Pednka 14 Relace a algebry Marie Du Obsah

Přednáška 14: Relace a algebry Marie Duží

Obsah § Množiny (opakování) § Relace a zobrazení (opakování) – – – Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání § Algebry – Algebry s jednou operací – Algebry se dvěma operacemi – Svazy 9/20/2021 Relace a algebry 2

Teorie množin § Jazyk: • Speciální symboly: – Binární predikáty: (je prvkem), (je vlastní podmnožinou), (je podmnožinou) – Binární funkční symboly: (průnik), (sjednocení) § Cantor – naivní teorie (bez axiomatizace) § Dnes – poměrně mnoho formálních axiomatizací – žádná z nich není úplná § Příklady: von Neumann-Bernays-Gödel, Zermelo-Fränkel + axiom výběru 9/20/2021 Relace a algebry 3

Zermelo-Fränkel set-theory Axiom of extensionality: Two sets are the same if and only if they have the same elements. Axiom of empty set: There is a set with no elements. Axiom of pairing: If x, y are sets, then so is {x, y}, a set containing x and y as its only elements. Axiom of union: Every set has a union. That is, for any set x there is a set y whose elements are precisely the elements of x. Axiom of infinity: There exists a set x such that {} is in x and whenever y is in x, so is the union y U {y}. Axiom of separation (or subset axiom): Given any set and any proposition P(x), there is a subset of the original set containing precisely those elements x for which P(x) holds. Axiom of replacement: Given any set and any mapping, formally defined as a proposition P(x, y) where P(x, y) and P(x, z) implies y = z, there is a set containing precisely the images of the original set's elements. Axiom of power set: Every set has a power set. That is, for any set x there exists a set y, such that the elements of y are precisely the subsets of x. Axiom of regularity (or axiom of foundation): Every non-empty set x contains some element y such that x and y are disjoint sets. Axiom of choice: (Zermelo's version) Given a set x of mutually disjoint nonempty sets, there is a set y (a choice set for x) containing exactly one element from each member of x. 9/20/2021 Relace a algebry 4

Množiny § Ø – prázdná množina § Počet prvků množiny A: |A| Vztahy mezi množinami (axiomy): § Rovnost § Inkluze 9/20/2021 Relace a algebry 5

Množiny – množinové operace § Průnik § Sjednocení § Rozdíl § Symetrický rozdíl § Doplněk vzhledem k univerzu U 9/20/2021 Relace a algebry 6

Množiny – množinové operace § Potenční množina § Kartézský součin § Kartézská mocnina n A 1=A, A 0={Ø} 9/20/2021 Relace a algebry 7

Relace § n-ární relace mezi množinami A 1, A 2, . . . , An § Příklad: – D = množina možných dnů – M = množina místností VŠB – Z = množina zaměstnanců VŠB Ternární relace schůze (kdy, kde, kdo): 9/20/2021 Relace a algebry 8

Binární relace § Inverzí relace k r: § Složení (kompozice) relací 9/20/2021 Relace a algebry 9

Binární relace r na množina A je: § Reflexivní: x A: (x, x) r § Ireflexivní: x A: (x, x) r § Symetrická: x, y A: (x, y) r (y, x) r § Antisymetrická: x, y A: (x, y) r a (y, x) r x=y § Asymetrická: x, y A: (x, y) r (y, x) r § Tranzitivní: x, y, z A: (x, y) r a (y, z) r (x, z) r § Cyklická: x, y, z A: (x, y) r a (y, z) r (z, x) r § Souvislá: x, y A: x=y nebo (x, y) r nebo (y, x) r 9/20/2021 Relace a algebry 10

Binární relace Důležité typy binárních relací: § Tolerance – reflexivní, symetrická § Kvaziuspořádání – reflexivní, tranzitivní § Ekvivalence – reflexivní, symetrická, tranzitivní § (částečné neostré) uspořádání – reflexivní, antisymetrická, tranzitivní 9/20/2021 Relace a algebry 11

Binární relace Příklady: § Tolerance: – „být podobný“ na množině lidí, – „mít odlišný věk nejvýše o jeden rok“ na množině lidí, . . . § Kvaziuspořádání: – „množiny X a Y jsou v relaci, pokud |X| |Y|“ na množině množin, – relace dělitelnosti na množině celých čísel, – „nebýt starší“ na množině lidí, . . . § Ekvivalence: – „být stejně starý“ na množině lidí, – rovnost na množině přirozených čísel, . . . § Uspořádání: – relace inkluze, – relace dělitelnosti na množině přirozených čísel, . . . 9/20/2021 Relace a algebry 12

