Persamaan Diverensial Pertemuan 3 Persamaan Diverensial Total Persamaan

  • Slides: 30
Download presentation
Persamaan Diverensial Pertemuan 3

Persamaan Diverensial Pertemuan 3

Persamaan Diverensial Total • Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat turunan-turunan / derivatif

Persamaan Diverensial Total • Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat turunan-turunan / derivatif dari satu atau lebih peubah (variable) bebas terhadap satu atau lebih peubah tak bebas • Secara umum, PD dapat dibedakan (klasifikasi) menjadi 2, yaitu 1. PD Biasa (Ordinary Differential Equations) 2. PD Parsial (Partial Differential Equations)

1. PD Biasa • PD Biasa (Ordinary Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1

1. PD Biasa • PD Biasa (Ordinary Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1 peubah bebas dan 1 peubah tak bebas. PD jenis ini dapat dirumuskan • Contoh : – Persamaan – dy/dx+ xy = 0 dan – d 2 y/dx 2+dy/dx – xy = 0 adalah persamaan diferensial biasa karena variable tak bebas y hanya bergantung pada variable bebas x

2. PD Parsial • yaitu PD yang memuat 1 peubah tak bebas dan lebih

2. PD Parsial • yaitu PD yang memuat 1 peubah tak bebas dan lebih dari satu peubah bebas. PD jenis ini dengan dua peubah bebas dapat dirumuskan • Contoh : – Persamaan dz/dy+ dz/dx= 0 adalah persamaan diferensial parisial karena variable tak bebas z bergantung pada variable bebas x dan y.

Persamaan diverensial eksak • Persamaan Diferensial Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat

Persamaan diverensial eksak • Persamaan Diferensial Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk • Serta jika memenuhi

Contoh

Contoh

 • Jika f adalah suatu fungsi dua peubah yang mempunyai derivative parsial tingkat

• Jika f adalah suatu fungsi dua peubah yang mempunyai derivative parsial tingkat satu yang kontinyu dalam suatu domain d, maka diferensial total fungsi f yaitu df didefinisikan oleh • Misal penyelesain umum PD (i) adalah F(x, y) = C dengan C adalah konstanta sebarang, maka

 • Sehingga solusi PD Eksak berbentuk F(x, y) = C. Berdasarkan hal tersebut,

• Sehingga solusi PD Eksak berbentuk F(x, y) = C. Berdasarkan hal tersebut, dapat dicari solusi PD sebagai berikut :

 • NOTE : bentuk ∫x adalah integral terhadap x, dimana y dipandang sebagai

• NOTE : bentuk ∫x adalah integral terhadap x, dimana y dipandang sebagai konstanta dan g(y) konstanta integral yang harus dicari. • karena g'(y) merupakan fungsi dengan peubah y saja maka setelah disederhanakan merupakan fungsi dari y atau konstanta. Dengan kata lain g(y) dapat dicari

 • Integralkan kedua ruas terhadap variabel y, diperoleh

• Integralkan kedua ruas terhadap variabel y, diperoleh

Contoh 1. Cari solusi dari PD (x + y) dx + (x – y)

Contoh 1. Cari solusi dari PD (x + y) dx + (x – y) dy = 0 Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD eksak

 • Jawab • Karena maka PD tesebut adalah PD eksak, maka untuk mencari

• Jawab • Karena maka PD tesebut adalah PD eksak, maka untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

 • cari g'(x)

• cari g'(x)

Persamaan Diverensial Tidak Eksak • Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu

Persamaan Diverensial Tidak Eksak • Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk • dan memenuhi syarat • Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh dengan mengalikan PD (i) dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD eksak yaitu

 • karena PD sudah berbentuk eksak, maka memenuhi

• karena PD sudah berbentuk eksak, maka memenuhi

 • Secara umum Faktor Integral terdiri dari tiga kasus yaitu • (a) FI

• Secara umum Faktor Integral terdiri dari tiga kasus yaitu • (a) FI u sebagai fungsi x saja – karena u sebagai fungsi x saja, maka – Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis

 • (b) FI u sebagai fungsi y saja – karena u sebagai fungsi

• (b) FI u sebagai fungsi y saja – karena u sebagai fungsi y saja, maka – Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis

 • (c) FI u sebagai fungsi x dan y – misal bentuk peubah

• (c) FI u sebagai fungsi x dan y – misal bentuk peubah x, y = v – maka FI : u = u(v) – Jika pers (iii), (iv) dan (v) disubstitusikan ke RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL, maka

Contoh

Contoh

 • sehingga diperoleh PD eksak adalah • Karena PD diatas sudah berbentuk PD

• sehingga diperoleh PD eksak adalah • Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.

 • Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan

• Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.

 • Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan

• Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.