PENDUDUK STASIONER PENDUDUK STABIL HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA

PENDUDUK STASIONER & PENDUDUK STABIL HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN IPA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

KONSEP DASAR Tabel Hayat: Satu kelompok umur diamati dari lahir s/d umur ω Stasioner: Setiap titik waktu terdapat sekelompok penduduk yang memiliki umur yang sama, dari umur 0 s/d umur ω. Setiap kelompok penduduk tersebut mengikuti pola mortalitas yang sama. Total kelahiran dan total kematian sama. 2 Stabil: Setiap titik waktu terdapat sekelompok penduduk yang memiliki umur yang sama, dari umur 0 s/d umur ω. Setiap kelompok penduduk tersebut mengikuti pola mortalitas yang sama. Tingkat kelahiran tidak sama dengan tingkat HADI SUMARNO kematian. DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

Model matriks Model penduduk Stasioner Model penduduk Stabil HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

DIAGRAM LEXIS Jumlah penduduk menurut umur dan selang waktu tertentu dapat digambarkan dalam bentuk diagram Lexis, sebagai berikut. 4 Garis vertikal menyatakan umur Garis horizontal menyatakan periode Garis diagonal menyatakan kohort kelahiran HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

ANALISIS SURVIVORSHIP Misalkan Pt(0)=l(0). Jika kelahiran merata sepanjang tahun, maka pada selang waktu h, terdapat h*l(0) penduduk umur 0, yang pada saat umur x tahun menjadi h*l(x). 5 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

ANALISIS SUVIVORSHIP Jika h sangat kecil (h=dy), maka dalam satu titik waktu, t , terdapat l(y)dy penduduk umur y. Sehingga jumlah penduduk yang bertahan hidup antara umur x s/d x+1 pada waktu t, sama dengan L(x) Demikian juga dengan T(x) dapat diartikan pula sebagai total penduduk umur x s/d ω. 6 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

ANALISIS SUVIVORSHIP Jumlah penduduk yang mati umur x s/d x+1 mengikuti formula: Tunjukkan bahwa D=l(0) Total waktu yang akan dijalani oleh sejumlah T(x) penduduk berumur x s/d ω, yaitu sama dengan Y(x), 7 Hitunglah total waktu yang dijalani oleh sejumlah T(x) HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB penduduk

ANALISIS SUVIVORSHIP Total waktu yang telah dijalani oleh penduduk yang saat ini berumur 40 s/d 65 tahun: = Total waktu yang akan dijalani oleh penduduk yang saat ini berumur 40 s/d 65 tahun 8 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

ANALISIS SUVIVORSHIP Total waktu yang dijalani oleh penduduk yang saat ini berumur 40 s/d 65 tahun: = Jumlah penduduk yang saat ini berumur 40 s/d 65 tahun 9 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

ANALISIS SUVIVORSHIP Dengan demikian, secara umum permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan integral ganda berikut, dengan 10 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

PENDUDUK STABIL Jumlah penduduk umur x tahun, P(x), untuk sembarang titik waktu sama dengan: Dalam konsep penduduk stasioner, P(x, t) = P(x), untuk semua x dan t 11 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

PENDUDUK STABIL Jika B(t) menyatakan laju kelahiran tahunan, maka jumlah kelahiran pada selang waktu t s/d t adalah B(t) t. Untuk kasus kontinu, jumlah kelahiran selama satu tahun adalah: Jumlah penduduk umur x s/d x + x pada tahun t adalah: F(x) x = B(t-x) S(x) x. Dengan S(x) menyatakan peluang bertahan hidup dari lahir hingga umur x = 12 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

PENDUDUK STABIL Jumlah penduduk keseluruhan dapat diperoleh dengan mengintegralkan fungsi F(x) x pada selang [0, ), sebagai berikut. Proporsi penduduk umur x s/d x+dx terhadap penduduk keseluruhan adalah: 13 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

PENDUDUK STABIL Dengan asumsi B(t+n) = B(t) exp(n ri), maka Proporsi penduduk umur x terhadap prnduduk keseluruhan tidak dipengaruhi oleh t 14 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

PENDUDUK STABIL Jumlah kematian bagi penduduk umur x s/d x + x pada tahun t adalah: F(x) x = B(t-x) S(x) x. Dengan (x) menyatakan laju kematian sesaat. Sehingga jumlah kematian bagi penduduk umur x s/d x+1 adalah: 15 HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA IPB

SELESAI