PENDAHULUAN Tujuan utama suatu usaha bisnis memaksimumkan laba

PENDAHULUAN Tujuan utama suatu usaha bisnis : memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya. Untuk itu, pasti usaha itu memiliki berbagai kendala sumberdaya Baik tujuan maupun kedala pada umumnya dalam kondisi deterministik. Suhubungan dengan itu, Linier Programming (LP) memberikan solusi dalam pengambilan keputusan usaha bisnis tersebut. Linier programming adalah suatu teknik atau cara yang membantu dalam keputusan mengalokasi sumberdaya yang dimiliki perusahaan.

Persyaratan Yang Diperlukan Dalam L P : 1. Perusahaan mempunyai tujuan, yaitu memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya 2. Perusahaan mempunyai kerterbatasan atau kendala sumberdaya dalam mencapai tujuan. 3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan alternatif, salah satu diantaranya dipakai atau dipilih untuk mencapai tujuan.

Beberapa Asumsi Yang Berlaku Dalam LP : 1. Kondisi-kondisi bisnis dalam perusahaan dalam kepastian dimana nilai-nilai, jumlah-jumlah dalam fungsi tujuan dan kendala diketahui dengan pasti (deterministik), tidak berubah selama periode analisis. 2. Hubungan dalam fungsi tujuan dan kendala adalah proporsional dalam bentuk matematik yang linier, contoh : L = 10 X jika X = 2, maka L = 20 jika X = 4, maka L = 40 M < 60 X jika X = 2, maka M < 120 jika X = 5, maka M < 300 3. Bentuk fungsi tujuan dan kendala besifat aditivity, artinya jumlah total nilai kegiatan = penjumlahan dari nilai-nilai kegiatan

Sejarah Linier Program LP telah dikembangkan sebelum perang dunia II oleh matematikawan Rusia, A. N. Kolmogorov dan Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi Perencanaan”. Dalam aplikasi berikutnya LP dikembangkan oleh Stigler (1945) dalam persoalan Diit (kesehatan). Perkembangan berikutnya (1947), George D. Dantzig mengembang kan solu-sinya dengan metode simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga kita kenal sampai sekarang dengan istilah “Linier Program-ming”. Dia seorang matematikawan di Angkatan Udara Inggris menja- bat sebagai kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan Udara. Saat itu militer memerlukan sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan amunisi, penempatan unit-2 tempur. Dantzig memformulasikan sistem pertidaksamaan linier. Setelah perang dunia II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll. Tahun 1984 N. Karmarkar mengembangkan model yang lebih

Model Formulasi Model LP berisikan beberapa komponen dan karakteristik tertentu. Komponen adalah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala, yg didalamnya terdapat Variabel Keputusan dan Parametrer. Variabel Keputusan adalah simbul matematik dari kegiatan yang dilakukan oleh perusahaan, misalnya : X 1 = jml. Radio, X 2 = jml. Televisi dan X 3 = jml Kulkas yang akan diproduksi Parameter adalah nilai-nilai di depan variabel keputusan yang pada dasarnya sudah diketahui. Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yg menggambarkan tujuan perusahaan baik memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya untuk membuat variabel keputusan.

METODE GRAFIK PERSOALAN MAKSIMASI. CONTOH : PERUSAHAAN XYZ Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual masing-masing dengan harga Rp 3000, 00 per unit. Dalam proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin tersebut berbeda untuk setiap produk. Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada mesin tipe R. Lamanya waktu mesin-mesin tersebut beroperasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemudian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin. - Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula

Metode Grafik / Maksimasi Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut : Sd A B Kap. P 2 1 < 30 Q 2 3 < 60 R 4 3 < 72 Harga 3000 Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya : Max. TR = 3000 A + 3000 B Stc. 30 P : 2 A + B < Q : 2 A + 3 B < R : 4 A + 3 B 60 72 <

