Peluang dan Pencacahan Ruang Sampel Pertemuan 4 Ruang

Peluang dan Pencacahan Ruang Sampel Pertemuan 4

Ruang contoh • Ruang contoh : Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan, dan dilambangkan dengan huruf S. contoh: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} adalah ruang contoh pada percobaan melempar sebuah dadu. S 1={(x, y) x= mata dadu pertama, y = mata dadu kedua} adalah ruang contoh pada pelemparan 2 dadu. S 2={0, 1, 2, 3} Adalah ruang contoh jumlah gambar pada pelemparan 3 coin

Pembentukan Ruang Contoh • Ruang contoh dapat diperoleh dengan : 1. Menuliskan notasi pembangun himpunan 2. Daftar semua kemungkinan hasil percobaan yang diperoleh menggunakan diagram pohon. • Ruang contoh dari eksperimen melempar 3 coin dan 2 dadu:

Contoh Pembentukan Ruang Contoh Percobaan melempar 3 coin: S 3={GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA} Percobaan melempar 2 dadu S 4 = {(1, 1), (1, 2), …, (6, 1), …, (6, 6)} atau 1 2 3 4 5 6 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 1) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Kejadian adalah Himpunanbagian dari ruang contoh. • Kartu remi: S = {wajik, waru hitam, hati, semanggi} A = {semanggi} adalah kejadian sederhana B = {kartu merah} = {wajik merah, hati merah} adalah kejadian majemuk

Probabilitas adalah perbandingan kardinalitas himpunanbagian (A) terhadap kardinalitas ruang contoh (N). Semakin besar nilai probabilitas kejadian, maka memiliki kemungkinan besar untuk terealisasi. P(A)= Peluang kejadian A n(A) = banyaknya kejadian A n(S) = banyaknya seluruh kejadian di mana A termasuk di dalamnya

Contoh • Berapakah peluang munculnya angka ganjil pada pelemparan sebuah dadu? Jawab: Angka ganjil pada satu lemparan adalah dadu 1, 3, dan 5. Maka n(A) =3 , n(S) =6 sehingga:

Pengolahan Kejadian • Gabungan (union) lebih dari satu kejadian Seringkali menggunakan kata atau dalam pernyataannya Contoh: Peluang munculnya angka 3 atau 4 pada pelemparan sebuah dadu: • Irisan dua atau lebih kejadian Seringkali menggunakan kata dan dalam pernyataannya Contoh: Peluang munculnya angka 3 dan 4 pada pelemparan dadu sebanyak dua kali secara berurutan adalah :

Pengolahan Kejadian: Kaidah Penjumlahan • Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka : Contoh: Peluang seorang mahasiswa lulus statistika adalah 2/3 dan peluang lulus matematika adalah 4/9. Peluang sekurangnya lulus salah satu pelajaran tersebut adalah 4/5. Berapa peluang lulus kedua pelajaran tersebut? Jawab:

Kaidah Penjumlahan • Bila A dan B adalah dua kejadian saling lepas, maka : contoh : Dari pelemparan 2 buah dadu, A adalah kejadian munculnya jumlah 7 dan B adalah kejadian munculnya angka 11. Kejadian A dan B adalah saling terpisah karena tidak mungkin terjadi bersamaan. Berapa peluang jumlah 7 atau jumlah 11? P(A) = 1/6 P(B)=1/18

Kaidah Penjumlahan • Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka : • Contoh: Peluang tidak munculnya angka 3 pada pelemparan sebuah dadu adalah:

Peluang Bersyarat • Adalah peluang dengan suatu syarat kejadian lain. Contoh : Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui suatu kejadian A telah terjadi. Dilambangkan : P(B|A) Didefinisikan : atau : Laki-Laki Bekerja Menanggur 300 50 Perempuan 30 Contoh : Populasi sarjana 200 berdasarkan jenis kelamin

Peluang Bersyarat • Kejadian-kejadian A = yang terpilih laki-laki B = yang terpilih telah bekerja Jawaban :

Peluang Bersyarat Peluang bersyarat untuk kejadian bebas, kejadian satu tidak berhubungan dengan kejadian lain. P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A) Contoh : Percobaan pengambilan kartu berturut dengan pengembalian. A : Kartu pertama As B : Kartu kedua skop Karena kartu pertama kemudian dikembalikan, ruang contoh untuk pengembalian pertama dan kedua tetap sama yaitu 52 kartu yang mempunyai 4 ace dan 13 sekop. Jawab : atau

