PENYEDERHANAAN RANGKAIAN MATERI n n n Fungsi Boolean
PENYEDERHANAAN RANGKAIAN
MATERI n n n Fungsi Boolean Komplemen Fungsi Bentuk Kanonik SOP POS Penyederhanaan Secara Aljabar Minimisasi Rangkaian Logika Peta Karnaugh
Fungsi Boolean n n 3 Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
n 4 Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z =1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1’ 0 + 0’ 1 = 0 + 1=1.
Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain: n n n 5 f(x) = x f(x, y) = x ’y + xy ’+ y ’ f(x, y) = x ’ y ’ f(x, y) = (x + y)’ f(x, y, z) = xyz ’
n n 6 Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.
Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. x y z f(x, y, z) = xy z’ Penyelesaian: 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 7
Komplemen Fungsi n 8 Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x 1 dan x 2, adalah
n Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka dual dari f: x + (y’ + z’) (y + z) komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’ Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’) 10
Bentuk Kanonik Jadi, ada dua macam bentuk kanonik: Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS) 11
Contoh : 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm 2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z’) (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS Setiap suku (term) disebut maxterm Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap 12
Minterm Maxterm x y Suku Lambang 0 0 1 1 x+y x + y’ x’ + y’ M 0 M 1 M 2 M 3 0 1 x’y’ x’y xy’ xy m 0 m 1 m 2 m 3 13
Minterm x 0 0 1 1 y 0 0 1 1 z 0 1 0 1 Suku x’y’z’ x’y’z x‘y z’ x’y z x y’z’ x y’z x y z’ xyz Lambang m 0 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 Maxterm Suku x+y+z x + y + z’ x + y’+z’ x’+ y + z’ x’+ y’+ z’ Lambang M 0 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 14
Contoh Soal: n Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS. x 0 0 1 1 15 y 0 0 1 1 z 0 1 0 1 f(x, y, z) 0 1 0 0 1
n Penyelesaian: SOP Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz atau (dengan menggunakan lambang minterm), f(x, y, z) = m 1 + m 4 + m 7 = (1, 4, 7) 16
Contoh: Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Penyelesaian: (a) SOP x = x(y + y’) = xy + xy’ = xy (z + z’) + xy’(z + z’) = xyz + xyz’ + xy’z’ y’z = y’z (x + x’) = xy’z + x’y’z Jadi f(x, y, z) = x + y’z = xyz + xyz’ + xy’z’ + xy’z + x’y’z = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz atau f(x, y, z) = m 1 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = (1, 4, 5, 6, 7) 17
Aplikasi Aljabar Boolean Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika. Jawab: (a) Cara pertama 19
(b) Cara kedua 20
(c) Cara ketiga 21
Penyederhanaan Fungsi Boolean n Penyederhanaan Secara Aljabar Contoh: f(x, y) = x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1 (x + y ) =x+y 22
Latihan Soal (sederhanakan): 1. A. (A. B + B) 2. AC + ABC 3. ABC + AB’C + ABC’ 4. (A + BC)
Jawaban: 1. A. (A. B + B) = A. AB + A. B = A. B 2. AC + ABC = AC(1 + B) = AC 3. ABC + AB’C + ABC’ = AC(B + B’) + ABC’ = AC + ABC’= A(C + BC’) = A(C + B) = A(B + C) 4. (A + BC) = A (B + C) = A. B + A. C
Penyederhanaan Secara Aljabar n n n Tahap minimalisasi rangkaian logika agar efektif dan efisiensi Rangkaian dengan jumlah gerbang yang sedikit akan lebih murah harganya, dan tata letak komponen lebih sederhana. Salah satu cara untuk meminimalkannya adalah dengan menggunakan aljabar Boole.
Contoh : 1. Sehingga rangkaian di atas bisa disederhanakan menjadi :
Cont. . 2. Rangkaian hasil penyederhanaan :
Soal Latihan : Sederhanakanlah rangkaian di bawah ini : 1. 2. 3.