Metode Grafik / Maksimasi GAMBAR FUNGSI KENDALA • P : 2 A + B < 30 Jika A = 0 , maka B = 30 Max. TR = 3000 A + 3000 B Stc. 2 A Jika B = 0 , maka A = 15 + B P : 2 A + Q : 2 A + 3 B < 60 R : 4 A + 3 B < A, B 30 • R : : B 72 60 < < 3 B +3 + 2 A 4 A Q B < 30 < 72 > 0

FISIBLE AREA dan ISO REVENUE B • TR = 3000 A + 3000 B B = A 0 = 3000(0) + 3000(0) 45000 = 3000(15) + 3000(0) 60000 = 3000(0) + 3000(20) 63000 = 3000(9) + 3000(12) 66000 = 3000(6) + 3000(16) > 66000 = IMPOSIBLE P TR /3000 - Solusi : Produk A = 6 unit Produk B = 16 unit Evaluasi Sumberdaya TR = $ : 66000 P : 2(6) + 1(16) = 28 jam sisa 2 jam • • Q R • Metode Grafik / Maksimasi • A Q : 2(6) + 3(16) = 60 jam persis R : 4(6) + 3(16) = 72 jam persis

KEPUTUSAN BERALTERNATIF Metode Grafik / Maksimasi 1) Antara titik A dan B 2) Antara titik B dan C 3) Antara titik C dan D A • B • C • D •

Variabel Slack Metode Grafik / Maksimasi - Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis persamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala-kendala tsb. lebih dipertimbangkan sebagai persamaan daripada pertidaksamaan. - Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack. - Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah : P : 2 A + B < 30

Metode Grafik / Maksimasi - Variabel slack S 1, S 2 dan S 3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan. Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10. Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan : P : 2(9) + 10 + S 1 = 30 S 1 = 2 Q : 2(9) + 3(10) + S 2 = 60 S 2 = 12 R : 4(9) + 3(10) + S 3 = 72 S 3 = 6 - Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan. Jadi S 1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada sumberdaya P atau disebut slack P.

Metode Grafik / Pengaruh Variabel Slack Terhadap Maksimasi Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B. Fungsi Tujuan Koefisien 3000 dan 3000, masing-masing merupakan kontribusi TR setiap A dan B. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S 1 dan S 2 ? . Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dlm proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis : TR = 3000 A + 3000 B + 0 S 1 + 0 S 2 + 0 S 3 Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), variabel slack berni-lai non-negative, sebab tidak mungkin sumberdaya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya : A, B , S 1, S 2 dan S 3 > 0 Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb. :

Metode Grafik / Maksimasi A = 0 B = 20 TR = 60000 S 1 = 10 S 2 = 0 S 3 = 12 • w A = 6 B = 16 TR = 66000 S 1 = 2 A = 9 S 2 = 0 B = 12 S 3 = 0 TR = 63000 X S 1 = 0 S 2 = 6 S 3 = 0 • • Max. TR = 3000 A + 3000 B Kendala : 2 A + B + S 1 < 30 2 A + 3 B + S 2 < 60 4 A + 3 B + S 3 < 72 A, B , S 1, S 2 dan S 3 > 0 Y Z A = 15 B = 0 TR = 45000 S 1 = 0 S 2 = 30 S 3 = 12 •

KASUS MINIMASI Contoh : Perusahaan Rodio Metode Grafik / Minimasi Perusahaan Rodio memproduksi 2 macam bahan pelarut (A dan B). Untuk memproduksi kedua bahan tersebut memerlukan sumberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter. Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B masing sebesar Rp 80 dan Rp 100, berapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar biaya produksi minimal. Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula penggunaan bahan

Metode Grafik / Minimasi GAMBAR FUNGSI KENDALA B MT : 8 A + 6 B > 24 B > 4 – 4/ 3 A A B D : 10 A + 4 B > 20 B > 5 - 2, 5 A A B Min. TC = 80 A + 100 B Stc. MT : 8 A + 6 B > 24 D : 10 A + 4 B > 20 S : 6 A + 12 B > 24 A, B > 0 S : 6 A + 12 B > 24 B > 2 0, 5 A A

