PENDAHULUAN Tujuan utama suatu usaha bisnis memaksimumkan laba

PENDAHULUAN Tujuan utama suatu usaha bisnis : memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya. - Untuk itu, pasti usaha itu memiliki berbagai kendala s. d Baik tujuan maupun kedala pada kendala umumnya dalam kondisi deterministik. - Suhubungan dengan itu, Linier Programming (LP) memberikan solusi dalam pengambilan keputusan usaha bisnis tsb. - Linier programming adalah suatu teknik atau cara yang membantu dalam keputusan mengalokasi sumberdaya yang dimiliki perusahaan. - Sumberdaya tersebut meliputi misalnya, mesin -mesin, tenaga kerja, uang, waktu, kapasitas gudang (ruangan), material , dll. , yang akan digunakan untuk memproduksi barang

Persyaratan Yang Diperlukan Dalam L P : 1. Perusahaan mempunyai tujuan, yaitu memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya 2. Perusahaan mempunyai kerterbatasan atau kendala sumberdaya dalam mencapai tujuan. 3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan alternatif, salah satu diantaranya dipakai atau dipilih untuk mencapai tujuan. 4. Tujuan dan kendala dinyatakan dalam hubungan

Beberapa Asumsi Yang Berlaku Dalam LP : 1. Kondisi-kondisi bisnis dalam perusahaan dalam kepas-tian dimana nilai-nilai, jumlah-jumlah dalam fungsi tujuan dan kendala diketahui dengan pasti (deterministik), tidak berubah selama periode analisis. 2. Hubungan dalam fungsi tujuan dan kendala adalah proporsional dalam bentuk matematik yang linier, contoh : L = 10 X jika X = 2, maka L = 20 jika X = 4, maka L = 40 M < 60 X jika X = 2, maka M < 120 jika X = 5, maka M < 300 3. Bentuk fungsi tujuan dan kendala besifat aditivity, artinya jumlah total nilai kegiatan = penjumlahan dari nilai-nilai kegiatan individu : L = $3 X 1 + $5 X 2 Jika X 1 = 10 dan X 2 = 20, maka L = $3(10) + $5(20) = $ 130.

Sejarah Linier Program -LP telah dikembangkan sebelum perang dunia II oleh matematika-wan Rusia, A. N. Kolmogorov dan Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi Perencanaan” -Dalam aplikasi berikutnya LP dikembangkan oleh Stigler

- Perkembangan berikutnya (1947), George D. Dantzig me-ngembang kan solusinya dengan metode simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga kita kenal sampai sekarang dengan istilah “Linier Programming”. Dia seorang matematikawan di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan Udara. Saat itu militer memerlukan sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan amunisi, penempatan unit-2 tempur. Dantzig memformulasikan sistem pertidaksamaan linier - Setelah perang dunia II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll. - Tahun 1984 N. Karmarkar mengembangkan model yang lebih su-perior dari metode simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.

Model Formulasi Model LP berisikan beberapa komponen dan karakteristik tertentu. Komponen adalah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala, didalamnya terdapat Variabel Keputusan dan Parameter. Variabel Keputusan adalah simbol matematik dari kegiatan yang dilakukan oleh perusahaan, misalnya : X 1 = jml. Radio, X 2 = jml. Televisi dan X 3 = jml Kulkas yang akan diproduksi Parameter adalah nilai-nilai di depan variabel keputusan yang pada dasarnya sudah diketahui. Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yg menggambarkan tujuan perusahaan baik memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya untuk membuat variabel keputusan. Fungsi Kendala juga merupakan hubungan linier antar variabel keputusan yg menggambarkan keterbatasan sumberdaya. Misalnya, keterbatasan dlm. jumlah e. Tenaga Kerja utk

METODE GRAFIK PERSOALAN MAKSIMASI. CONTOH : PERUSAHAAN XYZ Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual ma-sing-masing dengan harga Rp 3000, 00 per unit. Dalam proses produksi-nya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang me-miliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin tersebut berbeda untuk setiap produk. Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada me-sin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada mesin tipe R. Lamanya waktu mesin-mesin tersebut beroperasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemu-dian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan me-sin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin.