Zobrazení (funkce) § f A B se nazývá zobrazení Z množiny A do množiny B (parciální zobrazení), jestliže platí: ( x A, y 1, y 2 B) ( (x, y 1) f a (x, y 2) f y 1 = y 2 ) § f se nazývá zobrazení množiny A do množiny B (totální zobrazení, značíme f: A B), jestli platí: – f je zobrazení z A do B – ( x A)( y A) ( (x, y) f) § Je-li f zobrazení, (x, y) f píšeme jako f(x)=y 9/20/2021 Relace a algebry 13

Zobrazení (funkce) § Příklady: r A B s A B u = {(x, y) Z Z; x=y 2}, w = {(x, y) Z Z; y=x 2} t A B v = {(x, y) N N; x=y 2}, § r, u – nejsou zobrazení § s, v – parciální zobrazení z A do B, není totální § t, w – totální zobrazení 9/20/2021 Relace a algebry 14

Zobrazení (funkce) Zobrazení f: A B se nazývá § Injektivní (prosté), platí-li x 1, x 2 A, y B: (x 1, y) f a (x 2, y) f x 1 = x 2 § Surjektivní (zobrazení na), platí-li y B x A: (x, y) f § Bijektivní (vzájemně jednoznačné), je-li současně injektivní i surjektivní 9/20/2021 Relace a algebry 15

Zobrazení (funkce) § Příklady f: A B g: A B j: Z Z, j(n)=n 2, l: N N, l(n)=n+1, § § h: A B i: A B k: Z N, k(n)=|n|, m: R R, j(x)=x 3 f, j – nejsou injektivní ani surjektivní h, k – jsou surjektivní, nejsou injektivní g, l – jsou injektivní, nejsou surjektivní I, m – jsou injektivní i surjektivní bijekce 9/20/2021 Relace a algebry 16

Rozklady a ekvivalence § Rozklad na množině A je systém X = { Xi; i I } takový že: – Xi A pro i I – Xi Xj = Ø pro i, j I, i j – UX=A Xi – třídy rozkladu § Zjemněním rozkladu X = { Xi; i I } je systém Y = { Yj; j J }, jestliže: – j J, i I takové, že Yj Xi 9/20/2021 Relace a algebry 17

Rozklady a ekvivalence § Nechť r je relace ekvivalence na množině A, X je rozklad na A, pak: § Xr = {[x]r; x A} – rozklad na A (rozklad indukovaný ekvivalencí r, faktorová množina množiny A podle ekvivalence r) § r. X = {(x, y); x a y patří do stejné třídy rozkladu X} – ekvivalence na A (indukovaná rozkladem X) Příklad: § r Z Z; r = {(x, y); 3 dělí x-y } § X 1={…-6, -3, 0, 3, 6, …} § X 2={…-5, -2, 1, 4, 7, …} § X 3={…-4, -1, 2, 5, 8, …} 9/20/2021 Relace a algebry X={X 1, X 2, X 3} 18

Uspořádání § Je-li r relace uspořádání na A, pak se dvojice (A, r) nazývá uspořádaná množina § Značení (A, ) – Příklady: (N, ), (2 M, ) § Relace pokrytí Nechť (A, ) uspořádaná množina, (a, b) A a –< b („b pokrývá a“) jestliže a < b a c A: a c a c b – Příklad: (N, ), –< ={(n, n+1); n N} 9/20/2021 Relace a algebry 19

Uspořádání § Hasseovy diagramy – grafické znázornění – Příklad: (A, ), A={a, b, c, d, e} r = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)} id. A={(a, a): a A} 9/20/2021 Relace a algebry 20

Uspořádání Prvek a uspořádané množiny (A, ) se nazývá § Nejmenší: pro x A: a x § Největší: pro x A: x a § Minimální: pro x A: (x a x = a) § Maximální: pro x A: (a x x = a) § Příklad: – – Nejmenší: neexistuje Největší: neexistuje Minimální: a, e Maximální: d, c, e 9/20/2021 Relace a algebry 21

Uspořádání § Uspořádané množiny (A, ), (B, ) se nazývají izomorfní, existuje-li bijekce f: A B tak, že: x, y A: x y právě když f(x) f(y) § Jsou-li (A, ), (B, ) uspořádané množiny, nazývají se zobrazení f: A B izotonní, platí-li: x, y A: x y f(x) f(y) § Příklad: § f: N Z, f(x)=kx, k Z, k 0 je izotonní § g: N Z, g(x)=kx, k Z, k 0 není izotonní 9/20/2021 Relace a algebry 22

