Persamaan Kuadrat 1 Budiharti S Si Pengertian Persamaan

Persamaan Kuadrat (1) Budiharti, S. Si

Pengertian Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax 2 + bx + c =0 dengan a, b, c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0. Contoh : x 2 − 4 = 0 , x 2 − 9 x = 0, x 2 + 7 x = 10 dan lain sebagainya.

Penyelesaian Persamaan Kuadrat Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan kuadrat. Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akar -akar) persamaan kuadrat : 1. Memfaktorkan 2. Melengkapkan kuadrat sempurna 3. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)

Memfaktorkan Sebelum akan dibahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0. Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol.

Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini. a. 4 x 2 − 32 x = 0 b. 7 x 2 = − 84 x c. d. x 2 + 5 x + 6 = 0

Persamaan kuadrat 4 x 2 − 32 x = 0 dapat diubah menjadi 4 x(x − 8) = 0 dengan menggunakan aturan distributif. Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh 4 x = 0 atau x − 8 = 0 Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8. Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4 x 2 − 32 x = 0 adalah x = 0 atau x = 8

Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat 7 x 2 = − 84 x sebagai berikut. 7 x 2 + 84 x = − 84 x + 84 x Kedua ruas ditambah dengan 84 x 7 x(x +12) = 0 Menggunakan sifat distributif 7 x = 0 atau x +12 = 0 Menggunakan aturan faktor nol Jadi penyelesaian persamaan 7 x 2 = − 84 x adalah x = 0 atau x = − 12.

Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + 5 x + 6 = 0 ? Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1 berikut ini. 1 x x x 2 a) x 1 b) 1 c)

Persegi (a) menyatakan banyaknya x 2 , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x 2 + 5 x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.

Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran luas yang sama. x +3 x +2

Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3). Jadi persamaan kuadrat x 2 + 5 x + 6 = 0 sama dengan persamaan (x + 2)(x + 3) = 0. Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah.

Denganmenggunakan aturan faktor nol diperoleh (x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0. Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x 2 + 5 x + 6 = 0 adalah x = − 2 atau x = − 3. Jadi secara umum, jika x 1 dan x 2 merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah x 2 - x ( x 1 + x 2 )+ x 1. x 2 = 0. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan

Melengkapkan Kuadrat Sempurna Ubahlah persamaan kuadrat semula dalam bentuk (x + p)2 = q, dengan q 0 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir. (x + p) = , atau x = -p

Tentukan nilai x dari persamaan x 2 – 2 x – 2 = 0 Penyelesaian : x 2 – 2 x + 1 + (-1) – 2 = 0 (x – 1)2 – 3 (x – 1)2 =0 =3 = x– 1= atau x – 1 = - x 1 = 1 + atau x =1 - jadi HP = {1 – , 1+ }

Tentukan nilai x dari persamaan x 2 – 2 x – 2 =0 Penyelesaian : x 2 – 2 x = 2 x 2 – 2 x + 1 = 2 + 1 (x – 1)2 =3 (x – 1)2 = x– 1= atau x – 1 = - x 1 = 1 + atau x =1 - jadi HP = {1 – , 1+ (a+b)2 = a 2 +2 ab +b 2 }

Rumus abc (Al-khawarizmi) Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut : (cobalah melengkapi) ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx = - c

Rumus abc (Al-khawarizmi) Jika ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c ∈ R, a 0 Maka