Metode Grafik / Maksimasi Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut : Sd P Q R Harga A B Kap. < 30 < 60 < 72 2 1 2 3 4 3 3. 000 Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya : Max. TR = 3000 A + 3000 B Stc. P : 2 A + B < 30 Q : 2 A + 3 B < 60 R : 4 A + 3 B < 72 A, B > 0

GAMBAR FUNGSI KENDALA • P : 2 A + B < 30 Jika A = 0 , maka B = 30 2 A Jika B = 0 , maka A = 15 + B < 30 • Max. TR = 3000 A + 3000 B Stc. P : 2 A + B < 30 Q : 2 A + 3 B < 60 R : 4 A + 3 B < 72 A , B > 0 R : : B 72 60 < < 3 B +3 + 2 A 4 A Q

FISIBLE AREA dan ISO REVENUE B • TR = 3000 A + 3000 B B = A 0 = 3000(0) + 3000(0) 45000 = 3000(15) + 3000(0) 60000 = 3000(0) + 3000(20) 63000 = 3000(9) + 3000(12) 66000 = 3000(6) + 3000(16) > 66000 = IMPOSIBLE P TR /3000 - Solusi : Produk A = 6 unit Produk B = 16 unit Evaluasi Sumberdaya TR = $ : 66000 P : 2(6) + 1(16) = 28 jam sisa 2 jam • • Q R • Metode Grafik / Maksimasi • A Q : 2(6) + 3(16) = 60 jam persis R : 4(6) + 3(16) = 72 jam persis

• A KEPUTUSAN BERALTERNATIF 1) Antara titik A 2) Antara titik B dan B 3) Antara titik C dan C dan D B • C • D •

Variabel Slack - Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis pertidaksamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala-kendala tersebut lebih dipertimbangkan sebagai persamaan daripada pertidaksamaan. - Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebu-ah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack. - Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah : P : 2 A + B < 30

- Penambahan sebuah variabel slack, S 1 pada kendala P, S 2 pada kendala Q dan S 3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. : P : 2 A + B + S 1 = 30 Q : 2 A + 3 B + S 2 = 60 R : 4 A + 3 B + S 3 = 72 - Variabel slack S 1, S 2 dan S 3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan. Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10. Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan : P : 2(9) + 10 + S 1 = 30 → S 1 = 2 Q : 2(9) + 3(10) + S 2 = 60 → S 2

- Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan. - Jadi S 1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada sumberdaya P atau disebut slack P. Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6 jam yang tidak digunakan. - Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh slack-nya masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam

Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B. Koefisien 3. 000 dan 3. 000, masing-masing merupakan kontribusi TR setiap produk A dan produk B. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S 1 dan S 2 ? . Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumber-daya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dalam proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis parameter 0 , sbb : TR = 3000 A + 3000 B + 0 S 1 + 0 S 2 +

Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), va-riabel slack bernilai non-negative, sebab tidak mungkin sumberdaya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya : A, B , S 1, S 2 dan S 3 > 0 Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb. : Maksimumkan : TR =3000 A + 3000 B+ 0 S 1+ 0 S 2 +0 S 3 Kendala 2 A + B + S 1 = 30 2 A + 3 B + S 2 = 60 4 A + 3 B + S 3 = 72 A, B , S 1, S 2 dan S 3 > 0

A = 0 B = 20 TR = 60000 S 1 = 10 S 2 = 0 S 3 = 12 • w Max. TR = 3000 A + 3000 B Kendala : 2 A + B + S 1 < 30 2 A + 3 B + S 2 A = 9 < 60 B = 12 4 A + 3 B + S 3 TR = < 72 63000 S 1 = 0 A, B , S 1, S 2 dan S 3 S 2 = 6 > 0 A = 6 B = 16 TR = 66000 S 1 = 2 S 2 = 0 S 3 = 0 • X • S 3 = 0 Y A = 15 B = 0 TR = 45000 S 1 = 0 S 2 = 30 S 3 = 12 • Z

Contoh lain : Persoalan Perusahaan BW Perusahaan ini memproduksi dua macam produk, yaitu Meja dan Kursi, dimana dalam proses produksinya harus melalui departemen Assembling dan Finishing. Departemen assembling tersedia waktu 60 jam, sedangkan departemen finishing dapat menangani hingga sampai 48 jam kerja. Untuk membuat sebuah meja memerlukan waktu 4 jam untuk assembling dan 2 jam untuk finishing. Untuk membuat sebuah kursi diperlukan waktu 2 jam pada assembling dan 4 jam pada fininshing. Jika Laba setiap satu meja sebesar $ 8 dan setiap satu kursi $ 6, persoalan yang dihadapi perusahaan BW adalah menentukan kombinasi produksi meja dan kursi yang terbaik, dan menjual-nya sedemikian rupa sehingga memperoleh laba maksimum. Pada kasus di atas, terdapat dua kendala, yaitu waktu yang tersedia pada departemen assembling dan finishing. Informasi tentang persoalan perusahaan BW seperti dikemukakan di atas, dapat disajikan dalam tabel berikut ini :