Metode Grafik / Minimasi GAMBAR FUNGSI KENDALA B MT : 8 A + 6 B > 24 B > 4 – 4/ 3 A A B D : 10 A + 4 B > 20 B > 5 - 2, 5 A A B Min. TC = 80 A + 100 B Stc. MT : 8 A + 6 B > 24 D : 10 A + 4 B > 20 S : 6 A + 12 B > 24 A, B > 0 S : 6 A + 12 B > 24 B > 2 0, 5 A A

Metode Grafik / Minimasi FISIBLE AREA dan ISO COST Solusi Optimal : B. Pelarut A = 2, 4 unit B. Pelarut B = 0, 8 unit TC min = 80 (2, 4) + 100(0, 8) = Rp 272 Penggunaan Sumberdaya : MT = 8(2, 4) + 6(0, 8) = 24 Lt. persis D = 10(2, 4) + 4(0, 8) = 27, 2 Lt. > 20 S = 6(2, 4) + 12(0, 8) = 24 Lt. persis • (0, 82, )4 ;

METODE SIMPLEK PENDAHULUAN Kenyataan yang sering dihadapi oleh para manajer dalam pengambilan keputusan adalah kompleks. Keputusan yang harus diambil tidak hanya untuk 2 variabel saja, bisa saja lebih, sementara metode grafik terbatas hanya 2 demensi atau paling banyak mencakup 3 variabel. Untuk mengatasi persoalan linier programming yang kompleks jelas menjadi tidak sederhana. Satu cara sederhana (simple) dan efisien yang dapat menyelesaikan persoalan adalah dengan Metode Smplex, di mana metode ini menggunakan tabel yang unik yang sering disebut “Tabel Simplek”

METODE SIMPLEK Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming. Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai. Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solosi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi

MENYUSUN SOLUSI AWAL Metode Simplek / Maksimasi Untuk memperoleh pengertian yang lebih mudah dan cepat, dalam pembahasan ini kita gunakan persoalan yang meliputi 2 variabel riil saja (sekedar untuk cross cek) Dengan menggunakan contoh kasus perusahaan XYZ di muka, penyelesaian dapat dilakukan dengan Langkah langkah 1. Menyususun Persoalan Dalam beberapa : Matematik B Maksimumkan : TR = 3000 A + 3000 Kendala : P : 2 A + B < 30 Q : 2 A + 3 B < 60 R : 4 A + 3 B < 72

Metode Simplek / Pertidaksamaan. Maksimasi menjadi Langkah 2. Mengubah Persamaan Mengandung pengertian : tidak selalu kapasitas SD digunakan seluruhnya, diantaranya masih ada yang tersisa ada kelong-garan (slack) untuk menambah sebuah variabel sehingga menjadi persamaan. Variable baru ini disebut Variabel Slack = sejumlah unit kapasitas yang tidak dipakai dalam suatu Departemen/ SD. Misal : SP = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. P SP = 30 - 2 A - B SQ = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. Q SQ = 60 - 2 A - 3 B SR = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. R SR = 72 - 4 A - 3 B Atau dari persamaan diatas dapat disusun :

Metode Simplek / Maksimasi Variabel Slack ini harus dimasukkan dalam fungsi tujuan dan kendala. Koefisien setiap variabel pada kedua fungsi tsb. harus terlihat dengan jelas. Oleh karena itu, untuk variabel yang tidak mempunyai pengaruh terhadap persamaan, koefisiennya harus ditulis dengan “nol”, sehingga tidak merubah hakekatnya. Misalkan, karena : SP, , SQ, dan SR tidak menghasilkan TR, SQ, dan SR tidak berpengaruh terhadap Dep. P, SP dan SR tidak berpengaruh terhadap Dep. Q, dan SP, dan SQ tidak berpengaruh terhadap Dep. R, maka fungsi tujuan dan kendala dapat ditulis sbb. : TR = 3000 A + 3000 B + 0 SP + 0 SQ + 0 SR. P : 2 A + B + 1 SP + 0 SQ + 0 SR = 30

