Per poliedro si intende un solido la cui

Per poliedro si intende un solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali Formula di Eulero (1707 – 1783) V+F–S=2 (V: num. dei vertici, F: n. delle facce, S: n. degli spigoli) Un poliedro si dice regolare se tutti i poligoni sono regolari e tutti gli angoloidi sono uguali La formula di Eulero è valida per poliedri “semplici” , cioè poliedri la cui superficie può essere trasformata per deformazione continua nella superficie di una sfera 1

Servendosi della formula di Eulero, si trova che non esistono più di cinque poliedri regolari Infatti Supponiamo che un poliedro regolare abbia F facce, ciascuna delle quali sia un poligono regolare di n (n ≥ 3) lati e che a ciascun vertice si incontrino r (r ≥ 3) spigoli n • F =2 • S (ogni spigolo appartiene a due facce) r • V = 2 • S (ogni spigolo contiene due vertici) e inoltre da cui 2 • S n . . . (*) + 2 • S _ S = 2 r 1/n + 1/r = 1/2 + 1/S ma n ed r non possono essere entrambi maggiori di 3 altrimenti la formula (*) non è valida per ogni valore positivo di S allora se r = 3, i valori che può assumere n sono 3, 4 o 5 e S : 6, 12 o 30 (tetraedro, cubo, dodecaedro) se n = 3, i valori che può assumere r sono 3, 4 o 5 e S : 6, 12 o 30 (tetraedro, ottaedro, icosaedro) 2

I cinque poliedri convessi regolari ( solidi Platonici ) tetraedro esaedro o cubo ottaedro dodecaedro icosaedro Sulla porta d’ingresso della scuola di Platone era scritto “Non entri nessuno che sia ignorante di geometria” 3

L’angoloide in V diminuisce V L’angoloide in V aumenta V L’angoloide in V “si schiaccia” sul piano α β γ La somma degli angoli che delimitano un angoloide deve essere minore di 360° 4

Tre triangoli equilateri concorrono in un vertice 3 • 60° = 180° Tre quadrati concorrono in un vertice 3 • 90° = 270° Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4 • 60° = 240° 5

Tre pentagoni regolari concorrono in un vertice 3 • 108° = 240° Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4 • 60° = 240° 6

Poligoni: somma degli angoli esterni di un poligono Facciamo una semplice osservazione: se cammino attorno ad un edificio di forma poligonale, mi ritrovo alla fine al punto di partenza. . . 7

Un modo dinamico per vedere la somma degli angoli interni di un triangolo 8

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Tassellatura di Penrose 10