Uspořádání § Nechť (A, ) uspořádaná množina, M A, pak § LA(M)={x A; m M: x m } – Množina dolních závor (dolní kužel) § UA(M)={x A; m M: m x } – Množina horních závor (horní kužel) § Inf. A(M) – největší prvek množiny LA(M) – Infimum množiny M § Sup. A(M) – nejmenší prvek množiny UA(M) – Supremum množiny M 9/20/2021 Relace a algebry 23

Svaz - svazově uspořádaná množina § Množina (A, ) se nazývá svaz (svazově uspořádaná množina), platí-li: x, y A s, i A : s = sup({x, y}), i = inf({x, y}) § Značení: – x y = sup({x, y}) – x y = inf({x, y}) § Existuje-li sup(M) a inf(M) pro každou M A, nazývá se (A, ) úplný svaz 9/20/2021 Relace a algebry 24

Algebry Algebra (univerzální algebra) je dvojice: (A, FA): § A Ø – nosič algebry § FA = {fi: Ap(fi) A; i I} – množina operací na A § p(fi) – arita operace fi § Příklady: – (N, +2, 2) množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení – (2 M, , ) množina všech podmnožiny M s operacemi průnik a sjednocení – (F, , ) množina (F) formulí výrokové logiky s operacemi konjunkce a disjunkce 9/20/2021 Relace a algebry 25

Algebry s jednou binární operací Grupoid G=(G, ) § : G G G § Je-li množina G konečná, grupoid G se nazývá konečný § Řád grupoidu = |G| Příklady grupodů: § G 1=(R, +), G 2=(R, ), G 3=(N, +). . . 9/20/2021 Relace a algebry 26

Algebry s jednou binární operací § Konečný grupoid G=(G, ) lze popisovat pomocí Cayleyovy tabulky § Příklad: § G = {a, b, c} a b c a a b c b a c c c a a b § Např. : a b = b, b a = a, c c = b. . . 9/20/2021 Relace a algebry 27

Algebry s jednou binární operací Nechť G=(G, ) je grupoid G se nazývá: § Komutativní, platí-li v G: – ( a, b G)(a b = b a) § Asociativní, platí-li v G: – ( a, b, c G)((a b) c = a (b c)) § S jednotkovým (neutrálním) prvkem, platí-li v G: – ( e G a G)(a e = a = e a) § S nulovým (agresivním) prvkem, platí-li v G: – ( o G a G)(a o = o a) § S inverzními prvky, platí-li v G: – ( a G b G)(a b = e = b a) 9/20/2021 Relace a algebry 28

Algebry s jednou binární operací Příklady: § (R, ), (N, +) – komutativní i asociativní § (R, ), a b = (a+b) / 2 – komutativní, není asociativní § (R, ), a b = ab – není komutativní ani asociativní § (R, ) – 1 = jednotkový prvek, 0 = nulový prvek 9/20/2021 Relace a algebry 29

Algebry s jednou binární operací Nechť G=(G, G) je grupoid. H G se nazývá uzavřená (vzhledem k operaci G), platí-li: § ( a, b H)(a G b H) Grupoid H=(H, H) je podgrupoidem grupoidu G=(G, G), platí-li: § Ø H G je uzavřená § a, b H: a H b = a G b § Příklady: § (N, +N) je podgrupoidem (Z, +Z) § {0, 1, 2} není nosičem podgrupoidu (Z, +Z) 9/20/2021 Relace a algebry 30

Algebry s jednou binární operací § Nechť G 1=(G 1, 1), G 2=(G 2, 2). § G 1 G 2 =(G 1 G 2, ) – direktní součin G 1 a G 2, kde: § (a 1, a 2) (b 1, b 2) = (a 1 1 b 1, a 2 2 b 2) Příklad § G 1=(Z, +), G 2=(Z, ). § G 1 G 2 =(Z Z, ), § (a 1, a 2) (b 1, b 2) = (a 1 + b 1, a 2 b 2) § (1, 2)(3, 4) = (1+3, 2 4) = (4, 8) atd. 9/20/2021 Relace a algebry 31