Metode Simplek / Maksimasi TR = 3000 A + 3000 B + 0 SP + 0 SQ + 0 SR. P : 2 A + B + 1 SP + 0 SQ + 0 SR = 30 Q : 2 A + 3 B + 0 SP + 1 SQ + 0 SR Langkah = 60 3. Memasukkan Fungsi Tujuan dan Kendala ke Tabel Simplek R : 4 A + 3 B + 0 SP + 0 SQ + 1 SR = 72 Zj = aij. Bi Sollusi Awal, belum berproduksi, Zj = 0

Metode Simplek / Maksimasi MENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUA § Solusi awal menunjukkan perusahaan masih belum berproduksi. § Selanjutnya kita akan melakukan perubahan sehingga TR sebagai tujuan tercapai lebih baik. § Jika tabel yang telah diperbaiki masih ada kemungkinan dirubah untuk mencapai tujuan yang lebih baik lagi, maka perubahanpun terus berlanjut sampai tercapai solusi yang optimal. § Tahap-tahap perubahan dari tabel satu ke tabel yang lain disebut

Metode Simplek / Maksimasi Langkah 1. Menentukan Variabel Riil yang akan dimasukkan dalam solusi (going in) § Secara rasional, memilih varibel riil yang tepat adalah variabel yang mempunyai kontribusi menambah laba/TR atau mengurangi biaya yang paling besar. § Dengan memilih nilai-nilai baris Cj - Zj pada kolom variabel riil yang terbesar, mengindikasikan adanya peningkatan laba/TR yang lebih baik. § Oleh karena Nilai Cj - Zj untuk kedua kolom variabel riil A dan

Metode Simplek / Maksimasi Langkah 2. Menentukan Variabel yang akan diganti (going out) § Pertama kali, kita membagi nilai-nilai dalam kolom variabel basis dengan nilai-nilai pada kolom optimum, dan kemudian hasil bagi-hasil bagi tersebut kita pilih yang paling kecil. Baris SP : 30 / 1 = 30 Baris SQ : 60 / 3 = 20 dikeluarkan § Baris yang nilai “Ri” terkecil bakal Baris SRmempunyai : 72 / 3 = 24 diganti atau Elemen-elemen (nilai) pada basis SP, SQ dan Sdikeluakan kolom optimum, disebut elemen variabel basis. R di bawahdari interseksi-onal, yang akan beerperan dalam perhitungan nilai pada tabel berikutnya.

Aplikasi Langkah 1 dan Langkah 2 Langkah 1 : menentukan kolom optimum (going in) Langkah 2 : menentukan baris optimum (going out)

Menentukan / Menghitung - Nilai baris baru: yang masuk : NBBM = NBL : N Insek : 60/3 = 20 ; 2/3 = 2/3 ; 3/3 =- 1; Nilai baris baru yang lain : 0/3 = 0 ; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0 NBBL= NBL (N Intsek x NBBM) Baris Sp : 30 ( 1 x 20) = 10 2 ( 1 x 2/ 3) = 1 1/ 3 1 ( 1 x 1) = 0 1 ( 1 x 0) = 1 0 ( 1 x 1/3) = -1/3 Baris 0 ( 1 Sr x : 0) = 0 72 ( 3 x 20) = 12 4 ( 3 x 2/ 3) = 2 3 ( 3 x 1) = 0 0 ( 3 x 0) = 0 0 ( 3 x 1/3) = -1 1 ( 3 x 0) = 1

