Permutaciones alternantes y grcas completas Criel Merino El
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Permutaciones alternantes y gráficas completas Criel Merino
El polinomio de Tutte Para G=(V, E), una grafica, definimos la función rango de un subconjunto de arista como Para H=(V, A), (A) es el número de componentes conexas de H. r(A)=tamaño de un bosque generador máximo.
El polinomio de Tutte El polinomio de 2 variables es conocido como el polinomio de Tutte. Nota: r(E)-r(A)=k(A)-k(G)
F. G. aristas monocromáticas b. G(q, j)= número de q-coloraciones de G con j aristas monocromáticas. b( )=conjunto de aristas monocromáticas en la coloración . BG(q, ) = q 5 + (2 q 2 – 2 q) 3 + (4 q 2 – 4 q) 2 + (5 q 3 – 14 q 2+ 9 q) + (q 4 – 5 q 3 + 8 q 2 – 4 q)
F. G. aristas monocromáticas
TG y B G
TG y B G
Tn(x, y)
Tn(x, y)
Tn(x, y)
Tn(x, y) Teorema (Tutte 67)
Tn(x, -1)
Tn(1, -1) Teorema (Mallows and Riordan ‘ 68)
Tn(1, -1) F(t) es la F. G. E. de la sucesión 1, 1, -1, -1, …
Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Teorema. Para n 0, Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1).
Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Derivando dos veces
Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1
Tn+2(1, -1)=Tn(2, -1). Como T 0(2, -1)=1, basta igualar coeficientes.
Tn, m(x, y)
Tn, m(x, y)
Tn, m(x, y)
Tn, m(1, -1)
Tn(1, -1) F(t, u) es 1, 1, -1, la 1, F. G. E 1, 1, -1, … 1, de 1, … la sucesión
Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Teorema. Para n, m 0 Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1).
Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1).
Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Diferenciando en t y luego en u
Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1
Tn+1, m+1(1, -1)=Tn, m(2, -1). Basta igualar coeficientes.
Otros ejemplos. Gráficas “Threshold”
TG(1, y) x=1, sólo quedan términos con r(A)=r(E), o sea |V| (A)= |V|- (E), o sea, H=(V, A) es conexo.
Tn(1, y)
Tn(1, y)
Tn(1, y) 1 |D|-r(D)= H= |A|({1, . . , n}, D) -r(A)+|B|-r(B)+|C|-1 C A B n k
Tn(1, y) Variando A, B y C B A
Permutaciones alternantes Una permutación Sn es alternate (o updown) si (1)< (2)> (3)<…. . Denotamos por Altn a las permutaciones alternates en Sn. Definimos a 0=1 y an=|Altn|, o sea, a 1=1, a 2=1, a 3=2, a 4=5. Ejemplo n =(1324) 4: (3412) (2413) (2314) (1423) 4 3 2 1
Permutaciones alternantes Lema 1: nj(1)< a (2)>… > (j-1) <n> (j+1)< (j+2)>…< (n) -1 -j
Permutaciones alternantes Lema 1 sumando Proposición : sobre j impar.
Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘ 83)
Permutaciones alternantes Teorema ( Goulden, Jackson ‘ 83)
Permutaciones alternantes Corolario Para n 0,
Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879) Basta derivar la F. G. E. de Tn(1, -1) y hacer el cambio de variables -2 t=u
FIN
Permutaciones alternantes Lema 1: anj’(1)< n (1)< (2)>… ’(2)>… (j+2)>…<n<< (j-1) ’(n-j)> 1< (n) (j+1)> (j+2)<…> (n) -1 -j (j+1)<n-
Permutaciones alternantes Proposición: Lema 1 sumando sobre j par 2 impar
Polinomio de inversión Para un árbol A de Kn con raíz en r, una inversión es un par de vértices (i, j) tal que i > j y además i esta en la única trayectoria de r a j en A. Sea inv(A) el número de inversiones de A. 1 Inv(A)= 3 5 2 3 4
Polinomio de inversión El polinomio de inversiones es la suma es sobre todos los árboles generadores Fn de Kn con raíz en 1.
Polinomio de inversión
Polinomio de inversión Sea Gn el conjunto de árboles generadores de Kn con raíz en r, 1 r n.
Polinomio de inversión Proposición. Prueba. Sea construir biyección tal que
Polinomio de inversión 2 1 5 2 3 4 1 5 3 4
Polinomio de inversión Proposición.
Polinomio de inversión A 1 B Inv (A)=inv( B) + inv (C) C k n
Polinomio de inversión Satisfacen la T misma recurrencia y tienen la misma Proposición. (1, y) =J (y ). n n condiciones iniciales
Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879)
Permutaciones alternantes Proposición: Lema 2 sumando sobre j par 1
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