Algebry s jednou binární operací § Nechť G =(G, G), H =(H, H) jsou grupoidy a h: G H zobrazení. § h se nazývá homomorfismus grupoidu G do grupoidu H, platí-li: § a, b G: h(a G b) = h(a) H h(b) Typy homomorfismů: § Monomorfismus – h je injektivní § Epimorfismus – h je surjektivní § Izomorfismus – h je bijektivní § Endomorfismus – H=G § Automorfismus – bijektivní a H=G Příklad: § (R, +), h(x)= -x , h je automorfismus (R, +) na sebe § h(x+y) = -(x+y) = (-x) + (-y) = h(x) + h(y) 9/20/2021 Relace a algebry 32

Algebry s jednou binární operací r je kongruence na grupoidu G=(G, G), pokud: § r je binární relace: θ G G § r je ekvivalence § (a 1, a 2), (b 1, b 2) r (a 1 G b 1, a 2 G b 2) r faktorový grupoidu G podle kongruence r: G/r=(G/r, G/r), [a]r G/r [b]r = [a G b]r Příklad § r Z Z; r = {(x, y); 3 dělí x-y } § r je kongruence na (Z, +) 9/20/2021 Relace a algebry [0] [1] [2] [1] [2] [0] [1] 33

Algebry s jednou binární operací Typy grupoidů: § Pologrupa – asociativní grupoid § Monoid – pologrupa s jednotkovým prvkem § Grupa – monoid s inverzními prvky § Abelova grupa – komutativní grupa Příklady: § (Z, –) – grupoid, není pologrupou § (N – {0}, +) – pologrupa, není monoidem § (N, ) – monoid, není grupou § (Z, +) – Abelova grupa 9/20/2021 Relace a algebry 34

Algebry se dvěma binárními operacemi Algebra (A, +, ·) se nazývá Okruh, platí-li: § (A, +) je komutativní grupa § (A, ·) je monoid § pro a, b, c A platí: a·(b+c)=a·b+a·c, (b+c)·a=b·a + c·a § Je-li |A|>1, nazývá se (A, +, ·) netriviální okruh. § Nechť 0 A je neutrální prvek grupy (A, +). Pak 0 se nazývá nulou okruhu (A, +, ·). § Nechť 1 A je jednotkový prvek monoidu (A, ·). Pak 1 se nazývá jednotkou (jedničkou) okruhu (A, +, ·). 9/20/2021 Relace a algebry 35

Algebry se dvěma binárními operacemi Okruh (A, +, ·) se nazývá těleso, platí-li: § (A - {0}, ·) je komutativní grupa Příklady: § (Z, +, ·) – okruh, není těleso § (R, +, ·), (C, +, ·) – tělesa 9/20/2021 Relace a algebry 36

Svaz – algebraická struktura § Svaz L = (L, , ) § : L L L, : L L L § x, y, z L platí: x x=x idempotence x y=y x komutativita x (y z) = (x y) z asociativita x (x y) = x 9/20/2021 Relace a algebry absorpce 37

Svaz – algebraická struktura Nechť (A, , ) je svaz, (B, ) je svazově uspořádaná množina § Definujme na A relaci : a b právě když a b = b § Definujme na B operace a a b = sup{a, b}, a b = inf{a, b}, Pak platí: § (A, ) je svazově uspořádaná množina, kde: sup{a, b}= a b, inf{a, b}= a b § (B, , ) je svaz § (A, , ) = (A, , ) 9/20/2021 Relace a algebry 38

Svaz – algebraická struktura Svaz (L, , ) je: § Modulární, platí-li x, y, z L : x z x (y z) = (x y) z § Distributivní, platí-li x, y, z L : x (y z) = (x y) (x z) § Komplementární, platí-li: Existuje nejmenší prvek 0 L, největší prvek 1 L x’ L : x x’ = 0, x x’ = 1 x’ se nazývá doplňkem (komplementem) prvku x 9/20/2021 Relace a algebry 39

Svaz – algebraická struktura § Každý distributivní svaz je modulární Příklad: § M 5 (diamant) – modulární svaz, který není distributivní § N 5 (pětiúhelník) – není modulární M 5 9/20/2021 Relace a algebry N 5 40

Svaz – algebraická struktura Svaz (L, , ) se nazývá Booleův svaz, je-li: § Komplementární, distributivní s nejmenším prvkem 0 L a největším prvkem 1 L Booleova algebra: § (L, , , –, 0, 1), – : L L je operace komplementu v L Příklad: § (2 A, , ), A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 9/20/2021 Relace a algebry 41