PERSAMAAN LINGKARAN Persamaan Lingkaran Hal IRISAN KERUCUT Adaptif

PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan Lingkaran Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan lingkaran LINGKARAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI HIMPUNAN TITIK YANG BERJARAK TETAP TERHADAP TITIK TERTENTU, DIMANA TITIK TERTENTU TERSEBUT DISEBUT SEBAGAI PUSAT LINGKARAN DAN JARAK YANG TETAP DISEBUT JARI - JARI Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan Lingkaran r o Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0, 0) dan Berjari-jari r Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a, b) dan Berjari-jari r Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Y r o T (x, y) OT 2 2 ( x 2 - x 1 ) + ( y 2 - y 1 ) = r X 2 ( x - 0) + ( y - 0) x Hal. : =r 2 +y IRISAN KERUCUT 2 = r 2 =r 2 Adaptif

Persamaan Lingkaran Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan lingkaran Soal Latihan Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dan : a. berjari-jari 2 b. melalui titik (3, 4) Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Y PT = r 2 2 ( x 2 - x 1 ) + ( y 2 - y 1 ) = r r P (a, b ) O Hal. : T (x, y) X 2 2 ( x - a) + ( y - b) =r 2 2 2 (x-a) + (y-b) = r IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan Lingkaran Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan lingkaran Soal Latihan Tentukan persamaan lingkaran jika : a. Berpusat di titik P (3, 2) dan berjari-jari 4 b. Berpusat di titik Q (2, -1) dan melalui titik R(5, 3) Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

ELIPS Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Standar Kompetensi Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah. Kompetensi dasar: 3. Menerapkan konsep elips Indikator 1. Menjelaskan pengertian elips. 2. Menentukan unsur-unsur elips. 3. Menentukan persamaan elips 4. Melukis grafik persamaan ellips Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Indikator 1. Menjelaskan pengertian elips. 2. Menentukan unsur-unsur elips. 3. Menentukan persamaan elips. 4. Melukis grafik persamaan elips. Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Pengertian Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan). Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Perhatikan Gambar Elips Unsur-unsur elips D Unsur-unsur pada elips: (0, b) K B 1 (- c, 0) F 1 E T 2. b a A 1 1. F 1 dan F 2 disebut fokus. P A 2 (c, 0) F 2 B 2 L (0, -b) Jika T sembarang titik pada elips maka TF 1 + TF 2 = 2 a, F 1 F 2 = 2 c, dengan 2 a > 2 c. 3. 2. A 1 A 2 merupakan sumbu panjang (mayor)= 2 a. B 1 B 2 merupakan sumbu pendek (minor) = 2 b, karena itu a > b. Lanjut Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Lanjutan Elips 3. Latus Rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor dan melalui fokus (DE dan KL), panjang Latus Rectum DE = KL = 4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor. 5. Titik puncak elips yaitu titik A 1, A 2, B 1, B 2. Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Persamaan Elips 1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0, 0) Persamaan Elips : TF 1 + TF 2 = 2 a + = 2 a Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan sehingga diperoleh …… (a 2 - c 2) x 2 + a 2 y 2 = a 2(a 2 -c 2). . . (i), jika titik T pada titik puncak pada sumbu minor (0, b) maka diperoleh …. b 2 =a 2 – c 2. . (ii) Persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) sehingga diperoleh: Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Contoh Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13, 0) dan fokus F 1(-12, 0) dan F 2(12, 0). Jawab: Diketahui pusat elips O(0, 0) Titik puncak (13, 0) a = 13 Titik fokus (-12, 0) dan (12, 0) c = 12 Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya: Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips 2. Persamaan elips yang bertitik pusat P (m, n) X= m Y a. Persamaan elips dengan titik pusat (m, n): D P(m, n) A F 2 F 1 B C O X m b. Sumbu utamanya (sumbu) y = n, dengan panjang 2 a dan sumbu minornya adalah sumbu x = n, dengan panjang 2 b. 3. Titik fokus F 1(m-c, n) dan F 2( m + c, n ) 4. Titik puncak A(m-a, n) dan B ( m + a, n ) 5. Panjang lactus rectum (LR) = Hal. : IRISAN KERUCUT dengan Adaptif

