PERMUTASI dan KOMBINASI Betha Nurina Sari S Kom

PERMUTASI dan KOMBINASI Betha Nurina Sari, S. Kom

Ilustrasi 1 Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing kaleng 1 buah kelereng. Kaleng 1 Kelereng sama m Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3 h 2 3 sama 3 cara

Ilustrasi (Cont. ) 2 Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng Matematika Diskrit

Definisi Kombinasi r elemen dari n elemen adalah : Fjumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi Perbedaan permutasi dengan kombinasi : Ä Permutasi : urutan kemunculan 3 diperhitungkan

Definisi 4 Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r : C(n, r) dibaca “n diambil r” r objek diambil dari n buah objek

Interpretasi Kombinasi 1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemennya berbeda Contoh : Misal A = {1, 2, 3} Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A : {1, 2} = {2, 1} {1, 3} = {3, 1} 3 buah {2, 3} = {3, 2} 5

Interpretasi Kombinasi (Cont. ) Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting Contoh : Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai delegasi, dimana delegasi merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam delegasi kedudukannya sama). Sehingga banyaknya cara memilih anggota delegasi yang terdiri dari 5 orang anggota adalah : 2. 6

Contoh 1 7 Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a, b, c, d} ?

Solusi Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting {a, b, c} , {a, b, d} , {a, c, d} dan {b, c, d} Sehingga : 8

Contoh 2 9 Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ?

Solusi Diketahui: Nasi goreng = r = 3 kali F Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari Maka : F 10

Contoh 3 11 Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0) a) b) c) Berapa banyak pola bit yang terbentuk ? Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ? Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ?

Solusi 1 byte = 8 bit (posisi 0. . 7) 1 bit terdiri dari “ 1” atau “ 0” Maka : a) Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1 0 Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) : Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk : (2)(2)(2)(2) = 28 b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 : 12

13 c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8, 0) Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8, 2) Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8, 4) Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8, 6) Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8, 8) Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap : C(8, 0) + C(8, 2) + C(8, 4) + C(8, 6) + C(8, 8) = 1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128

Contoh 4 14 Sebuah kelompok belajar beranggotakan 7 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih delegasi yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ?

Solusi 15 Pria = 7 orang Wanita = 5 orang delegasi = 4 orang, jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita Maka : � � delegasi terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7, 4) x C(5, 0) = 35 x 1 = 35 delegasi terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7, 3) x C(5, 1) = 35 x 5 = 175 Sehingga jumlah cara pembentukan delegasi seluruhnya : C(7, 4) x C(5, 0) + C(7, 3) x C(5, 1) = 35 + 175 = 210 cara

Contoh 5 16 Sebuah rumah rawat inap pasien ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang. Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ?

Diketahui : � � 17 Misalkan : i. iii. Kamar = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10, 4)x. C(6, 3)x. C(3, 3) = C(10, 4)x. C(6, 3) Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10, 3)x. C(7, 4)x. C(3, 3) = C(10, 3)x. C(7, 4) Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlah cara : C(10, 3)x. C(7, 3)x. C(4, 4) = C(10, 3)x. C(7, 3) Sehingga total jumlah cara pengisian kamar : = C(10, 4)x. C(6, 3) + C(10, 3)x. C(7, 4) + C(10, 3)x. C(7, 3) 210 x 20 + 120 x 35 = 12600 atau

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum 18 Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (beberapa bola yang warnanya sama) n 1 bola diantaranya berwarna 1 n 2 bola diantaranya berwarna 2 … nk bola diantaranya berwarna k Sehingga n 1 + n 2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola. Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?

Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n, n) = n ! Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola : n 1! cara memasukkan bola berwarna 1 n 2! cara memasukkan bola berwarna 2 … nk! cara memasukkan bola berwarna k Sehingga permutasi n buah bola dikenal dengan permutasi bentuk umum : 19

Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak ada C(n, n) cara n 1 buah bola berwarna 1 Bola berkurang n 1 sehingga sisa n - n 1 kotak ada C(n-n 1, n 2) cara buah bola berwarna 2 Bola berkurang (n 1 + n 2 )sehingga sisa n - n 1 - n 2 kotak ada C(n-n 1 - n 2, n 3) cara buah bola berwarna 3 Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkan dalam kotak Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah : 20

Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n 1, n 2, … , nk (jumlah objek seluruhnya n 1 + n 2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah : 21

Contoh 6 22 Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?

Solusi 23 S = {M, I, S, S, I, P, P, I} Huruf M = 1 buah Huruf I = 4 buah Huruf S = 4 buah Huruf P = 2 buah Sehingga n = 1 + 4 + 2 = 11 buah jumlah elemen himpunan S Ada 2 cara : i. ii. Permutasi : Jumlah string = P(n; n 1, n 2, n 3, n 4) = P(11; 1, 4, 4, 2) = 34650 buah Kombinasi : Jumlah string = C(11, 1) C(10, 4) C(6, 4) C(2, 2) = 34650 buah

Contoh 7 24 Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ?

Solusi Diketahui : n 1 = 3 n 2 = 2 n = 12 n 3 = 2 n 4 = 5 Jumlah cara pewarnaan : 25

Kombinasi Pengulangan 26 Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak Ä Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah : C(n, r) Ä Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah : C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemen n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan

Contoh 8 27 Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?

Solusi 28 Diketahui : n = 5 orang anak r 1 = 20 buah apel r 1 = 15 buah jeruk 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1, r) = C(5+20 -1, 20) = C(24, 20) 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1, r) = C(5+15 -1, 15) = C(19, 15) Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah : C(24, 20) C(19, 15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3 = 41. 186. 376 cara

Contoh 9 29 Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah)

Solusi 30 Diketahui : n = 8 macam roti r = 1 lusin = 12 buah roti Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti. Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu : C(n+r-1, r) = C(8+12 -1, 12) = C(19, 12)

Contoh 10 31 Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama. Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ?

Solusi 32 Diketahui : n = 6 6 buah mata dadu r = 3 3 dadu dilemparkan bersamaan Sehingga banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi adalah : C(n+r-1, r) = C(6+3 -1, 3) = C(8, 3) = 56 cara

Latihan 33 1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk delegasi yang terdiri dari 4 orang jika : a. Tidak ada batasan jurusan b. Semua anggota delegasi harus dari jurusan Teknik Informatika c. Semua anggota delegasi harus dari jurusan Teknik Elektro d. Semua anggota panita harus dari jurusan yang sama e. 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili

LATIHAN 34 1. 2. Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah) Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ? Matematika Diskrit

Latihan (cont. ) 35 3. 4. Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a, b, c, d, e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ? Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria. 3. 4. 5. Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah delegasi 10 orang ? Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus sama dengan banyaknya wanita Ulangi pertanyaan (a) jika delegasi harus terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?

Latihan (Cont. ) 36 6. 7. Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk delegasi yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah delegasi yang dapat dibentuk jika delegasinya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wanita ? Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak delegasi 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya

Latihan (Cont. ) 37 8. 9. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika : a) Tidak ada huruf pengulangan b) Boleh ada huruf pengulangan c) Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d harus ada d) Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ?