Peluang atau probabilitas merupakan ukuran ketidakpastian dari suatu

Peluang atau probabilitas merupakan ukuran ketidakpastian dari suatu kejadian. Segala sesuatu yang ada di dunia ini mengandung ketidakpastian, seperti cuaca, hasil panen, keadaan ekonomi, harga pupuk, nilai tukar rupiah, dsb. Yang pasti hanyalah ketidakpastian itu sendiri.

Ruang contoh adalah semua kemungkinan hasil suatu percobaan. Beberapa percobaan suatu fenomena, akan menyusun variasi dalam hasil atau outcomenya. Setiap kemungkinan hasil dari suatu ruang contoh disebut unsur, anggota ruang contoh atau titik contoh.

Kejadian (event) adalah sebaran himpunan bagian dari ruang contoh. Kejadian sederhana, bila dapat dinyatakan sebagai sebuah himpunan yang terdiri dari satu titik contoh, sedang kejadian majemuk merupakan gabungan beberapa kejadian sederhana.

Contoh kejadian peristiwa bertemunya kita dengan seorang petani di desa Jatirejo makin tinggi frekuensi, makin besar peluang untuk bertemu dengan satu orang dari kelas itu Hubungan antara kejadian dan ruang contohnya dapat digambarkan dengan Diagram Venn.

Diagram Venn : kejadian dan ruang contoh S B A C

Operasi Himpunan berhingga himpunan yang banyak anggotanya dapat dihitung A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} n(A) = 6 n(A) = banyaknya anggota himpunan A

Operasi irisan Dua Himpunan Irisan (intersepsi) A∩B = { x I x Є A dan x Є B} Himpunan A irisan B merupakan himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan juga anggota B Contoh : A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , dan B = { 2, 3, 5, 7} Maka, A ∩ B = { 2, 3, 5}, dan n (A ∩ B) = 3

Operasi Gabungan Dua Himpunan Gabungan (Union) AUB = { x I x ε A atau x ε B} gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A atau anggota B. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , dan B = { 2, 3, 5, 7} Maka A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } , dan n (A U B) = 7.

Operasi Komplemen Dua Himpunan AC = { x I x bukan anggota A} P(A) + P(Ac) = 1 Maka diperoleh : P(komplemen A) = 1 – P(A), atau P(Ac) = 1 – P(A)

Operasi himpunan I S S A B D C∩D AUB IV C II S A B A A C III

Mencacah titik contoh Ruang contoh berisi titik-titik contoh. Kita akan dapat memecahkan masalah peluang dengan mencacah banyaknya titik dalam ruang contoh tanpa mendaftar dulu unsur-unsurnya. Seringkali kita mempunyai ruang contoh yang mengandung sebagai unsurnya, semua kemungkinan susunan kelompok benda. Atau mungkin kita bertanya berapa banyak urutan yang mungkin, bila kita mengambil 2 kupon lotre dari 20 kupon. Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda disebut permutasi.

Permutasi l Banyaknya permutasi n benda adalah n! (n faktorial) Contoh : huruf a, b, c mempunyai (3) (2) (1) = 6 permutasi l Huruf a, b, c, d mempunyai 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 l l Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda berbeda adalah n! n. Pr = -------(n - r)!

Contoh permutasi Berapa banyak cara sebuah regu basket dapat menjadwal 3 pertandingan dengan 3 regu lain, bila semuanya bersedia pada 5 kemungkinan tanggal berbeda. – Jawab : 5 P 3 = 5!/2! = 5. 4. 3 = 60 Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n - 1)!

Kombinasi l l Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui banyaknya cara mengambil r benda dari n benda tanpa memperhatikan urutannya. Pengambilan demikian disebut kombinasi. Kombinasi membuat sekatan dengan 2 sel. Satu sel berisi r benda yang dipilih dan sel yang lain berisi n - r benda yang tidak terpilih. Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda, adalah n! l C(n r) = -------r! (n - r)!

Peluang Suatu Kejadian Peluang suatu kejadian diperoleh dari frekuensi tiap kelas dibagi dengan total frekuensi. Peluang merupakan ukuran besarnya kemungkinan terjadinya suatu kejadian dan karenanya juga disebut frekuensi nisbi (relatif) ingat distribusi frekuensi

Contoh peluang Misal : n buah benda dapat diambil dengan peluang yang sama besar dan a buah benda dapat menimbulkan kejadian A, maka peluang terjadinya A. –P(A) = a/n – yaitu banyaknya benda yang menimbulkan kejadian A dibagi banyaknya semua benda yang mungkin terambil

Contoh peluang o Dalam satu kantong terdapat 2 kelereng hitam (H), 3 kelereng putih (P) dan 5 kelereng merah (M). A adalah kejadian terambil kelereng, H/P/M. n n n Peluang terambil kelereng hitam : P(H) = 2/10 Peluang terambil kelereng putih : P(P) = 3/10 Peluang terambil kelereng merah : P(M) = 5/10

Rumus-rumus Peluang 1. Peluang (A atau B) = P(AUB) = P(A) + P(B), A dan B saling asing, yaitu jika kejadian A dan B tidak mungkin terjadi secara bersamaan (Venn IV) 2. P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B), A dan B tidak saling asing, yaitu jika kejadian A dan B mungkin terjadi bersamaan (Venn III) 3. Contoh P(A) = 1/3, P(B) = ½, A∩B = {S} hitunglah berapa P(B∩AC)? ? q Karena B∩AC= B, maka P(B∩AC) = P(B) = ½

Contoh kejadian saling asing Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 bila dua dadu dilempar bersamaan ? Jawab : n(S) = 36 Misal A kejadian muncul jumlah 7 dan B kejadian muncul jumlah 11 n(A) = 6 dan n(B) = 2 Maka: p(AUB) = p(A)+p(B) = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9

Contoh kejadian tidak saling asing Berapa peluang muncul bilangan prima atau bilangan ganjil pada satu kali pelemparan sebuah dadu ? Jawab : n(S) = 6 Misal A adalah kejadian muncul bilangan prima dan B kejadian muncul bilangan ganjil n(A) = 3 dan n(B) = 3 dan n(A∩B) =2 Maka : p(AUB) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3

Peluang Bersyarat Peluang bersyarat terjadi karena adanya informasi tambahan. Sebagai contoh, kita melihat peluang seorang mahasiswa mendapat nilai A dalam ujian statistika. Bila diketahui bahwa seseorang yang kita lihat adalah laki-laki, mungkin peluang untuk mendapat nilai tersebut bisa bertambah atau berkurang.

Rumus peluang bersyarat Umumnya : P(B/A) ≠ P(B) dan P(A/B) ≠ P(A) Dalam hal P(B/A) = P(B) dan P(A/B) = P(A), maka A dan B disebut independen (saling bebas) Dua kejadian A dan B disebut independen, bila – P(A/B) = P(A) atau – P(B/A) = P(B) atau – P(A∩B) = P(A). P(B) Jadi : P(A∩B) = P(A). P(B) independen P(A∩B) = P(A). P(A/B) dependen

Contoh kejadian saling bebas Berapa peluang munculnya gambar dua kali pada sebuah mata uang yang dilempar dua kali ? Jawab : n(S) = 2 Misal A adalah kejadian muncul gambar {n(A) = 1} dan B adalah kejadian muncul angka {n(B) = 1} p(A) = ½; p(B) = ½ p(A∩B)= p(A). p(B) = ½ x ½ = ¼

Contoh kejadian tidak bebas Kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Jika diambil dua bola satu persatu tanpa pengembalian, berapa peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua? Jawab : n(S) = 5 pada pengambilan I dan 4 pada pengambilan II Misal A adalah kejadian muncul merah {n(A) = 2} dan B adalah kejadian muncul putih {n(B) = 3} p(A) = 2/5; p(B) = 3/4 p(A∩B)= p(A). p(B/A) = 2/5 x 3/4 = 3/10

Latihan diskusi 1. Match the proposed probability of A with the correct verbal description (the latter may used more than once) No Probability Verbal description 1 0 i. 2 -0, 3 ii. As much chance of occurring as not 3 0, 9 iii. May occur but by no means certain 4 0, 5 iv. An incorrect assignment 5 10. 0 v. Very little chance of happening 6 0, 05 vi. No chance of happening 7 0, 3 Very like happen

2. Probabaility and odds. The probability of an event is often expressed in term of odds. Specifically, when we say that the odds are k to w that an event will occur, we mean that probability of the event is k/(k+w). For instance, “the odds are 4 to 1 that candidate purple corn will win” mean that P(purple corn win) = 4/5 = 0, 8. Express the following statement in term of probability : – The odds are 2 to 1 that there will be fair weather tomorrow – The odds are 5 to 2 that the city council will delay the funding of new sports arena 3. Berapa banyak permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata cantik? handsome? Berapa banyak di antara permutasi itu yang dimulai dengan huruf "n"?

4. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang berbeda ditanam membentuk melingkar? 5. Berapa banyak cara menanam 3 pohon mangga, 4 jambu dan 2 nangka sepanjang batas kebun apabila kita tidak membedakan antara tanaman-tanaman yang sejenis. 6. Dari 4 apel manalagi, 5 rome beauty, dan 6 anna, berapa banyak kemungkinan terambil masing-masing jenis apel? 7. Suppose the sample space of an experiment has 6 flower colour outcomes. Two events are given as A = {k 1, k 5, k 6} and B = {k 2, k 4, k 5}. – Draw a Venn Diagram and exhibit the events A and B – Determine the compositions of the following events : Ac, AB, AUB, ABc and Ac. B