008 2289 10 1991 981 882 3434 118685 2295 11 1992 1162 1078 3883 127257 2749 12 1993 1250 1038 3467 136558 2448 13 1994 1506 1005 3888 147003 2951 14 1995 1731 1356 4134 159589 3054 15 1996 2336 1428 3787 171162 2705 16 1997 2453 1600 3830 179479 2745 17 1998 2526 2097 6810 156151 3312 18 1999 2598 1933 4298 157616 2667 19 2000 2923 1563 3419 164808 2004 20 2001 3303 1324 3175 171328 1730 21 2002 3733 1484 3305 178991 2257 22 2003 4218 1541 3617 187841 2600 23 2004 4766 1625 3292 197550 2686 24

SIMULASI SETELAH PERSAMAAN STRUKTUAL DAPAT DIDUGA MAKA DAPAT DILAKUKAN SIMULASI. TUJUAN SIMULASI ADALAH UNTUK MENGETAHUI BESARNYA PENGARUH PERUBAHAN PEUBAH EXOGEN TERHADAP PEUBAH ENDOGEN SECARA SIMULTAN. TIME HORIZONS DARI SIMULASI DAPAT DIGAMBARKAN SEBAGAI BERIKUT Backcasting Ex post simulation or Historical simulation Ex ante forecast Ex post forecast Time, t T 1 Estimation period T 2 T 3 (Today)

Evaluasi Model Simulasi Dalam persamaan tunggal untuk mengevaluasi apakah model yang telah diduga dapat digunakan untuk memprediksi dapat digunakan kreteria statistik seperti R 2, F test, t test dan lain sebagainya. Namun dalam persamaan simultan kriteria statistik di atas belum mencukupi. Oleh karena itu dalam persamaan simultan terdapat beberapa kriteria yang dapat digunakan untuk mengevaluasi model simultan dalam simulaisi. Ukuran yang sering digunakan adalah rms(root-m ean-square) simulation error , yaitu:

Ukuran lain yang juga dapat digunakan adalah rms percent error, yang didefinisikan sebagai berikut: Ukuran lainnya adalah mean simulation error dan mean percent error :

Ukuran statistik simulasi yang sangat berguna dan berhubungan dengan rms sumilation error serta yang diaplikasikan dalam evaluasi historical simulation adalah Theil’s inequality coefficient, yang dirumuskan sbb: