Permutasi Kombinasi Pengaturan dengan urutan Sering kali kita

Permutasi Kombinasi

Pengaturan dengan urutan Sering kali kita perlu menghitung banyaknya cara pengaturan obyek tertentu dengan memperhatikan urutan maupun tanpa memperhatikan urutan. n n 2 Permutasi dari suatu himpunan obyek adalah pengaturan yg memperhatikan urutan dari obyek tsb. Permutasi-r : pengaturan r buah elemen dari suatu himpunan secara terurut. Contoh 1. Misal S = {1, 2, 3}. Maka 3, 1, 2 adalah suatu permutasi dan 1, 3 adalah suatu permutasi-2 dari S.

Permutasi P(n, r) = Banyaknya permutasi-r dari suatu himpunan dengan n elemen. Teorema 1. P(n, r) = n(n-1)(n-2) … (n-r+1) Bukti • Ada n cara untuk memilih elemen pertama dari permutasi. • Untuk memilih elemen kedua ada (n-1) cara, karena tinggal n-1 elemen dalam himpunan yang dapat digunakan sebagai elemen kedua. • Dengan cara yg sama, ada (n-2) cara untuk memilih elemen ketiga. • Ada tepat (n-r+1) cara utk memilih elemen ke-r. • Menurut aturan perkalian, P(n, r) = n(n-1)(n-2) … (n-r+1). 3

Contoh Ada berapa banyak permutasi dari huruf-huruf ABCDEFGH yang memuat string ABG ? yang memuat string ABG dan EH? Solusi Karena ABG harus terjadi dalam satu blok maka masalahnya menjadi mencari banyaknya permutasi dari 6 objek, yaitu blok ABG dan huruf C, D, E, F, H. Karena keenam objek tsb dapat terjadi dengan sebarang urutan, maka ada 6! = 720 permutasi dari ABCDEFGH yang memuat ABG. 4

Kombinasi-r dari suatu himpunan adalah pengaturan r buah elemen tanpa memperhatikan urutan dari himpunan tersebut. Contoh 3 Misal S = {1, 4, 5, 6}. Maka, 1, 5, 6 suatu kombinasi-3 dari S. Sedangkan 4, 5 adalah suatu kombinasi-2 dari S. Ada 4 macam kombinasi-2 dari S. C(n, r) : banyaknya kombinasi-r dari himpunan n elemen. 5

Kombinasi (2) Teorema 2 C(n, r) = n!/(n-r)!r!, bila 0 ≤ r ≤ n. Bukti • Permutasi-r dari suatu himpunan dengan n elemen dapat diperoleh dengan cara membentuk kombinasi-r dan kemudian mengurutkan elemen pada setiap kombinasir tsb (dapat dilakukan dalam P(r, r) cara). • Jadi, P(n, r) = C(n, r). P(r, r) • Ini berarti bahwa C(n, r) = P(n, r)/P(r, r). Akibat 1. C(n, r) = C(n, n-r). 6

Contoh 4 Ada berapa banyak string biner panjang n yang memuat tepat r buah angka 1? Solusi Bila kita memperhatikan semua kemungkinan posisi r angka 1 dalam string, maka mereka akan membentuk suatu kombinasi-r dari {1, 2, 3, …, n}. Jadi terdapat C(n, r) string biner panjang n yang memuat tepat r buah angka 1. 7

Soal 1 a. Carilah banyaknya lintasan terpendek dari A ke B. 8 b. Ada berapa cara untuk 8 pria dan 5 wanita berdiri dalam suatu barisan sehingga tidak ada 2 wanita yang berdiri bersebelahan?