PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR 1 Persamaan diferensial orde

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR 1. Persamaan diferensial orde pertama Persamaan diferensial linear Dengan f(t) fungsi waktu, dan x(0) diketahui Kalikan dengan y(t) pada kedua sisi persamaan :

Integralkan kedua sisi persamaan: Untuk t = 0 , diperoleh y(0) = e 0 = 1 Kita dapat mengintegralkan persamaan antara batas terendah (0) dan batas tertinggi (t)

Subtitusi y(t) pada persamaan di atas, diperoleh: Soal: Sebuah rangkaian RC seperti pada gambar, hitung tegangan di kapasitor, bila E = 100 Volt, dan v(0) =5 Volt

Penyelesaian : Menggunakan hukum kirchoff tegangan : Bagi kedua sisi persamaan dengan 0, 2 diperoleh: Penyelesaian persamaan diferensial linear:

Jadi nilai tegangan di kapasitor diperoleh:

1. Persamaan diferensial orde tinggi Persamaan diferensial linear dengan koefisien kontan dan orde ke-n dapat dituliskan dengan notasi operator : Persamaan linear homogen dengan koefisoen akar –akar r : Akar-akar polynomial sebanyak n, maka penyelesaiannya :

• untuk setiap akar riil yang berbeda, tetapkan fungsi ert. • untuk setiap akar riil rangkap sebanyak p-rangkap, tetapkan fungsi-fungsi ert , tp-1 ert. • untuk setiap pasangan akar kompleks yang berbeda a jb, tetapkan fungsi-fungsi eatcos bt, dan eatsin bt. • untuk setiap pasangan akar kompleks rangkap a jb, sebanyak prangkap, tetapkan fungsi-fungsi eatcos bt, eatsin bt, teatsin bt, …, tp--1 eatcos bt, tp--1 eatsin bt

Soal: 1. Tentukan penyelesaian persamaan diferensial homogen berikut: Penyelesaian: Tentukan D(p) dari persamaan di atas, diperoleh : Nilai akar-akar persamaan diperoleh : r 1 = -2 dan r 2 = -3 + j 4, r 3 = -3 –j 4 Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :

1. Tentukan penyelesaian persamaan diferensial homogen berikut: Tentukan D(p) dari persamaan di atas, diperoleh : r 1 = -2 dan r 2 = -2, r 3 = -3 Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :

Integral Tertentu Persamaan diferensial menggunakan notasi operator : yp(t) = integral tertentu untuk fungsi u(t): Jika input berupa forcing function : Turunan dari fungsi ini diperoleh dengan hanya mengalikan dengan s Maka integral tertentu untuk persamaan diferensial linear dinyatakan: Sehingga :

Untuk masukan u(t) gelombang sinusoida, ketika nilai s berupa bilangan kompleks : Re adalah bagian riil /nyata Kita dapat mengganti fungsi sinus dengan eksponensial Asst dengan s =j Soal : Tentukan y(t)

Penyelesaian : Menggunakan operator p, diperoleh : Pada persamaan sistem diketahui s = -3, maka ganti p dengan -3, diperoleh: Sehingga diperoleh hasil keluaran :

Complete Solution • Penyelesaian secara lengkap persamaan difer ensial linear merupakan jumlah penyelesaian fungsi komplementer (yc(t)) dan particular integral (yp(t)) dengan memperhatikan kondisi awal sistem.

Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial berikut: Kondisi awal sistem Tentukan penyelesaian lengkap dari persamaan di atas ! Penyelesaian: Nilai akar-akar persamaan diperoleh : r 1 = -2 dan r 2 = -3 + j 4, r 3 = -3 –j 4 Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :

Sebelumnya telah diperoleh penyelesaian particular integral : Sehingga penyelesaian y (t) : Dengan memperhatikan kondisi-kondisi awal, diperoleh : (Persamaan 1) (Persamaan 2) (Persamaan 3) Subtitusi ketiga persamaan (1, 2, dan 3), diperoleh :

Jadi penyelesaian akhir persamaan linear diferensial diperoleh :

Solusi persamaan diferensial linear sistem waktu diskret Persamaan sistem diskret dapat dinyatakan: Secara sederhana dapat dituliskan menjadi:

Complementary solution : • untuk setiap akar riil sederhana, tetapkan fungsi yki = rik. • untuk setiap akar riil rangkap sebanyak m-rangkap, tetapkan barisan bersuku m, = rik , irik. . . , i m-1 rik • untuk setiap pasangan akar kompleks a jb, tetapkan barisan (a + jb)i dan (a - jb)i barisan ini biasanya ditulis dalam bentuk polar i cos i dan i sin i, dengan = (a 2 + b 2 )½ dan tan = tan-1 (b/a) • untuk setiap pasangan akar kompleks rangkap a jb, sebanyak mrangkap, tetapkan barisan i cos i , i sin i; i i cos i , i i sin i ; . . . ; im-1 i cos i , im-1 i sin i

Examples:

Particular solution / Penyelesaian khusus