Sumberdaya Jam yg diperlukan per unit Meja /Kursi Meja Kursi Assembling 4 2 Finishing 2 4 Laba per unit $ 8 M = Meja $6 K = Kursi Jml jam yg tersedia Maksimumkan : L = 8 M + 6 K Kendala : 4 M + 2 K < 60 2 M + 4 K < 48 M, K > 0 60 48

Solusi B M = 0 K = 12 L = 72 SA = 36 SF = 12 Solusi A M = 0 K = 0 L = 0 SA = 60 SF = 48 K Solusi C M = 12 K = 6 L = 132 SA = 0 SF = 0 Solusi D M = 15 K = 0 L = 120 SA = 0 SF = 18 < 2 K + 4 M Keputusan: Jml Meja yang diproduksi sebanyak : 12 unit Jml kursi yang diproduksi sebanyak : 6 unit 2 M Laba = $8(12) + $6(6) = $ 132 + • B 4 K < Penggunaan Sumberdaya : 48 Assembling : (4 x 12)+(2 x 6) = 60 unit (12, (persis) • C 6)Finishing : (2 x 12)+ (4 x 6) = 48 unit (persis) 0 6 A • D • M

Untuk Titik C : 4 M + 2 K = 60 →x 1 = 4 M + 2 K = 60 2 M + 4 K = 48 →x 2 = 4 M + 8 K = 96 ― 0 M ― 6 K = ― 36 K = 6 M = 12 Atau 4 M + 2 K ― 60 = 2 M +4 K ― 48 2 M ― 2 K = 12 M = 6 + K 4 M + 2 K = 60

Latihan : Sebuah perusahaan membuat dua macam produk (A dan B) dari dua sumberdaya SD 1 dan SD 2. Jika perusahaan berhasil membuat produk tersebut, perusahaan akan mem-peroleh laba sebesar $ 8 (prodk A)dan $ 4 (produk B). Untuk membuat kedua produk tersebut setiap satu produk A yang diproses di SD 1 diperlukan waktu sebanyak 4 jam , sedang untuk setiap satu produk B dibutuhkan waktu 5 jam, sedangkan SD 1 hanya tersedia waktu 20 jam. Pada SD 2, setiap satu produk A yang diproses diperlukan waktu sebanyak 2 jam, sedang untuk setiap satu produk B dibutuhkan waktu 6 jam, sementara SD 2 terbatas waktu sebanyak 18 jam saja. Saudara sebagai manajer RO, diminta untuk

Metode Grafik / Minimasi Contoh Soal Sebuah perusahan membuat bahan pelarut A dan B, yang menggunkan bahan Minyak tanah (MT), Damar (D) dan Spiritus (S). Biaya bahan pelarut A sebesar Rp 80, - dan bahan pelarut B sebesar Rp 100, -. Masing-masing bahan campurannya (MT, D dan S) minimal dibutuhkan sebanyak 24 liter Minyak Tanah, 20 Kg Damar, dan 24 liter spiritus. Untuk setiap bahan A dibutuhkan Minyak Tanah seba-nyak 8 liter , 10 kg Damar dan 6 liter Spiritus. Untuk seti-ap bahan B dibutuhkan Minyak Tanah 6 liter, Damar 4 Kg, dan 12 liter Spiritus. Saudara diminta bantuan untuk menyelesaikan berapa bahan A dan B dibuat

Metode Grafik / Minimasi GAMBAR FUNGSI KENDALA B MT : 8 A + 6 B > 24 B > 4 – 4/ 3 A A B D : 10 A + 4 B > 20 B > 5 - 2, 5 A A B Min. TC = 80 A + 100 B Stc. MT : 8 A + 6 B > 24 D : 10 A + 4 B > 20 S : 6 A + 12 B > 24 A, B > 0 S : 6 A + 12 B > 24 B > 2 0, 5 A A