Elips Contoh: Tentukan persamaan elips dengan fokus F 1(1, 3) dan F 2(7, 3) dan puncaknya (10, 3). Jawab: Fokus (1, 3) dan (7, 3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi diperoleh m=4 dan c= 3 Pusat P (m, n) = P (4, 3) m=3 Puncak(10, 3) m + a= 10 a= 6 b 2 = a 2 –c 2 = 62 - 32 = 36 - 9 = 27 Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi: Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Bentuk umum persamaan elips Persamaan elips memiliki bentuk umum: Hubungan antara persamaan dengan adalah sebagai berikut: Jika A > B, maka A = a 2, B = b 2, C=-2 a 2 m, D= -2 b 2 n, E= a 2 m 2 + b 2 n 2 - a 2 b 2 Jika A < B, maka A = b 2, B = a 2, C=-2 b 2 m, D= -2 a 2 n, E= a 2 m 2 + b 2 n 2 - a 2 b 2 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Contoh: Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4 x 2+ 9 y 2 -16 x+ 18 y -11=0. Jawab: Diketahui persamaan elips: 4 x 2+ 9 y 2 -16 x+ 18 y -11=0. A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11 b 2 = A = 4 b=2 A 2 = B = 9 a=3 C = -2 b 2 m D= -2 a 2 m C 2= a 2 –b 2 = 9 -4 = 5 -16=-2. 4. m 18= -2. 9. n C = -16= -8 m 18= -18 n 2= m -1 = n Pusat P(m, n) P(2, -1) Fokus. F 2(m-c, n)=F 2 dan F 2(m+c, n)=F 2 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Persamaan garis singgung melalui titik (x 1, y 1) pada elips 1. Untuk persamaan elips persamaan garis singgung yang melalui (x 1, y 1) pada elips tersebut adalah: 2. Untuk persamaan elips persamaan garis singgung yang melalui (x 1, y 1) pada elips tersebut adalah: Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Persamaan garis singgung dengan gradien p Pada elips atau , adalah y= p Untuk elips dengan persamaan: Persamaan garis singgungnya adalah: y - n = p(x-m) Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Contoh: Tentukan persamaan garis singgung elips berikut. a. pada titik (4, 3) b. pada titik(5, -3) Jawab: a. Diketahui : (4, 3) x 1 = 4 dan y 1= 3 Persamaan garis singgung: Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips b. Diketahui: pusat (m, n) = (1, -2) ( 5, -3) y 1 = -3 Persamaan garis singgung: Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Elips Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola Persamaan parabola berpuncak 0(0, 0) y 2 = 4 px a. Puncak (0, 0) b. Sumbu semetri = sumbu x c. Fokusnya F(p, 0) d. Direktriknya x = -p Y • • (0, 0) • F(P, 0) X d: X=-P Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola Persamaan parabola yang bepuncak 0(0, 0) dan Fokus di F(-p, 0) adalah Y 2 = -4 px Y • • (0, 0) • F(P, 0) X • d: X=-P Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola Persamaan parabola yang bepuncak 0(0, 0) dan Fokus di F(0, p) adalah x 2 = -4 py Y F(0, p) • • (0, 0) • Hal. : X d: y=-P IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola Persamaan parabola yang bepuncak 0(0, 0) dan Fokus di F(0, -p) adalah x 2 = -4 py Y • d: y=p • (0, 0) X • F(0, -p) Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola Contoh: 1. Dari parabola-parabola berikut tentukan koordinat fokus, persamaan sumbu semetri, persamaan direktris dan panjang lactus rectum a. y 2 = 4 x c. x 2 = -8 y b. y 2 = -12 x d. x 2 = 6 y Jawab: a. y 2 =4 px y 2 = 4 x, maka p = 1 Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke kanan. (i) Koordinat titik fokus F(p, 0) F(1, 0) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0 (iii) Persamaan direktris: x = -p x = -1 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4 p = 4. 1 = 4 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola b. y 2 =-p 4 x y 2 = -12 x, maka 4 p = 12 p=3 Parabola ini merupakan parabola horizsontal yang terbuka ke kiri (i) Koordinat titik fokus F(-p, 0) F(-3, 0) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0 (iii) Persamaan direktris: x = -p x=3 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4 p = 4. 3= 12 c. x 2 = -p 4 y x 2 = -8 y, maka 4 p = 8 p=2 Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke bawah (i) Koordinat titik fokus F(0, -p) F(0, -2) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu y, maka persamaanya x = 0 (iii) Persamaan direktris: y = p y=2 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4 p = 4. 2 = 8 d. Untuk latihan Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola Persamaan parabola berpuncak P(a, b) (y – b)2 = 4 p(x – a) • a. Titik puncak P(a, b) y • • a • Fp(a+p, b) P(a, b) • x • • F(p, 0) O(0, 0) b. Titik fokus F(a+p, b) c. Direktris x = -p+a • d. Sumbu semetri y = b • e. Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola Contoh: Diberikan persamaan parabola 3 x – y 2 + 4 y + 8= 0 Tentukan : a. Titik puncak c. Direktris b. Titik fokus d. Sumbu semetri Jawab: Ubah persamaan parabola ke persamaan umum: 3 x – y 2 + 4 y + 8= 0 y 2 - 4 y = 3 x + 8 y 2 - 4 y + 4 = 3 x + 8 + 4 (y – 2)2 = 3 x + 12 (y – 2)2 = 3(x + 4) Didapat persamaan parabola (y – 2)2 = 3(x + 4) yaitu parabola mendatar yang terbuka ke kanan. Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola Dari persamaan tersebut diperoleh: y a. Titik puncak P(-4, 2) b. 4 p = 3 maka p = F Titik Fokus F(a+p, b) P(-4, 2) O(0, 0) x c. Persamaan direktris : d. Sumbu semetrinya : y = 2 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Parabola Soal untuk latihan: a. Tentukan persaaman parabola yang berpuncak di (2, 4) dan fokusnys (-3, 4) b. Tentukan persamaan Parabola yang titik fokusnya F(2 -3) dan persamaan didertrisnya y=5 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan garis singgung parabola A. Persamaan garis singgung parabola melaluhi titik A(x 1, y 1) yy 1 = 2 p(x+x 1) y • A(x 1, y 1) • Hal. : x IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan garis singgung parabola Persamaan parabola melaluhi titik A(x 1, y 1) di sajikan pada tabel berikut Hal. : Persamaan Parabola Persamaan Garis singgung y 2 = 4 px yy 1 = 2 p(x+x 1) y 2 = -4 px yy 1 = -2 p(x+x 1) x 2 = 4 py xx 1 = 2 p(y+y 1) x 2 = -4 py xx 1 = -2 p(y+y 1) (y – b)2 = 4 p(x – a) (y-b)(y 1 -b)=2 p(x+x 1 -2 a) (y – b)2 = -4 p(x – a) (y-b)(y 1 -b)=-2 p(x+x 1 -2 a) (x– a)2 = 4 p(y – b) (x-a)(x 1 -a)=2 p(y+y 1 -2 b) (x– a)2 = -4 p(y – b) (x-a)(x 1 -a)=-2 p(y+y 1 -2 b) IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan garis singgung parabola Contoh: 1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y 2 = 8 x di titik (2, 4) jawab : y 2 = 8 x 4 p = 8 p=2 Titik A(x 1, y 1) A(2, 4) Persamaan garis singgungnya adalah yy 1 = 2 p(x+x 1) y. 4 = 2. 2(x+2) 4 y = 4(x+2) y = x+2 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan garis singgung parabola 2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x+1)2 = -3(y-2) pada titik (2, -1) Jawab : a = -1 , b = 2, x 1 = 2 dan y 1 = 1 (x+1)2 = -3(y-2) -4 p = -3 p= Persamaan garis singgung parabola di titik A(2, -1) adalah (x - a)(x 1 - a) = -2 p(y + y 1 - 2 b) (x +1)(2 +1) = -2. (y - 1 – 2. 2) (x + 1)(3) = 6(x + 1) = - 3(y – 5) 2(x + 1) = -(y – 5) 2 x + 2 = -y + 5 y = -2 x + 3 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan garis singgung parabola B. Persamaan garis singgung parabola yang bergradien m Persamaan parabola Hal. : Persamaan garis singgung y 2 = 4 px y = mx + y 2 =- 4 px y = mx - x 2 = 4 py y = mx – m 2 p x 2 = -4 py y = mx + m 2 p (y – b)2 = 4 p(x – a) (y – b) = m(x – a) + (y – b)2 = -4 p(x – a) (y – b) = m(x – a) - (x– a)2 = 4 p(y – b) = m(x – a) – m 2 p (x– a)2 = -4 p(y – b) = m(x – a) + m 2 p IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan garis singgung parabola Contoh: 1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y 2 = 8 x yang kergradien 2 Jawab: Parabola y 2 = 8 x 4 p = 8 p=2 Maka persamaan garis singgungnya adalah: y = mx + y = 2 x + 1 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan garis singgung parabola 2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) yang bergradien 3 Jawab : Parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) -4 x = -8 p=2 Puncak P(2, -5) Jadi persamaan garis singgungnya adalah y – b = m(x – a) – y + 5 = 3(x – 2) – 3 y + 15 = 9(x – 2) -2 3 y + 15 = 9 x – 20 9 x – 3 y + 35 = 0 y = 3 x - Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Hiperbola A. Hiperbola adalah kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu di sebut fokus(titik apai). D y Y = M K A. Persamaan Hiperbola Pusat(0, 0) a. Pusat O(0, 0) b. Fokus F’(-C, 0) dan F(C, 0) • F’(-C, 0) A • 0 • • B • F(C, 0) x c. Puncak A(-a, 0) dan B(a, 0) d. Sumbu semetri - Sumbu Utama sumbu x - Sumbu sekawan adalah sumbu y E N L Y= Hal. : e. Sumbu nyata AB = 2 a f. Sumbu imajiner MN = 2 b g. Asimtot , y = + IRISAN KERUCUT Adaptif

