PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT SATU PANGKAT SATU VARIABEL TERPISAH

PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT SATU PANGKAT SATU (VARIABEL TERPISAH) Yulvi Zaika, Dr. Eng

PERSAMAAN DIFERENSIAL � Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. � Contoh;

PENGERTIAN � Tingkat/ orde : tergantung pada tingkat/orde tertinggi dari turunan � Derajat/Pangkat: Ditentukan oleh pangkat/derajat tertinggi dari tingkat / orde yang tertinggi � Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa(PDB). � Jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.

HUKUM NEWTON � Hukum I: Setiap benda akan mempertahankan keadaan diam atau bergerak lurus beraturan, kecuali ada gaya yang bekerja untuk mengubahnya � Hukum ini menyatakan bahwa jika resultan gaya (jumlah vektor dari semua gaya yang bekerja pada benda) bernilai nol, maka kecepatan benda tersebut konstan. Dirumuskan secara matematis menjadi:

HUKUM NEWTON � Hukum kedua menyatakan bahwa total gaya pada sebuah partikel sama dengan banyaknya perubahan momentum linier p terhadap waktu � Karena hukumnya hanya berlaku untuk sistem dengan massa konstan, variabel massa (sebuah konstan) dapat dikeluarkan dari operator diferensial dengan menggunakan aturan diferensiasi. Maka

PERSAMAAN DIFERENSIAL DALAM MASALAH TEKNIK SIPIL � Aliran air di dalam tanah (kasus bendung) � Analisa pondasi tiang dengan beban lateral dan balok di atas bidang elastis � Persamaan diferensial kolom- balok

PD tingkat 1 pangkat 1

Solusi PD Suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y= f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperolehpersamaan identitas. Solusi umum dan solusi khusus Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.

y = cos x + c solusi umum dari Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0 � (1) y = cos x + 6 solusi khusus Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 � (2) Karena (cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

PDB terpisah � PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah. Penyelesaian : integralkan kedua ruas Contoh: 1. (xln x) y’ = y dimana y’ =dy/dx 2. y’=x 3 e-y y(2) = 0

Koefisien Diferensial Baku y= f(x) dy/dx xn Nxn-1 ex ex ekx kekx ln x 1/x loga x 1/(x ln a) sin x cos x -sin x tan x Sec 2 x cot x -cosec 2 x cosec x tan x Sinh x cosh x sinh x