Metode Grafik / Minimasi FISIBLE AREA dan ISO COST Solusi Optimal : B. Pelarut A = 2, 4 unit B. Pelarut B = 0, 8 unit TC min = 80 (2, 4) + 100(0, 8) = Rp 272 Penggunaan Sumberdaya : MT = 8(2, 4) + 6(0, 8) = 24 Lt. persis D = 10(2, 4) + 4(0, 8) = 27, 2 Kg. > 20 S = 6(2, 4) + 12(0, 8) = 24 Lt. persis • (0, 82, )4 ;

METODE SIMPLEK PENDAHULUAN Kenyataan yang sering dihadapi oleh para manajer dalam pengambilan keputusan adalah kompleks. Keputusan yang harus diambil tidak hanya untuk 2 variabel saja, bisa saja lebih, sementara metode grafik terbatas hanya 2 demensi atau paling banyak menca-kup 3 variabel. Untuk mengatasi persoalan linier programming yang kompleks jelas menjadi tidak sederhana. Satu cara sederhana (simple) dan efisien yang dapat menyelesaikan persoalan adalah dengan Metode Simplex, di mana metode ini

Metode simplek untuk linier programming dikembang-kan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa ke-mungkinan solosi sebuah persoalan linier programming. Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dila-kukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai. Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solo-si yang baru akan menghasilkan

MENYUSUN SOLUSI AWAL Metode Simplek / Maksimasi Utk memperoleh pengertian yg lebih mudah dan cepat, dalam pembahasan ini kita gunakan persoalan yang me-liputi 2 variabel riil saja (sekedar untuk cross cek) Dengan menggunakan contoh kasus perusahaan XYZ di muka, penyelesaian dapat dilakukan dengan beberapa langkah : Langkah 1. Menyususun Persoalan Dalam Matematik B Maksimumkan : TR = 3000 A + 3000 Kendala : P : 2 A + B < 30 Q : 2 A + 3 B < 60 R : 4 A + 3 B < 72

Metode Simplek / Maksimasi Langkah 2. Mengubah Pertidaksamaan menjadi Persamaan Mengandung pengertian : tidak selalu kapasitas SD digunakan seluruhnya, diantaranya masih ada yang tersisa ada kelonggaran (slack) untuk menambah sebuah variabel sehingga menjadi persamaan. Variable baru ini disebut Variabel Slack = sejumlah unit kapasitas yang tidak dipakai dalam suatu Departemen/ SD. Variabel Slack Misal : SP = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. P SP = 30 - 2 A - B SQ =waktu yang tidak dipakai dlm Dep. Q SQ = 60 -2 A - 3 B SR =waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. R SR =72 - 4 A -3 B Atau dari persamaan diatas dapat disusun :

Metode Simplek / Maksimasi Variabel Slack ini harus dimasukkan dalam fungsi tuju-an dan kendala. Koefisien setiap variabel pada kedua fungsi tsb. harus terlihat dengan jelas. Oleh karena itu, untuk variabel yang tidak mempunyai pengaruh terha-dap persamaan, koefisiennya harus ditulis dengan. “nol”, sehingga tidak merubah hakekatnya. Misal, karena : SP, , SQ, dan SR tidak menghasilkan TR, SQ, dan SR tidak berpengaruh terhadap Dep. P, SP dan SR tidak berpengaruh terhadap Dep. Q, SP, dan SQ tidak berpengaruh terhadap Dep. R, maka fungsi tujuan dan kendala dapat ditulis sbb. : TR = 3000 A + 3000 B + 0 SP + 0 SQ +

Metode Simplek / Maksimasi TR = 3000 A + 3000 B + 0 SP + 0 SQ + 0 SR. P : 2 A + B + 1 SP + 0 SQ + 0 SR = 30 Q : 2 A + 3 B + 0 SP + 1 SQ + 0 SR = Langkah 3. Memasukkan Fungsi Tujuan dan 60 Kendala ke Tabel Simplek R : 4 A + 3 B + 0 S P + 0 SQ + 1 SR = 72 Zj = aij. Bi Sollusi Awal, belum berproduksi,

Metode Simplek / Maksimasi MENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUA § Solusi awal menunjukkan perusahaan masih belum berproduksi. § Selanjutnya kita akan melakukan perubahan sehingga TR sebagai tujuan tercapai lebih baik. § Jika tabel yang telah diperbaiki masih ada kemungkinan dirubah untuk mencapai tujuan yang lebih baik lagi, maka perubahanpun terus berlanjut sampai tercapai solusi yang optimal. § Tahap-tahap perubahan dari tabel satu ke tabel yang lain disebut “pivoting”. § Perhitungan solusi kedua dapat diikuti dengan langkah-langkah berikut ini.