Hiperbola B. Persamaan Hiperbola atau y D F(0, C) K • B • b 2 y 2 – a 2 x 2 = a 2 b 2 a. Pusat O(0, 0) b. Fokus F’(0, -C) dan F(0, C) Y = c. Puncak A(0, -a) dan B(0, a) M 0 • N x d. Sumbu semetri - Sumbu Utama sumbu y - Sumbu sekawan adalah sumbu x A E • • F’(0, -C) L Y= e. Sumbu nyata AB = 2 a f. Sumbu imajiner MN = 2 b g. Asimtot , y = + Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Hiperbola Contoh : 1. Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokusnya F’(-13, 0) dan F(13, 0) dengan puncak (-5, 0) dan (5, 0) Jawab : Pusat (0, 0) a = 5 , c = 13 b 2 = c 2 – a 2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 Sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah: Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Hiperbola 2. Diketahui persamaan hiperbola dari Jawab : dan Pusat(0, 0) Puncak(-a, 0)=(-4, 0) dan (a, 0) = (4, 0) Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Hiperbola A. Persamaaan Hiperbola dengan pusat P(m, n) Y = y D M a. Pusat P(m, n) b. Fokus F’(m-C, 0) dan F(m+C, 0) K c. Puncak A(m-a, 0) dan B(m+a, 0) d. Sumbu semetri • F’(-C, 0) • A P • • B • F(C, 0) - Sumbu Utama sumbu y = n - Sumbu sekawan adalah y = m E N L 0 Y= e. Sumbu nyata AB = 2 a x f. Sumbu imajiner MN = 2 b g. Asimtot , y-n = + Hal. : IRISAN KERUCUT (x - a) Adaptif