MENGEMBANGKAN SOLUSI KETIGA NILAI-NILAI Cj - Zj < 0 SOLUSI OPTIMAL Menentukan / -Menghitung Kolom optimum : : pilih nilai Cj - Zj yang terbesar - Baris yang diganti : Pilih nilai Ri yang terkecil = nilai / kolom - Ri Nilai baris. Qbaru yang optimum masuk : NBBM = NBL : N Insek : 12/2 baris = 6 ; 2/2 =1 yang ; 0/2 lain = -0; Nilai baru : 0/2 = 0; -1/2 = - 0, 5; 1/2 = 0, 5 NBL (N Intsek x NBBL= NBBM) Baris Sp : 10 (1, 33 x 6) = 2 1, 33 (1, 33 x 1) = 0 0 (1, 33 x 0) = 0 Baris : 1 B(1, 33 x 0) = 20 (0, 67 x 6) = 1 -16 0, 33 (1, 33 x -0, 5) = 0, 33 0, 67 =- 0 0 (0, 67 (1, 33 xx 1) 0, 5) = 1 (0, 67 x 0) = 1 0. 67 0 (0, 67 x 0) = 0 0, 33 (0, 67 x - 0, 5) = 0, 67 0 (0, 67 x 0, 5) = -

INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK Nilai 2 pada Kolom Q Tabel 3 : Baris Sp = 2 (Sisa Sbrdaya P) Baris B = 16 (Jml Prduksi B) Anga-angka Baris A = 6 dalam (Jml Prduksi kwadran matrik (input. A) atau diberi outpu) Baris a Zjij menunjukkan = 66000 (TR simbul MRTS max. )atau Koefisien Teknologi antara kegiatan pada kolom Nilai 2 pada Baris Cj-Zj di bawah ko-lom vaibel riil menunjukkan nilai produk marginal : Jika positif menunjukkan kemung-kinan tambahan TR jika variabel riil ditambah 1 unit Jika negatif menunjukkan pengura-ngan Nilai 2 Negatif pada Baris Cj TR jika variabel riil ditambah 1 unit Nilai 2 di baris Zj menggambarkan berkurangnya TR (oportunity cost) akibat tambahan 1 unit kegiatan riil atau -Zj di bawah kolom variabel Slack : menunjukkan tambahan TR yg dapat dicapai jika ditambahkan 1 jam lagi

CONTOH : PERUSAHAAN PNT Metode Simplek / Minimasi Perusahaan Nutrisi Ternak (PNT) khusus menghasilkan makanan campuran sebagai makanan tambahan, mendapat pesanan makanan campuran "141 -B" dengan ukuran/paket 200 pon. Makanan Campuran tersebut terdiri dari dua bahan ramuan , yaitu P (sumber protein) dan C (sumber karbohidrat). Biaya bahan protein sebesar $ 3 per pon, sedang bahan karbohidrat sebesar $ 8 per pon. Dalam makanan campuran itu kandungan Protein (P) tidak boleh melebihi 40 % dan kandungan bahan Carbohidrat (C) paling tidak tersedia 30 %. FORMULASI MATEMATIKA PERSOALAN ( Persoalan PNT adalah menetapkan berapa banyak IDENTIFIKASI) masing-masing bahan digunakan agar biaya Minimumkan : Cost = $ 3 P+ $ 8 C minimal. Kendala : P + C = 200 pon P < 80 pon C > 60 pon

Metode Simplek / Minimasi SOLUSI AWAL persamaan dan pertidaksamaan pada Merubah kendala - Untuk tanda Persamaan ( = ) harus ditambah dengan variabel Artifisial (A) - Untuk Pertidaksamaan”lebih besar sama dengan” ( > ) harus dikurangi variabel surplus (S) dan ditambah variabel Artifisial (A) Untuk Kendala : P + C = 200 P + C + A 1 -= Untuk 200 Pertidaksamaan kurang sama dengan ( < ) harus P < 80 P + S 1 = 80 ditambah variabel. Cslack > 60(S) C S 2 + A 2