Langkah 1. Menentukan Variabel Riil yang akan dimasuk kan dalam solusi (going in) Secara rasional, memilih varibel riil yang tepat adalah variabel yang mempunyai kontribusi menambah laba/TR atau mengurangi biaya yang paling besar. § Dengan memilih nilai-nilai baris Cj - Zj pada kolom variabel riil yang terbesar, mengindikasikan adanya peningkatan laba/TR yang lebih baik. § Oleh karena Nilai Cj - Zj untuk kedua kolom variabel riil A dan B sama, maka bisa kita pilih salah satu.

Metode Simplek / Maksimasi Langkah 2. Menentukan Variabel yang akan diganti (going out) § Pertama kali, kita membagi nilai-nilai dalam kolom variabel basis dengan nilai-nilai pada kolom optimum, dan kemudian hasil bagi tersebut kita pilih yang paling kecil. § Baris yang mempunyai nilai “Ri” terkecil bakal diganti atau dikeluakan dari variabel Baris SP : 30 / 1 = 30 basis. Baris SQ : 60 / 3 = 20 dikeluarkan Baris SR : 72 / 3 = 24 Elemen-elemen (nilai) pada basis S P, SQ dan SR di bawah kolom optimum, disebut elemen interseksional, yang akan beerperan dalam perhitungan nilai pada tabel berikutnya.

Aplikasi Langkah 1 dan Langkah 2 Langkah 1 : menentukan kolom optimum (going in) Langkah 2 : menentukan baris optimum (going out)

Menentukan / Menghitung - Nilai baris baru: yang masuk : NBBM = NBL : N. Insek : 60/3 = 20 ; 2/3 = 2/3 ; 3/3 = 1; - 0/3 Nilai baris baru yang = 0 ; 1/3 = 1/3; 0/3 = lain : 0 NBBL= NBL (N Intsek x NBBM) Baris Sp : 30 ( 1 x 20) = 10 2 ( 1 x 2/3) = 1 1/3 1 ( 1 x 1) = 0 1 ( 1 x 0) = 1 0 ( 1 x 1/3) = -1/3 0 ( 1 x 0) = 0 Baris Sr : 72 ( 3 x 20) = 12 4 ( 3 x 2/3) = 2 3 ( 3 x 1) = 0

MENGEMBANGKAN SOLUSI KETIGA Menentukan / -Menghitung Kolom optimum : : pilih nilai Cj - Zj yang terbesar - Baris yang diganti : Pilih nilai Ri yang terkecil = nilai / kolom - Ri Nilai baris. Qbaru yang optimum masuk : NBBM = NBL : N Insek : 12/2 baris = 6 ; 2/2 =1 yang ; 0/2 lain = -0; Nilai baru : 0/2 = 0; -1/2 = - 0, 5; 1/2 = 0, 5 NBL (N Intsek x NBBL= NBBM) Baris Sp : 10 (1, 33 x 6) = 2 1, 33 (1, 33 x 1) = 0 0 (1, 33 x 0) = 0 Baris B : 20 = 1 (0, 67 (1, 33 x 6) x 0) = 116 0 -0, 67 0, 33 (0, 67 (1, 33 xx 1) -0, 5) = 0, 33 10 (1, 33 (0, 67 x 0, 5) 0) =- 1 0 (0, 67 x 0) = 0 0. 67 0, 33 (0, 67 x - 0, 5) = 0, 67 0 (0, 67 x 0, 5) = NILAI-NILAI Cj - Zj < 0 SOLUSI

INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK

INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK Nilai 2 pada Kolom Q Tabel 3 : Baris Sp = 2 (Sisa Sbrdaya P) Baris B = 16 (Jml Prduksi B) Baris A = 6 (Jml Prduksi A) Baris Zj = 66000 (TR max. ) Nilai 2 pada Baris Cj-Zj di bawah kolom vaibel riil menunjukkan nilai produk marginal : Jika positif menunjukkan kemungkinan tambahan TR jika variabel riil ditambah 1 unit Jika negatif menunjukkan pengurangan TR jika variabel riil ditambah 1 unit

Nilai 2 Negatif pada Baris Cj-Zj di bawah kolom var. Slack menunjukkan tambahan TR yg dapat dicapai jika ditambahkan 1 jam lagi pada departemen diwakili variabel slack Nilai 2 di baris Zj menggambarkan berkurangnya TR (oportunity cost) akibat tambahan 1 unit kegiatan riil atau disposal Angka-angka dalam kwadran matrik (inputoutput) atau diberi simbul aij menunjukkan MRTS atau Koefisien Teknologi antara kegiatan pada kolom dengan sumberdaya pada baris.

