PERMTASYON KOMBNASYON OLASILIK 1 r Gr Mehmet Ali

PERMÜTASYON KOMBİNASYON OLASILIK 1 Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

KONU BAŞLIKLARI 1. SAYMANIN TEMEL İLKELERİ VE FAKTÖRİYEL KAVRAMI 1. 1. Toplama Yoluyla Sayma 1. 2. Çarpma Yoluyla Sayma 1. 3. Faktöriyel Kavramı 2. PERMÜTASYON 2. 1. Sıralamalı Permütasyon 2. 2. Dairesel Permütasyon 2. 3. Tekrarlı Permütasyon 3. BÖLÜM TEKRAR SORULARI 4. KAYNAKÇA

1. SAYMANIN TEMEL İLKELERİ VE FAKTÖRİYEL KAVRAMI 1. 1. Toplama Yoluyla Sayma Ayrık iki olaydan biri m farklı biçimde, diğeri n farklı biçimde oluşuyorsa bu iki olaydan biri veya diğeri m+n farklı biçimde oluşur.

Örnek 1 Birbirinden farklı 5 kitap ile birbirinden farklı 3 defterden 1 kitap veya 1 defter kaç farklı biçimde satın alınabilir?

Çözüm 1 I. olay : 5 farklı kitaptan birini satın almak 5 farklı biçimde gerçekleşir. II. olay : 3 farklı defterden birini satın almak 3 farklı biçimde gerçekleşebilir. I. veya II. olay 5 + 3 = 8 değişik biçimde gerçekleşebilir.

1. SAYMANIN TEMEL İLKELERİ VE FAKTÖRİYEL KAVRAMI 1. 2. Çarpma Yoluyla Sayma Bir olaylar dizisinde; I. olay m değişik biçimde bunu izleyen II. olay n değişik biçimde bunu izleyen III. olay p değişik biçimde bunu izleyen … x. olay r değişik biçimde gelişiyorsa olayların tamamı m. n. p. . . r değişik biçimde gerçekleşir.

Örnek 2 Birbirinden farklı 5 kitap ile birbirinden farklı 3 defterden 1 kitap ve 1 defter kaç farklı biçimde satın alınabilir?

Çözüm 2 I. olay : 5 farklı kitaptan birini satın almak 5 farklı biçimde gerçekleşir. II. olay : 3 farklı defterden birini satın almak 3 farklı biçimde gerçekleşebilir. I. ve II. olay 5. 3 = 15 değişik biçimde gerçekleşir.

Örnek 3 2 mektup, 4 posta kutusuna kaç değişik biçimde atılabilir?

Çözüm 3 I. mektup 4 posta kutusundan herhangi birine 4 II. mektup 4 posta kutusundan herhangi birine 4 farklı biçimde atılabileceğinden 2 mektup 4 posta kutusuna 4. 4 = 16 değişik biçimde atılabilir.

Örnek 4 2 mektup, 4 posta kutusuna her kutuya en çok 1 mektup atmak koşuluyla kaç farklı biçimde atılabilir?

Çözüm 4 I. mektup 4 posta kutusundan birine 4 II. mektup geriye kalan 3 posta kutusundan birine 3 farklı biçimde atılabileceğinden 2 mektup, 4 posta kutusuna her kutuya en çok 1 mektup atmak koşuluyla 4. 3 = 12 farklı biçimde atılabilir.

Örnek 5 A= {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile üç basamaklı a. Kaç değişik sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı kaç değişik sayı yazılabilir? c. 200 den büyük, rakamları farklı, kaç değişik sayı yazılabilir?

Çözüm 5 a) Yüzler Basamağı Onlar Basamağı Birler Basamağı 5 5 rakam arasından 5 farklı biçimde seçilir. Bu durumda 5. 5. 5 = 125 değişik sayı yazılır.

Çözüm 5 b) Yüzler Basamağı Onlar Basamağı Birler Basamağı 5 4 3 Geri kalan 4 Geri kalan 3 5 rakam arasından 5 farklı 4 farklı biçimde 3 farklı biçimde seçilir. Bu durumda 5. 4. 3 = 60 değişik sayı yazılır.

Çözüm 5 c) Yüzler Basamağı Onlar Basamağı Birler Basamağı 4 4 3 Geri kalan 4 Geri kalan 3 4 rakam arasından 4 farklı biçimde 3 farklı biçimde seçilir. Bu durumda 4. 4. 3 = 48 değişik sayı yazılır.

1. SAYMANIN TEMEL İLKELERİ VE FAKTÖRİYEL KAVRAMI 1. 3. Faktöriyel Kavramı 1 den n ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına “n faktöriyel” denir. Bu ifade n! biçiminde gösterilir. n! = 1. 2. 3. 4. . . (n– 1). n 0! = 1 1! = 1 2! = 2. 1 = 2 3! = 3. 2. 1 = 6 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 Genel olarak; n! = n(n– 1)(n– 2)! yazılabilir.