SOLUSI AWAL Metode Simplek / Minimasi Koefisien teknologi (para meter) masing-masing variabel , secara ekplisit harus ditulis, dengan ketentuan yang tidak ada pengaruhnya ditulis nol Nilai biaya untuk variabel Artifisial diberi nilai yang sangat besar (M), dan untuk variabel Slack/Surplus = 0 Secara lengkap : Minimize: Cost = 3 P + 8 C + 0 S 1 + 0 S 2 + MA 1 + MA 2 P + C + A 1 200 P + S 1 80 = =

SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

DUALITAS ANTARA MAKSIMASI dan MINIMASI Untuk setiap permasalahan optimasi yang mempunyai kendala/pembatas, akan terdapat “permasalahan dual”, yaitu dengan memaksimasi atau meminimasi fungsi ken-dala dan fungsi tujuan sebelumnya menjadi kendalanya. Hubungan ini disebut sebagai dualitas (duality) Permasalahan yang pertama disebut dengan “primal” dan permasalahan kedua disebut dengan “dual”. Jadi misalnya, jika permasalahan primalnya adalah maksimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi dual, yaitu minimasi kendala dengan kendalanya adalah fungsi tujuannya.

Dengan demikian dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling berlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual. Bentuk Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut: Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal) Koefisien fungsi tujuan …………… Nilai kanan fungsi batasan Maksimumkan Z (atau Y) ………… Minimumkan Y (atau Z) Batasan i ……………… Variabel yi (atau xi) Bentuk < ……………. yi > 0 Bentuk = ……………… yi > dihilangkan Variabel Xj ……………. . Batasan j Xj > 0 ………………. Bentuk < Xj > 0 dihilangkan ………………… Bentuk =

Contoh 1: Primal Minimumkan Z = 5 X 1 + 2 X 2 + X 3 Fungsi batasan: 1) 2 X 1 + 3 X 2 + X 3 20 2) 6 X 1 + 8 X 2 + 5 X 3 30 3) 7 X 1 + X 2 + 3 X 3 40 X 1 , X 2 , X 3 > 0 Dual Maksimumkan Z ’ = 20 Y 1 + 30 Y 2 + 40 Y 3 Fungsi batasan: 1) > > > 2 Y 1 + 6 Y 2 + 7 Y 3 < 5

CONTOH : ( Ek. Mikro)PRIMA DUAL L Maksimumkan : Q = L. C Kendala : 1200 = 30 L + 40 C L dan C optimum = ? Minimumkan : B = 30 L + 40 C Kendala : 300 = L. C L dan C optimum = ? Jawab Slope Isoquant = Slope Budget Line / MPC = PL/ PC C / L = 30/ 40 C = 3/ 4 L MPL 3 1200 = 30 L + 40 ( / 4 L ) 1200 = 60 L Jadi : L = 20 dan C = 15 Q max. = 20 x 15 = / d. L = 300 / L 2 = d. C PL / PC 30 / 40 L 2 = 400 Jadi : L = (400)1/2 = 20 dan C = 15

CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM) Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya murah adalah sbb. : Minimumkan : Z = 150 X 1 + 100 X 2 + 350 X 3 + 250 X 4 + 320 X 5 Kendala : Protein : 8, 3 X 1 + 246 X 2 + 17, 2 X 3 + 5, 2 X 4 + 2, 01 X 5 > 70 Karbohidrat : 5 X 1 + 26 X 2 + 595 X 3 + 3, 1 X 4 + 4 X 5 > 3000 Lemak : 0, 4 X 1 + 793 X 2 + 14, 8 X 3 + 0, 6 X 4 + 0, 16 X 5 > 800 Vitamin : 6 X 1 + 93 X 2 + 61, 6 X 3 + 6, 8 X 4 + 2, 05 X 5 > 40 Zat Besi : 24, 9 X 1 + 243 X 2 + 810 X 3 + 16, 4 X 4 +