Metode Simplek / Minimasi CONTOH : PERUSAHAAN PNT Perusahaan Nutrisi Ternak (PNT) khusus menghasilkan makanan campuran sebagai makanan tambahan, mendapat pesanan makanan campuran "141 -B" dengan ukuran/paket 200 pon. Makanan Campuran tersebut terdiri dari dua bahan ramuan , yaitu P (sumber protein) dan C (sumber karbohidrat). Biaya bahan protein sebesar $ 3 per pon, sedang bahan karbohidrat sebesar $ 8 per pon. Dalam makanan campuran itu kandungan Protein (P) tidak boleh melebihi 40 % dan kandungan bahan Carbo-hidrat (C) paling tidak tersedia 30 %.

Metode Simplek / Minimasi FORMULASI MATEMATIKA PERSOALAN ( IDENTIFIKASI) Minimumkan : Cost = $ 3 P+ $ 8 C Kendala : P + C = 200 pon P < 80 pon C > 60 pon P dan C > 0

Metode Simplek / SOLUSI Minimasi AWAL Merubah persamaan dan pertidaksamaan pada kendala - Untuk tanda Persamaan ( = ) harus ditambah dengan variabel Artifisial (A) - Untuk Pertidaksamaan”lebih besar sama dengan” ( > ) harus dikurangi variabel surplus (S) dan ditambah variabel Artifisial (A) Utk Kendala : P + C = 200 P + C + A 1 - Untuk Pertidaksamaan kurang sama dengan = 200 ( < ) harus P < 80 P + S 1 = 80 ditambah variabel slack (S) C > 60 C S 2 + A 2

Metode Simplek / Minimasi SOLUSI AWAL Koefisien teknologi (para meter) masing variabel , secara ekplisit harus ditulis, dengan ketentuan yang tidak ada pengaruhnya ditulis nol Nilai biaya untuk variabel Artifisial diberi nilai yang sangat besar (M), dan untuk variabel Secara lengkap : Slack/Surplus = 0 Minimize: Cost = 3 P + 8 C + 0 S 1 + 0 S 2 + MA 1 + MA 2 P + C + A 1 = 200 P + S 1 = 80 C S + A =

SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

DUALITAS ANTARA MAKSIMASI dan MINIMASI Untuk setiap permasalahan optimasi yang mempunyai kendala/pembatas, akan terdapat “permasalahan dual”, yaitu dengan memaksimasi atau meminimasi fungsi kendala dan fungsi tujuan sebelumnya menjadi kendalanya. Hubungan ini disebut sebagai dualitas (duality) Permasalahan yang pertama disebut dengan “primal” dan permasalahan kedua disebut dengan “dual”. Jadi misalnya, jika permasalahan primalnya adalah maksimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi dual, yaitu minimasi kendala dengan kendalanya adalah fungsi tujuannya. Demikian sebaliknya, jika permasalahan primalnya adalah menimasi tujuan dengan kendala tertentu,

Dengan demikian dalam sebuah pemodelan Pemrogra-man Linear, terdapat dua konsep yang saling berlawa-nan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual. Bentuk Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut: Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal) Koefisien fungsi tujuan …………… Nilai kanan fungsi batasan Maksimumkan Z (atau Y) ………… Minimumkan Y (atau Z) Batasan i ……………… Variabel yi (atau xi) Bentuk < ……………. yi > 0 Bentuk = ……………… yi > dihilangkan Variabel Xj ……………. . Batasan j

Contoh 1: Primal Minimumkan Z = 5 X 1 + 2 X 2 + X 3 Fungsi batasan: 1) 2 X 1 + 3 X 2 + X 3 20 2) 6 X 1 + 8 X 2 + 5 X 3 30 3) 7 X 1 + X 2 + 3 X 3 40 X 1 , X 2 , X 3 > 0 Dual Maksimumkan Z ’ = 20 Y 1 + 30 Y 2 + 40 Y 3 Fungsi batasan: 1) > > > 2 Y 1 + 6 Y 2 + 7 Y 3 < 5

