Pengantar Matematika Diskrit dan Himpunan Pertemuan I oleh

Pengantar Matematika Diskrit dan Himpunan Pertemuan I oleh : Tedy Setiadi tedyasni@gmail. com 1

Tujuan : • memahami pengertian matematika diskrit • mengenal ruang lingkup kajian matematika diskrit dan penerapannya • mengenal berbagai refensi pustaka yang dapat diacu 2

Pokok Bahasan l Pengantar matematika diskrit l konsep dasar himpunan 3

Apakah Matematika Diskrit itu? l Cabang matematika yang mempelajari objek-objek diskrit. l Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Benda disebut diskrit jika: l - terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang l berbeda, atau l - elemen-elemennya tidak berkelanjutan (uncontinue). l Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) , graf, pohon 4

l Lawan kata diskrit: kontinyu atau (continuous). Contoh: himpunan bilangan riil (real) menerus Kenapa penting belajar matematika diskrit ? l Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. l Matematika diskrit merupakan ilmu fondasinya dalam pendidikan informatika. 5

l Matematika diskrit memberikan fondasi matematis untuk kuliah-kuliah lanjut di informatika. algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb. l Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika Matematika-nya orang Informatika. . . 6

Materi-materi dalam Struktur Diskrit: l l l l Logika (logic) Teori Himpunan (set) Matriks (matrice) Relasi dan Fungsi (relation and function) Induksi Matematik (mathematical induction) Algoritma (algorithms) Teori Bilangan Bulat (integers) Barisan dan Deret (sequences and series) Teori Grup dan Ring (group and ring) Aljabar Boolean (Boolean algebra) Kombinatorial (combinatorics) Teori Peluang Diskrit (discrete probability) Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens Teori Graf (graph – included tree) Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity) Otomata & Teori Bahasa Formal (automata and formal language theory) 7

Beberapa contoh persoalan di dalam Matematika Diskrit l Berapa banyak account mail yahoo yang dapat dibuat? l Bagaimana menentukan jarak terpendek dari dua kota? l Buktikan bahwa perangko senilai n (n 8) rupiah dapat menggunakan hanya perangko 3 rupiah dan 5 rupiah saja 8

l Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula? l “Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama? 9

Moral Cerita ini… l Mahasiswa informatika diharapkan mempunyai pemahaman yang kuat dalam Matematika Diskrit, agar tidak mendapat kesulitan dalam memahami kuliah-kuliah lanjutannya di informatika. 10

Lets begin. . l Teori Himpunan 11

Tujuan l dapat memahami konsep himpunan l dapat memahami berbagai variasi operasi pada himpunan l dapat memahami sifat operasi-operasinya. 12

Pengantar. . l Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika l Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class atau collection 13

Definisi l Himpunan (set) adalah kumpulan objek yang berbeda. l Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. l HMTIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain. 14

Notasi himpunan l Himpunan dinyatakan dg huruf capital l misal : A, B, G l Sedangkan elemennya dg huruf kecil a, b, c. . , 1, 2, . . 15

Penulisan Himpunan 1. Enumerasi menyebutkan semua anggota dari himpunan tersebut. contoh : Himpunan tiga bilangan ganjil pertama: A = {1, 3, 5}. Keanggotaan Himpuan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 2. Misalkan: A = {1, 3, 5, 8}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}} maka 1 A, {a, b, c} R, sedangkan c R , {} K, sedangkan {} A 16

Beberapa simbol baku pada himpunan N = himpunan bilangan alami (asli) = { 0, 1, 2, 3, . . . } Z = himpunan bilangan bulat = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks sedangkan U menyatakan himpunan semesta. Contoh: Misalkan U = {a, b, c, d, e} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {a, d, e}. 17

3. Notasi Persyaratan A = {x | persyaratan x} contoh : A = {x | x bilangan bulat dengan x 2 -1 =0} B = {x | x merupakan huruf vokal} 18

Diagram Venn untuk menyatakan relasi antar himpunan Misal U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. maka notasi dalam diagram Venn: 19

Himpunan Berhingga (Finite Set) l Himpunan yang mempunyai anggota berhingga disebut himpunan berhingga (finite set) l Sembarang himpunann yang anggotanya tak berhingga disebut himpunan tak berhingga(infinite set) l contoh A={a, b, c, d, e, f} adalah finite set, sedangkan Z adalah infinite set. 20

Kardinalitas menyatakan banyaknya anggota dari himpunan Notasi: n(A) atau A contoh : (i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 10}, atau B = {2, 3, 5, 7} maka B = 8 (iii) A = {t, {t}, {{t}}, {{{t}}} }, maka A = 4 21

Himpunan kosong (null set) l Himpunan yang tidak mempunyai anggota atau kardinalitasnya = 0 l contoh A ={x|x bilangan bulat x 2 + 1 = 0} maka n(A)= 0 l notasi himpunan kosong {} atau Ø 22

Himpunan Bagian (Subset) 23

24

25

26

Himpunan yang Ekivalen 27

Himpunan yang Sama 28

Himpunan Kuasa 29

Himpunan Saling Lepas 30

Operasi Terhadap Himpunan 31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

Perampatan Operasi Himpunan 44

45

daftar pustaka l Doer Allan, Kenneth Levasseur, Applied Discrete Structures for Computer Science, Science Research Associates, Inc. Toronti, 1985 l Kolman, Bernard, Robert C. Busby, Sharon Ross, Discrete Mathematical Structures, Prentice Hall, 1987 l Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi kedua, Penerbit Informatika Bandung, 2001 l Rosen, Kenneth H. , Discreete Mathematics and Its Application, The Random House Birkhauser Mathematics Series New. York, 1987 46

web site l http: //syssci. atu. edu/math/faculty/finan/mai n 2. pdf l http: //www 1. cs. columbia. edu/~zeph/3203 s 04/lectures. html l http: //www. informatika. org/~rinaldi/Matdis/ matdis. htm 47