JAWAB : Maksimumkan : Z’ = 70 Y 1 + 3000 Y 2 + 800 Y 3 + 40 Y 4 + 12 Y 5 Kendala : X 1 : 8, 3 Y 1 + 5, 0 Y 2 + 0, 4 Y 3 + 6, 0 Y 4 + 24, 9 Y 5 < 150 X 2 : 246 Y 1 + 26 Y 2 + 793 Y 3 + Y 5 < 100 93 Y 4 + 243 X 3 : 17, 2 Y 1 + 595 Y 2 + 14, 8 Y 3 + 61, 6 Y 4 + 810 Y 5 < 350 X 4 : 5, 2 Y 1 + 3, 1 Y 2 + 0, 6 Y 3 + 6, 8 Y 4 + 16, 4

SOLUS I

Soal N 0. 8 Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40. 000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50. 000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum.

SOAL N 0. 8 M K Kap Maximiz 4000 5000 e 0 0 Labor 10 8 <= 80 Kayu 6 2 <= 36 Demand 0 1 <= 6 Solution -> 3. 2 6 428. 00 0

Soal N 0. 12 Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan 1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing-masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-masing Rp 80. 000 dan Rp 50. 000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin. a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini. b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis

Bahan 1 2 Ka P Minimize 80000 50000 Antibiotik 1 3 1 >= 6 Antibiotik 2 1 1 >= 4 Antibiotik 3 2 6 >= 12 Soal N 0. 12

KASUS UCP SD X 1 X 2 Kap. Sur. Klaim 16 12 > 450 30 Rusak 0, 5 1, 4 > 25 31 Kompt 1 1 < 40 0 C Solusi 64000 42000 0 40 TC = 168000

KASUS Giman Piza SD PI PS Kap Slack DM 1 1 < 150 17, 5 TM 4 8 < 800 0 Sales PI 1 < 75 0 < 125 62, 5 Sales PI 1 Laba 500 750 Solusi 75 62, 5 84375

KASUS Toko Perhiasan Sd K G Kap Emas 30 20 18 Platina 20 40 20 1 40 DG Slack Laba 300000 400000 Solusi 0, 4 0, 3 L=240000

KASUS Obat Sd B 1 B 2 Kap Sur A 1 3 1 >6 0 A 2 1 1 >4 0 A 3 2 6 > 12 8 TC Solusi 80000 50000 1 3 TC=230000

KASUS Usaha Ternak Min. TC = 60 A + 100 K Stc. Pr : 20 A + 40 K > 30 Lm : 2 A + 0, 5 K > 1 Prod. : 1 A + 1 K 78, 571 43 < 1 A, K Sd, > 0 A K kap Slack Pr 20 40 > 30 0 Lm 2 0, 5 >1 0 Prod 1 1 <1 0, 07 Solusi 0, 36 0, 57 TC 21, 43 57, 14 78, 57

KASUS Della & Pandu Mak. L = 2 C + 2 T Stc. K : 8 C+ 6 T < 120 Tom : 3 C + 6 T < 90 B : 3 C+ 2 T < 78, 571 43 45 Prod : T 1 C kap + 1 T Slack < Sd C K 24 8 6 < 120 C, T > 00 Tom 3 6 B 3 2 < 45 3 Prod 1 1 < 24 6 Solusi 6 12 Laba 12 24 < 90 36 0

KASUS Untitled Mak. L = 3 X + 2 Y Stc. A : 3 X+ 2 Y < 120 F : 1 X+ 2 Y < 80 Pro X : 1 X + 0 Y > 10 Pro YY: 0 Xkap + 1 Y S> Sd X A 10 3 2 F 1 2 Pro X 1 Pro Y - > 00 < 80 26, 67 - > 10 13, 33 1 > 10 0 Solusi 33, 33 10 Laba 20 100 < 120 X, Y 120