Langkah-langkah membentuk Dual • Jika betuk primal adalah maksimasi, maka bentuk dual adalah minimasi, dan begitu sebaliknya. • Nilai sisi kanan dari kendala akan menjadi koefisien fungsi tujuan dalam bentuk Dual • Koefisien fungsi tujuan primal menjadi nilai sisi kanan dari kendala bentuk Dual. • Transpose koefisien fungsi kendala primal menjadi koefisien fungsi kendala Dual

CONTOH : ( Ek. Mikro)PRIMA DUAL L Maksimumkan : Q = L. C Kendala : 1200 = 30 L + 40 C L dan C optimum = ? Minimumkan : B = 30 L + 40 C Kendala : 300 = L. C L dan C optimum = ? Jawab Slope Isoquant = Slope Budget Line / MPC = PL/ PC C / L = 30/ 40 C = 3/ 4 L MPL 3 1200 = 30 L + 40 ( / 4 L ) 1200 = 60 L Jadi : L = 20 dan C = 15 Q max. = 20 x 15 = / d. L = 300 / L 2 = d. C PL / PC 30 / 40 L 2 = 400 Jadi : L = (400)1/2 = 20 dan C = 15

CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM) Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya murah adalah sbb. : Minimumkan : Z =150 X 1+100 X 2 +350 X 3 + 250 X 4 +320 X 5 Kendala : Protein : 8, 3 X 1 +246 X 2 +17, 2 X 3+ 5, 2 X 4+ 2, 01 X 5 > 70 Karbohidrat : 5 X 1 +26 X 2 +595 X 3 + 3, 1 X 4+ 4 X 5 > 3000 Lemak : 0, 4 X 1 +793 X 2 +4, 8 X 3 + 0, 6 X 4 +0, 16 X 5 > 800

JAWAB : Maksimumkan : Z’ = 70 Y 1+3000 Y 2+800 Y 3+40 Y 4+12 Y 5 Kendala : X 1 : 8, 3 Y 1+ 5, 0 Y 2 + 0, 4 Y 3 + 6, 0 Y 4 + 24, 9 Y 5 <150 X 2 : 246 Y 1+ 26 Y 2 + 793 Y 3 + 93 Y 4+ 243 Y 5 < 100 X 3 : 17, 2 Y 1+595 Y 2 +14 , 8 Y 3 +61, 6 Y 4+ 810 Y 5 < 350 X 4 : 5, 2 Y 1+ 3, 1 Y 2 + 0, 6 Y 3 + 6, 8 Y 4 + 16, 4 Y 5 < 250 X 5 : 2, 01 Y 1+ 4 Y 2 + 0, 16 Y 3 + 2, 05 Y 4+0, 57

SOLUS I

Soal N 0. 8 Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40. 000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50. 000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum.

SOAL N 0. 8 M K Kap Maximiz 4000 5000 e 0 0 Labor 10 8 <= 80 Kayu 6 2 <= 36 Demand 0 1 <= 6 Solution -> 3. 2 6 428. 00 0

Soal N 0. 12 Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan 1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing -masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-masing Rp 80. 000 dan Rp 50. 000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) masing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin.

BAHAN 1 Minimize 80000 ANTIBITIK 1 3 ANTIBITIK 2 1 ANTIBITIK 3 2 Solution-> 1 BAAN 2 50000 1 1 6 3 >= >= >= RHS 6 4 12 $230. 000, Dual -15000 -35000 0 Soal N 0. 12

Soal N 0. 12 Variable Status BAHAN 1 Basic BAHAN 2 Basic surplus 1 NONBasic surplus 2 NONBasic surplus 3 Basic Optimal Value (Z) Value 1 3 0 0 8 230000