Hiperbola Contoh: 1. Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokus F’(-2, -3) dan F(8, -3) dan titik puncaknya (7, -3) Jawab: fokus F’(-2, -3) dan F(8, -3) Jarak pusat ke fokus c = 8 – 3 = 5 Puncak (7, 3) Jarak pusat dengan puncak a = 7 – 3 = 4 b 2 = c 2 – a 2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 Jadi persamaan hiperbola adalah atau 9(x-3)2 – 16(y+3)2 = 144 9 x 2 – 16 y 2 – 54 x -96 y – 207 = 0 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Hiperbola 2. Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang lactus rectum dan persamaan asimtotnya dari Jawab: Titik pusat (4, -1) kkkk Adaptif

Persamaan Garis Singgung Hiperbola Persamaan garis singgung hiperbola melelalui. T(x 1, y 1) Persamaan garis singgung di titik T(x 1, y 1) yaitu Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

PERSAMAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola pada titik (9, -4) Jawab Persamaan garis singgung Hiperbola di titik T(x 1, y 1) yaitu Jadi persamaan garis singgungnya : atau x + 2 y = 1 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan garis singgung Hiperbola Contoh 2 Tentukan persamaan garis singgung hiperbola Pada titik (-4, -3) Jawab : Persamaan garis singgung hiperbola di titik T(x 1, y 1) yaitu Jadi persamaan garissinggungnya : x=-4 Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif

Hal. : IRISAN KERUCUT Adaptif