Peta Karnaugh (K-Map) n n n Meskipun aljabar Boole merupakan suatu sarana untuk menyederhanakan pernyataan logika, belum dapat dipastikan bahwa pernyataan yang disederhanakan dengan aljabar Boole itu merupakan pernyataan yang paling sederhana. Prosedur meminimumkan agak sulit dirumuskan karena tidak adanya aturan yang jelas untuk menentukan langkah manipulasinya. Metode peta karnaugh memberikan suatu prosedur yang mudah
Format K-Map n n n variabel input akan menghasilkan 2 n kombinasi minterm yang diwakili dalam bentuk segiempat (kotak). Peta Karnaugh 2 variabel memerlukan 22 atau 4 kotak, peta karnaugh 3 variabel mempunyai 23 atau 8 kotak, dst
PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH - Peta Karnaugh 2 variabel A B
PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH Misal diketahui tabel kebenaran sbb : A 0 0 1 1 B 0 1 Y 0 0 1 1 Maka Peta Karnaugh : B A 0 0 1 1
PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH n Bentuklah peta Karnaugh untuk tabel kebenaran : A B Y 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0
PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (4) - Peta Karnaugh 3 variabel
Peta Karnaugh 3 Variabel n Peletakan posisi suku minterm
PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (5) n Bentuk peta Karnaugh untuk tabel kebenaran: A 0 0 1 1 B 0 0 1 1 C 0 1 0 1 Y 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (6) - Peta Karnaugh 4 variabel
PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (7) A B C D Y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0
PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (8) - Peta Karnaugh 4 variabel 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0
PAIR n sepasang 1 yang bertetangga dalam peta Karnaugh 0 0 0 1 1 0 0 0 Sebuah pair Jika terdapat 1 pair, maka 1 variabel dan komplemennya akan dibuang dari persamaan boolean
QUAD n Grup yang terdiri dari 4 buah 1 yang bertetangga 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Sebuah quad akan menghilangkan 2 variabel dan komplemennya dari persamaan boolean
OCTET n Grup yang terdiri dari 8 buah 1 yang bertetangga 0 0 1 1 1 1 0 0 Sebuah octet akan menghilangkan 3 buah variabel dan komplemennya dari persamaan boolean
OVERLAP n n Pemakaian 1 buah 1 lebih dari satu kali. Jika menandai suatu grup, diijinkan menggunakan 1 lebih dari satu kali 0 0 0 1 0 1 1 1 1 OVERLAP
ROLLING 0 1 0 0 1 0 0 ROLLING
REDUNDANT n Sebuah grup yang 1 -nya overlap semua pada grup lain disebut redundant grup. 0 1 0 0 0 REDUNDANT
Penyederhanaan dengan Peta Karnaugh n n n Digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean Dengan cara memetakan tabel kebenaran dalam kotak-kotak segi empat yang jumlahnya tergantung dari jumlah peubah (variabel) masukan Penyederhanaan untuk setiap “ 1” yang bertetanggaan 2, 4, 8, 16… menjadi suku minterm yang sederhana
Langkah-langkah dalam menggunakan K-map 1. Konversikan persamaan Boolean yang diketahui ke dalam bentuk persamaan SOP-nya (Sum of Product). Gunakan Tabel Kebenaran sebagai alat bantu. 2. Gambarlah K-map, dengan jumlah sel = 2 ^ jumlah variabel input. 3. Isi sel K-map sesuai dengan minterm pada Tabel Kebenaran. 4. Cover minterm-minterm bernilai 1 yang berdekatan, dengan aturan : 1. hanya minterm berdekatan secara vertikal atau horizontal yang boleh di-cover. 2. Jumlah minterm berdekatan yang boleh di-cover adalah : 2. 4, 8, 16, 32 5. Buat persamaan SOP baru sesuai dengan hasil pengcover-an minterm.
SIMPLIKASI KARNAUGH n Langkah simplifikasi dengan peta Karnaugh : 1. Masukkan 1 pada peta 2. Masukkan 0 pada peta 3. Tandai octet, quad dan pair (ingat ROLLING dan OVERLAP) 4. Jika ada 1 yang tertinggal, tandai 5. Hilangkan REDUNDANT jika ada 6. Bentuk persamaan boolean.
50
51
Peta Karnaugh 3 Peubah l Contoh : A B C Q 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0
Peta Karnaugh 3 variabel n Contoh : f = m (0, 1, 2, 4, 6)
54
55
56
57
58
59
Peta Karnaugh 4 Variabel n Contoh : f = m (0, 2, 8, 10, 12, 14 )
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Peta Karnaugh 5 Variabel n Peletakan posisi suku minterm
Peta Karnaugh 5 Variabel n Contoh : f = m (0, 7, 8, 15, 16, 23, 24 )
Peta Karnaugh 6 Variabel n Peletakan posisi suku minterm
Peta Karnaugh 6 Variabel n Contoh : f = m (0, 4, 10, 11, 18, 21, 22, 23, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 36, 50, 53, 54, 55, 58, 61, 62, 63)
Peta Karnaugh maxterm n n Dengan cara memetakan tabel kebenaran dalam kotak segi empat yang jumlahnya tergantung dari jumlah peubah (variabel) masukan Penyederhanaan untuk setiap “ 0” yang bertetanggaan 2, 4, 8, 16… menjadi suku maxterm yang sederhana.
Peta Karnaugh maxterm n Contoh : g = M(1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15)
Penilikan kesamaan n n Peta Karnaugh dapat digunakan untuk menilik kesamaan dua buah fungsi boolean Contoh : Buktikan kesamaan n Dapat dilihat kedua fungsi memiliki peta karnaugh yang sama.
- Slides: 77