Soal N 0. 12 Cj Iterati 1 Basic Variables 0 artfcl 1 0 artfcl 2 0 artfcl 3 Zj cj-zj Iteratn 2 0 artfcl 1 0 artfcl 2 50. 000 BHN 2 Zj cj-zj Iterati 3 80. 000 BHN 1 0 artfcl 2 50. 000 BHN 2 Zj cj-zj Iterati 4 80. 000 BHN 1 0 surplus 1 50. 000 BHN 2 Zj cj-zj Iterati 5 80. 000 BHN 1 0 surplus 1 50. 000 BHN 2 Zj cj-zj Iterati 6 80. 000 BHN 1 0 surplus 3 50. 000 BHN 2 80000 BHN 1 50000 BHN 2 0 artfcl 1 0 surplus 1 0 artfcl 2 0 surplus 2 0 artfcl 3 6 4 12 22 3 1 2 79. 994 6 1 1 6 49. 992 8 1 0 0 -1 0 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 1 -1 0 0 0 surplu 3 $ 0 0 -1 1 -1 4 2 2 6 2, 6667 0, 3333 79. 996, 66 3, 3333 0 0 1 50. 000 0 1 0 0 -1 0 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 1 -1 -0, 1667 1, 3333 -1, 3333 0, 1667 -0, 3333 1, 5 1 1 0 0 80. 000 0 1 50. 000 0 0, 375 -0, 25 -0, 125 1, 25 -0, 375 0, 25 0, 125 -0, 25 0 1 0 0 -1 0 1 -1 -0, 0625 -0, 125 0, 1875 1, 125 -1, 125 0, 0625 0, 125 -0, 1875 -0, 125 3 4 1 0 0 80. 000 0 1 50. 000 0 0 -1 0 1 0 0 0 1, 5 4 -0, 5 1 -1 -1, 5 -4 0, 5 0 0 -0, 25 -0, 5 0, 25 1 -1 0, 25 0, 5 -0, 25 0 0 3 4 1 1 0 0 1 0 -1 0 0 1, 5 4 -0, 5 -1, 5 -4 0, 5 -0, 25 -0, 5 0, 25 0, 5 -0, 25 289. 999, 99 80. 000 50. 000 0 0 -95. 000 7. 500, 00 -7. 500, 00 0 0 95. 000, 00 -7. 500, 00 1 0, 5 -2 -0, 5 2 0, 5 -0, 5 8 1, 5 0, 5 -8 -1, 5 0 -1 0 0 1 0 Quantity 1 8 3

KASUS UCP SD X 1 X 2 Kap. Sur. Klaim 16 12 > 450 30 Rusak 0, 5 1, 4 > 25 31 Kompt 1 1 < 40 0 C Solusi 64000 42000 0 40 TC = 168000

KASUS Giman Piza SD PI PS Kap Slack DM 1 1 < 150 17, 5 TM 4 8 < 800 0 Sales PI 1 < 75 0 < 125 62, 5 Sales PI 1 Laba 500 750 Solusi 75 62, 5 84375

KASUS Toko Perhiasan Sd K G Kap Emas 30 20 18 Platina 20 40 20 1 40 DG Slack Laba 300000 400000 Solusi 0, 4 0, 3 L=240000

KASUS Obat Sd B 1 B 2 Kap Sur A 1 3 1 >6 0 A 2 1 1 >4 0 A 3 2 6 > 12 8 TC Solusi 80000 50000 1 3 TC=230000

KASUS Usaha Ternak Min. TC = 60 A + 100 K Stc. Pr : 20 A + 40 K > 30 Lm : 2 A + 0, 5 K > 1 Prod. : 1 A + 1 K 78, 571 43 < 1 A, K Sd, > 0 A K kap Slack Pr 20 40 > 30 0 Lm 2 0, 5 >1 0 Prod 1 1 <1 0, 07 Solusi 0, 36 0, 57 TC 21, 43 57, 14 78, 57

KASUS Della & Pandu Mak. L = 2 C + 2 T Stc. K : 8 C+ 6 T < 120 Tom : 3 C + 6 T < 90 B : 3 C+ 2 T < 78, 571 43 45 Prod : T 1 C kap + 1 T Slack < Sd C K 24 8 6 < 120 C, T > 00 Tom 3 6 B 3 2 < 45 3 Prod 1 1 < 24 6 Solusi 6 12 Laba 12 24 < 90 36 0

KASUS Untitled Mak. L = 3 X + 2 Y Stc. A : 3 X+ 2 Y < 120 F : 1 X+ 2 Y < 80 Pro X : 1 X + 0 Y > 10 Pro YY: 0 Xkap + 1 Y S> Sd X A 10 3 2 F 1 2 Pro X 1 Pro Y - > 00 < 80 26, 67 - > 10 13, 33 1 > 10 0 Solusi 33, 33 10 Laba 20 100 < 120 X, Y 120