Permutaciones alternantes y grcas completas Criel Merino El

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Permutaciones alternantes y gráficas completas Criel Merino

Permutaciones alternantes y gráficas completas Criel Merino

El polinomio de Tutte Para G=(V, E), una grafica, definimos la función rango de

El polinomio de Tutte Para G=(V, E), una grafica, definimos la función rango de un subconjunto de arista como Para H=(V, A), (A) es el número de componentes conexas de H. r(A)=tamaño de un bosque generador máximo.

El polinomio de Tutte El polinomio de 2 variables es conocido como el polinomio

El polinomio de Tutte El polinomio de 2 variables es conocido como el polinomio de Tutte. Nota: r(E)-r(A)=k(A)-k(G)

F. G. aristas monocromáticas b. G(q, j)= número de q-coloraciones de G con j

F. G. aristas monocromáticas b. G(q, j)= número de q-coloraciones de G con j aristas monocromáticas. b( )=conjunto de aristas monocromáticas en la coloración . BG(q, ) = q 5 + (2 q 2 – 2 q) 3 + (4 q 2 – 4 q) 2 + (5 q 3 – 14 q 2+ 9 q) + (q 4 – 5 q 3 + 8 q 2 – 4 q)

F. G. aristas monocromáticas

F. G. aristas monocromáticas

TG y B G

TG y B G

TG y B G

TG y B G

Tn(x, y)

Tn(x, y)

Tn(x, y)

Tn(x, y)

Tn(x, y)

Tn(x, y)

Tn(x, y) Teorema (Tutte 67)

Tn(x, y) Teorema (Tutte 67)

Tn(x, -1)

Tn(x, -1)

Tn(1, -1) Teorema (Mallows and Riordan ‘ 68)

Tn(1, -1) Teorema (Mallows and Riordan ‘ 68)

Tn(1, -1) F(t) es la F. G. E. de la sucesión 1, 1, -1,

Tn(1, -1) F(t) es la F. G. E. de la sucesión 1, 1, -1, -1, …

Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Teorema. Para n 0, Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1).

Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Teorema. Para n 0, Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1).

Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Derivando dos veces

Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Derivando dos veces

Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1

Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1

Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Como T 0(2, -1)=1, basta igualar coeficientes.

Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Como T 0(2, -1)=1, basta igualar coeficientes.

Tn, m(x, y)

Tn, m(x, y)

Tn, m(x, y)

Tn, m(x, y)

Tn, m(x, y)

Tn, m(x, y)

Tn, m(1, -1)

Tn, m(1, -1)

Tn(1, -1) F(t, u) es 1, 1, -1, la 1, F. G. E 1,

Tn(1, -1) F(t, u) es 1, 1, -1, la 1, F. G. E 1, 1, -1, … 1, de 1, … la sucesión

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Teorema. Para n, m 0 Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2,

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Teorema. Para n, m 0 Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1).

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1).

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1).

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Diferenciando en t y luego en u

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Diferenciando en t y luego en u

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Basta igualar coeficientes.

Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Basta igualar coeficientes.

Otros ejemplos. Gráficas “Threshold”

Otros ejemplos. Gráficas “Threshold”

TG(1, y) x=1, sólo quedan términos con r(A)=r(E), o sea |V| (A)= |V|- (E),

TG(1, y) x=1, sólo quedan términos con r(A)=r(E), o sea |V| (A)= |V|- (E), o sea, H=(V, A) es conexo.

Tn(1, y)

Tn(1, y)

Tn(1, y)

Tn(1, y)

Tn(1, y) 1 |D|-r(D)= H= |A|({1, . . , n}, D) -r(A)+|B|-r(B)+|C|-1 C A

Tn(1, y) 1 |D|-r(D)= H= |A|({1, . . , n}, D) -r(A)+|B|-r(B)+|C|-1 C A B n k

Tn(1, y) Variando A, B y C B A

Tn(1, y) Variando A, B y C B A

Permutaciones alternantes Una permutación Sn es alternate (o updown) si (1)< (2)> (3)<…. .

Permutaciones alternantes Una permutación Sn es alternate (o updown) si (1)< (2)> (3)<…. . Denotamos por Altn a las permutaciones alternates en Sn. Definimos a 0=1 y an=|Altn|, o sea, a 1=1, a 2=1, a 3=2, a 4=5. Ejemplo n =(1324) 4: (3412) (2413) (2314) (1423) 4 3 2 1

Permutaciones alternantes Lema 1: nj(1)< a (2)>… > (j-1) <n> (j+1)< (j+2)>…< (n) -1

Permutaciones alternantes Lema 1: nj(1)< a (2)>… > (j-1) <n> (j+1)< (j+2)>…< (n) -1 -j

Permutaciones alternantes Lema 1 sumando Proposición : sobre j impar.

Permutaciones alternantes Lema 1 sumando Proposición : sobre j impar.

Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘ 83)

Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘ 83)

Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘ 83)

Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘ 83)

Permutaciones alternantes Corolario Para n 0,

Permutaciones alternantes Corolario Para n 0,

Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879) Basta derivar la F. G. E. de Tn(1,

Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879) Basta derivar la F. G. E. de Tn(1, -1) y hacer el cambio de variables -2 t=u

FIN

FIN

Permutaciones alternantes Lema 1: anj’(1)< n (1)< (2)>… ’(2)>… (j+2)>…<n<< (j-1) ’(n-j)> 1< (n)

Permutaciones alternantes Lema 1: anj’(1)< n (1)< (2)>… ’(2)>… (j+2)>…<n<< (j-1) ’(n-j)> 1< (n) (j+1)> (j+2)<…> (n) -1 -j (j+1)<n-

Permutaciones alternantes Proposición: Lema 1 sumando sobre j par 2 impar

Permutaciones alternantes Proposición: Lema 1 sumando sobre j par 2 impar

Polinomio de inversión Para un árbol A de Kn con raíz en r, una

Polinomio de inversión Para un árbol A de Kn con raíz en r, una inversión es un par de vértices (i, j) tal que i > j y además i esta en la única trayectoria de r a j en A. Sea inv(A) el número de inversiones de A. 1 Inv(A)= 3 5 2 3 4

Polinomio de inversión El polinomio de inversiones es la suma es sobre todos los

Polinomio de inversión El polinomio de inversiones es la suma es sobre todos los árboles generadores Fn de Kn con raíz en 1.

Polinomio de inversión

Polinomio de inversión

Polinomio de inversión Sea Gn el conjunto de árboles generadores de Kn con raíz

Polinomio de inversión Sea Gn el conjunto de árboles generadores de Kn con raíz en r, 1 r n.

Polinomio de inversión Proposición. Prueba. Sea construir biyección tal que

Polinomio de inversión Proposición. Prueba. Sea construir biyección tal que

Polinomio de inversión 2 1 5 2 3 4 1 5 3 4

Polinomio de inversión 2 1 5 2 3 4 1 5 3 4

Polinomio de inversión Proposición.

Polinomio de inversión Proposición.

Polinomio de inversión A 1 B Inv (A)=inv( B) + inv (C) C k

Polinomio de inversión A 1 B Inv (A)=inv( B) + inv (C) C k n

Polinomio de inversión Satisfacen la T misma recurrencia y tienen la misma Proposición. (1,

Polinomio de inversión Satisfacen la T misma recurrencia y tienen la misma Proposición. (1, y) =J (y ). n n condiciones iniciales

Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879)

Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879)

Permutaciones alternantes Proposición: Lema 2 sumando sobre j par 1

Permutaciones alternantes Proposición: Lema 2 sumando sobre j par 1