Kaidah Penggandaan • Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka • Contoh : Pada sebuah kotak berisi 20 sekering di mana 5 diantaranya rusak A : kejadian bahwa sekering pertama rusak. B : kejadian bahwa sekering kedua rusak. : A terjadi dan B terjadi setelah A terjadi

Kaidah Penggandaan Peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan pertama adalah ¼ dan peluang mendapatkan sekering rusak pengambilan kedua tanpa pemulihan adalah 4/19. Jadi :

Kaidah Penggandaan • Bila dua kejadian A dan B bebas, maka Contoh: a) A dan B menyatakan bahwa mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap digunakan, maka: P(A) = 0. 98 p(B) = 0. 92 A dan B saling bebas maka b) Dua buah dadu dilempar kemudian ingin dicari peluang munculnya mata genap pada dua lemparan secara berurutan. A= muncul mata genap pertama P(A)=1/2 B= muncul mata genap kedua P(B)=1/2

Kaidah Bayes • Jika kejadian-kejadian B 1, B 2, …, Bk merupakan sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) tidak sama dengan 0 untuk i = 1, 2, …, k maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) tidak sama dengan 0, berlaku: untuk r = 1, 2, …, k

Kaidah Bayes untuk k=2 kejadian mutually exclusive peluang bersyarat

Kaidah Bayes Contoh • Tiga anggota organisasi telah dicalonkan sebagai ketua. Peluang B 1 terpililih adalah 0. 4. Peluang B 2 terpilih adalah 0. 1. Peluang B 3 terpilih adalah 0. 5. Seandainya B 1 terpilih peluang kenaikan iuran anggota 0. 5, B 2 dan B 3 masing-masing 0. 3 dan 0. 4. Berapa peluang B 1 terpilih setelah terjadinya kenaikan iuran anggota. Jawab: Tuliskan semua yang diketahui menggunakan simbol peluang yang tepat A: iuran anggota dinaikkan B 1 : B 1 terpilih P(B 1)=0. 4 B 2 : B 2 terpilih P(B 2)=0. 1 B 3 : B 3 terpilih P(B 3) =0. 5

Kaidah Bayes • P(B 1) P(A|B 1) = (0. 4)(0. 5) = 0. 20 • P(B 2) P(A|B 2) = (0. 1)(0. 3) = 0. 30 • P(B 3) P(A|B 3) = (0. 5)(0. 4) = 0. 20 = 0. 2+ 0. 3 + 0. 2 = 0. 7

Metode Pencacahan Ruang Contoh • • • Aturan perkalian Permutasi sebagian elemen Permutasi keseluruhan elemen Permutasi lingkaran Kombinasi

Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda dengan memperhatikan urutannya. Banyaknya susunan yang terbentuk dari keseluruhan n elemen adalah Pn = n! Banyaknya susunan yang terbentuk dari r elemen dari keseluruhan n elemen atau ‘Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia‘ yaitu : Contoh : Banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka {1, 2, 3} adalah: 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang dapat disusun dari angka {1, 2, 3} adalah 3!/1! = 6/1 = 6

Aturan Penggandaan Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n 1 cara, dan bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n 2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n 1 n 2 cara. Contoh : Ali mempunyai 4 celana panjang berbeda warna dan 5 kemeja berbeda warna. Berapakah banyaknya kemungkinan ia memakai pasangan celana panjang dan kemeja Jawab: n 1= 4, n 2 = 5 maka terdapat n 1 n 2= 4 x 5=20 cara

Permutasi Lingkaran • Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n 1)! contoh : Banyaknya susunan empat orang a, b, c, d yang duduk menghadap sebuah meja bundar adalah 4 -1! = 3 x 2 x 1 = 6

Permutasi Tumpukan Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n 1 di antaranya berjenis pertama, n 2 berjenis kedua, … nk berjenis ke-k adalah Contoh : Berapa banyak susunan berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias untuk dipasang di pohon yang terdiri atas 3 lampu merah, 4 kuning dan 2 biru? Jawab:

Kombinasi adalah urutan r unsur dari n unsur yang tersedia dengan tidak memperhatikan urutannya • Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda adalah : atau Contoh: Dari 4 orang anggota partai Republik dan 3 orang partai Demokrat, hitunglah banyaknya komisi yang terdiri atas 3 orang dengan 2 orang dari partai Republik dan 1 orang dari partai Demokrat yang dapat dibentuk.

Kombinasi Bayaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang partai Republik : Bayaknya cara memilih 1 orang dari 3 orang partai Demokrat: Dengan menggunakan aturan penggandaan,