PERBANDINGAN DUA ELEMEN Harni Kusniyati Perbandingan Dua Elemen
PERBANDINGAN DUA ELEMEN Harni Kusniyati Perbandingan Dua Elemen 1
Dalam relasi Partial Order, dua buah elemen x dan y yang berrelasi dapat dibandingkan (comparable). Jika semua elemen dapat dibandingkan, maka relasi Partial Order tersebut disebut Relasi Total Order Perbandingan Dua Elemen 2
Misal ( A, ≤ ) adalah POSET (Partially Ordered Set), maka 1). Suatu elemen a A disebut Elemen Maksimal bhb (bila dan hanya bila) a ≥ semua elemen yang comparable dengan a. ( a A, a = Elemen Maksimal) 2). Suatu elemen a A disebut Elemen Terbesar bhb (bila dan hanya bila) a ≥ semua elemen dalam A. ( a A, a = Elemen Terbesar) 3). Suatu elemen a A disebut Elemen Minimal bhb (bila dan hanya bila) a ≤ semua elemen yang comparable dengan a. ( a A, a = Elemen Minimal Perbandingan Dua Elemen 3
4). Suatu elemen a A disebut Elemen Terkecil bhb (bila dan hanya bila) a ≤ semua elemen dalam A. ( a A, a = Elemen Terkecil) Perbandingan Dua Elemen 4
Contoh: Misal A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }. Relasi Partial Order didefinisikan pada himpunan A atau (A, ≤) dalam diagram Hasse di bawah ini. Carilah elemen maksimal, minimal, terbesar dan terkecil ! Perbandingan Dua Elemen 5
Jawab: Elemen maksimal = g Elemen terbesar = g Elemen minimal = c, d dan i Elemen terkecil tidak ada. Sebab: c bukan elemen terkecil, karena c ≤ d Perbandingan Dua Elemen 6
BATAS & BATAS BAWAH Misal a, b Poset (A, ≤) 1). c A, c = batas dari a & b bhb a ≤ c & b ≤ c. c A, c = batas terkecil (Least Upper Bound (LUB)) dari a & b bhb a). c batas dari a & b, b). Jika d batas dari a & b yang lain, maka c ≤ d. 2). c A, c = batas bawah dari a & b bhb c ≤ a & c ≤ b c A, c = batas bawah terbesar (Greatest Lower Bound (GLB)) dari a & b bhb a). c batas bawah dari a & b, b). Jika d batas bawah dari a & b yang lain, maka d ≤ c Perbandingan Dua Elemen 7
Contoh 1: Diketahui himpunan A = { 2, 3, 6 } dan Poset (A, ”|”). Cari batas (b. a), b. a. t, batas bawah (b. b), b. b. t dari: ( 3 & 6) dan (2 & 3) Perbandingan Dua Elemen 8
Contoh 2: Carilah batas (b. a), b. a. tk, batas bawah (b. b), b. b. tb dari c & d pada diagram Hasse Poset berikut ini: Perbandingan Dua Elemen 9
Perbandingan Dua Elemen 10
Contoh 3: Carilah batas (b. a), b. a. t, batas bawah (b. b), b. b. t dari f & g pada diagram Hasse Poset berikut ini: Perbandingan Dua Elemen 11
Perbandingan Dua Elemen 12
LATEKS ( LATTICE ) Berdasar konsep b. a. t dan b. b. t, didefinisikan LATTICE sebagai berikut: Suatu Poset (A, ≤) disebut LATTICE apabila setiap dua elemen Poset (A, ≤) mempunyai b. a. t & b. b. t. Perbandingan Dua Elemen 13
Contoh: Tentukan apakah Poset yang dinyatakan dengan diagram Hasse di bawah ini merupakan Lattice ! Perbandingan Dua Elemen 14
Jawab: (a). Lattice, sebab setiap dua Titik mempunyai b. a. t dan b. b. t. (b). Bukan Lattice, sebab b. a. t dari a & b tidak ada. (c). Bukan Lattice, sebab b. a. t dari c & d tidak ada, ( b ≤ a ). (d). Lattice, sebab setiap pasang titik mempunya b. a. t & b. b. t. Perbandingan Dua Elemen 15
Latihan 1 Perbandingan Dua Elemen 16
Perbandingan Dua Elemen 17
Perbandingan Dua Elemen 18
Perbandingan Dua Elemen 19
d). Untuk elemen 4 dan 6 : batas (b. a. ) : 24, jadi b. a. t nya juga 24 batas bawah (b. b. ) : 2, jadi b. b. t nya juga 2. Perbandingan Dua Elemen 20
Perbandingan Dua Elemen 21
LATIHAN Perbandingan Dua Elemen 22
Perbandingan Dua Elemen 23
- Slides: 23