Percentili Il P esimo percentile di una variabile

Percentili Il P -esimo percentile di una variabile ordinata e’ quel valore sotto il quale c’é il P % (P percento) delle osservazioni. Ad esempio …il 20 -esimo percentile di una variabile ordinata e’ il valore sotto il quale c’é il 20 % delle osservazioni.

Percentili COME SI CALCOLA UN PERCENTILE? 1. Si ordina in senso crescente la variabile 2. Il P-esimo percentile si calcola determinando prima il valore del prodotto del numero di osservazioni (numero dei dati=n) e del percentile che si desidera calcolare (P).

Percentili 3. Se si indica con i il prodotto n. P e con xi il valore della variabile in posizione i si ha che il P-esimo percentile vale :

Esempio: PSA Si esaminano i dati relativi alla determinazione del PSA in n=44 campioni di siero umano (si osservi che la variabile PSA e’ ordinata) Posizione PSA 1 0. 1 23 1. 3 2 0. 1 24 1. 3 3 0. 2 25 1. 7 4 0. 2 26 1. 8 5 0. 3 27 2. 1 6 0. 5 28 2. 2 7 0. 6 29 2. 3 8 0. 6 30 2. 6 9 0. 6 31 2. 9 10 0. 6 32 3. 2 11 0. 6 33 3. 7 12 0. 7 34 3. 9 13 0. 7 35 4. 4 14 0. 8 36 4. 6 15 0. 9 37 4. 7 16 1. 1 38 5. 0 17 1. 2 39 5. 7 18 1. 2 40 6. 0 19 1. 2 41 7. 6 20 1. 2 42 8. 9 21 1. 2 43 9. 1 22 1. 2 44 10. 5

Esempio (calcolo percentili) l l Determinare il percentile di ordine 50. Il percentile di ordine P = 50, é il dato in posizione Dove n e’ il numero di osservazioni. Il 50 -esimo percentile é la media fra il il ventiduesimo e ventitreesimo valore e quindi vale:

Esempio: PSA Posizione PSA 1 0. 1 16 1. 1 30 2. 6 2 0. 1 17 1. 2 31 2. 9 3 0. 2 18 1. 2 32 3. 2 4 0. 2 19 1. 2 33 3. 7 5 0. 3 20 1. 2 34 3. 9 6 0. 5 21 1. 2 35 4. 4 7 0. 6 22 1. 2 36 4. 6 8 0. 6 23 1. 3 37 4. 7 9 0. 6 24 1. 3 38 5. 0 10 0. 6 25 1. 7 39 5. 7 11 0. 6 26 1. 8 40 6. 0 12 0. 7 27 2. 1 41 7. 6 13 0. 7 28 2. 2 42 8. 9 14 0. 8 29 2. 3 43 9. 1 15 0. 9 30 2. 6 44 10. 5

Esempio Per determinare il percentile 90, si determina prima la la posizione i : l l Quindi il percentile é alla posizione 40. La quarantesima osservazione vale 6. 0. Il 90 -esimo percentile vale quindi 6

Esempio: PSA Posizione PSA 1 0. 1 16 1. 1 30 2. 6 2 0. 1 17 1. 2 31 2. 9 3 0. 2 18 1. 2 32 3. 2 4 0. 2 19 1. 2 33 3. 7 5 0. 3 20 1. 2 34 3. 9 6 0. 5 21 1. 2 35 4. 4 7 0. 6 22 1. 2 36 4. 6 8 0. 6 23 23 37 4. 7 9 0. 6 24 24 38 5. 0 10 0. 6 25 25 39 5. 7 11 0. 6 26 26 40 6. 0 12 0. 7 27 27 41 7. 6 13 0. 7 28 28 42 8. 9 14 0. 8 29 29 43 9. 1 15 0. 9 30 2. 6 44 10. 5

Esempio: output di SAS

Percentili e Quartili I Quartili sono i punti che dividono i dati ordinati in quarti. Il primo quartile (Q 1) è il 25 -esimo percentile. Sotto tale punto c’é un quarto dei dati. l. Il secondo quartile (Q 2) è il 50 -esimo percentile. Sotto tale punto c’é la metà dei dati. E’ chiamato mediana. l. Il terzo quartile (Q 3) è il 75 -esimo percentile. Sotto tale punto ci sono i 3/4 dei dati. l

Quartili e Interquartile Range l l Il primo quartile ( Q 1) (percentile 25) é chiamato lower quartile. Il secondo quartile ( Q 2) (percentile 50) é chiamato mediana o middle quartile. Il terzo quartile ( Q 3) (percentile 75) é chiamato upper quartile. L’interquartile range (IQR) é la differenza fra primo e terzo quartile : IQR=(Q 3 -Q 1)

Quartili e Interquartile Range Variable altezza sesso M F N 59 54 Variable sesso Minimum Maximum M 149. 00 187. 00 F 140. 00 170. 00 altezza Mean 170. 37 158. 78 Median 170. 00 160. 00 St. Dev 7. 15 7. 37 Q 1 166. 00 154. 00 Q 3 -Q 1 = 177 -166 = 11 , quindi il 50% dei maschi ha altezza compresa fra 177 cm e 166 cm. Q 3 -Q 1 = 165 -154 = 11 , quindi il 50% delle femmine ha altezza compresa fra 165 cm e 154 cm. Q 3 177. 00 165. 00

Quartili e Interquartile Range Q 1=154 Q 3=165 Q 1=166 Q 3=177

ESEMPIO : PERCENTILI

ESEMPIO : PERCENTILI Vengono misurate le pulsazioni cardiache a due gruppi di persone, una a riposo e l’altra dopo una corsa di 500 metri.

ESEMPIO : PERCENTILI PERCENTILE CORSA RIPOSO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 49, 3763 52, 0644 53, 7698 55, 0528 56, 0964 56, 9846 57, 7634 58, 4608 59, 0950 59, 6788 64, 0168 67, 1448 69, 8176 72, 3158 49, 080 54, 169 57, 399 59, 828 61, 804 63, 486 64, 960 66, 281 67, 482 68, 587 76, 801 82, 723 87, 784 92, 514 PERCENTILE CORSA RIPOSO 60 70 80 97, 244 102, 305 108, 228 74, 8140 77, 4868 80, 6148 90 116, 442 84, 9528 91 92 93 94 95 96 97 98 99 117, 547 118, 748 120, 068 121, 543 123, 225 125, 201 127, 630 130, 859 135, 949 85, 5366 86, 1708 86, 8681 87, 6470 88, 5352 89, 5788 90, 8618 92, 5672 95, 2552

ESEMPIO : PERCENTILI Percentile 90