1. 3. Faktöriyel Kavramı 1. 3. 1. Faktöriyel Özellikleri 1) 0! = 1’dir. 2) Sonucu tek sayı olan faktöriyeller 0! ve 1! ‘dir. Diğer tüm faktöriyellerin sonucu çift sayıdır. 3) Büyük faktöriyel kendisinden küçük olan herhangi bir faktöriyele indirgenebilir. 4) Büyük faktöriyel, küçük faktöriyelin çarpanlarını içerisinde bulundurmaktadır. Bunun için küçük faktöriyeli tam bölen her sayı büyük faktöriyeli de kesinlikle tam böler. 5) 5! ve sonrasında gelen faktöriyellerin son basamağında kesinlikler 0 bulunur.

Örnek 6 A = 0! + 2! + 4! + 6! +. . . + 20! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

Çözüm 6 5! den itibaren 20! e kadar olan tüm sayıların birler basamağında sıfır vardır. Bu durumda 0! + 2! + 4! toplamı belirleyici olacaktır. 0! + 2! + 4! = 1 + 24 = 27 A sayısının birler basamağındaki rakam 7 dir.

Örnek 7 •

2. PERMÜTASYON •

Örnek 8 2 kız ve 3 erkek yana a. Kaç farklı biçimde sıralanabilir? b. Kızlar bir arada olmak koşuluyla kaç farklı biçimde sıralanabilir? c. Bir erkek, bir kız düzeninde kaç farklı biçimde sıralanabilir?

Çözüm 8 a. 2 + 3 = 5 kişi hiçbir koşul yoksa 5! = 120 değişik biçimde sıralanabilir. b. K 1 K 2 E 1 E 2 E 3 Kızlar bir arada olacağından tek bir eleman gibi düşünülmeli, ancak kızların kendi arasında yer değiştirme durumu göz ardı edilmemelidir. Bu durumda istenen dizilişlerin sayısı 4!. 2! = 48 dir. c. E K E düzeninde sıralanacaklarından önce erkekler 3!, sonra kızlar 2! değişik biçimde dizilir. Saymanın temel ilkesine göre, 3!. 2! = 12 değişik sıralama elde edilir.

Örnek 9 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 elemanı bulunur?

Çözüm 9 A kümesinin tüm 3 lü permütasyonlarının sayısından 5 elemanının bulunmadığı bir başka deyişle {1, 2, 3, 4, 6} kümesinin 3 lü permütasyonlarının sayısı çıkarılmalıdır. P(6, 3) – P(5, 3) = 6. 5. 4 – 5. 4. 3 = 60

2. PERMÜTASYON 2. 2. Dönel (Dairesel ) Permütasyon Birbirinden farkı n tane elemanın bir daire üzerinde birbirine göre, farklı dizilişlerinden her birine n tane elemanın “dönel (dairesel) permütasyonu” denir. n tane elemanın dairesel permütasyonlarının sayısı (n– 1)! dir.

Örnek 10 6 öğrenci belli iki tanesi yana olmak koşuluyla yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı biçimde dizilebilir?

Çözüm 10 Yan yana olması gereken 2 eleman tek bir eleman gibi düşünülecek olursa dizilecek eleman sayısı 5 olur. Dönel sıralanacaklarından tüm dizilişlerin sayısı; (5– 1)!. 2! = 48 dir. (Buradaki 2! Belli iki elemanın kendi aralarında yer değiştirme sayısıdır. )

2. PERMÜTASYON •

Örnek 11 KAYNANA sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız, 7 harfli kaç değişik sözcük yazılabilir?

Örnek 12 2200324 sayısının rakamları yer değiştirilerek 7 basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir?

3. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru 1: Bir kırtasiyede bulunan 4 farklı kurşun kalem, 3 farklı silgi ve 5 farklı defterden birer tane almak isteyen bir kişi bu seçimini kaç farklı biçimde yapabilir?

3. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru 2: Bir müzik yarışmasına 7 şarkıcı katılıyor. Bu yarışmada ilk üç yarışmacının sıralanması kaç farklı biçimde olur?

3. BÖLÜM TEKRARI SORULARI •

3. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru 4: 90 tane ikili permütasyonu olan küme kaç elemanlıdır?

3. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru 5: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 bulunur?

3. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru 6: P(n, 3) = 6. P(n – 1, 2) olduğuna göre, P(n, 4) değeri kaçtır?

3. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru 7: A= {4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı, rakamları farklı, 5 ile tam bölünen kaç farklı sayı yazılabilir?

3. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru 8: 4 evli çift, evli çiftler yana gelmek koşuluyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı biçimde oturabilir?

4. KAYNAKLAR 1. " Sosyal Bilimler MYO için Temel Matematik" , Prof. Dr. Mustafa SEVÜKTEKİN, Dora Basım Yayın Dağıtım, 2015 2. " YGS Temel Matematik", Aydın Basın Yayın Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. Şti. , 2012 3. " ÖSS Matematik ", Mustafa YAĞCI, 2009 4. " Temel Matematik", Prof. Dr. Mahmut KARTAL, Nobel Yayın Dağıtım, 2009 5. " Temel Matematik ", Doç. Dr. İrfan ERTUĞRUL, Ekin Basım Yayın Dağıtım, 2012