Pasivn odpory Zklady mechaniky 7 pednka Obsah pednky

Pasivní odpory. Základy mechaniky, 7. přednáška Obsah přednášky : smykové tření, tření v klínové drážce, čepové tření, vláknové tření, valivý odpor Doba studia : asi 1, 5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základním typy pasivních odporů a se způsobem řešení úloh s třením

Základy mechaniky, 7. přednáška Smykové tření je nejběžnějším a nejjednodušším případem pasivního odporu. Jeho mechanismus spočívá v tom, že drobné (mikroskopické) nerovnosti na tělese zapadají do drobných nerovností na podložce. Aby se těleso pohybovalo, musí být na překonání těchto nerovností vyvozena ve směru pohybu jistá tažná síla. Tato situace se vnějšímu pozorovateli jeví jako by proti směru pohybu působil jakýsi odpor - třecí síla pohyb Smykové tření se projevuje tak, že proti směru pohybu působí třecí síla T. Velikost této třecí síly je : T kde f je bezrozměrný koeficient tření, Fpř je přítlačná síla. Poslední pojem vyžaduje podrobnější vysvětlení.

Základy mechaniky, 7. přednáška Smykové tření Přítlačná síla Fpř je složka výslednice všech sil, působících na těleso, mající směr kolmý ke směru pohybu (složka ve směru pohybu tento pohyb urychluje nebo zpomaluje, tření však neovlivňuje). Podle zákona akce a reakce je tato přítlačná síla rovna normálové reakci N, působící opačným směrem Třecí síla pak je : Velikost koeficientu tření závisí zásadním způsobem na kvalitě (drsnosti) dotýkajících se povrchů. U hladkých leštěných povrchů může být f=0, 05 nebo i méně. U běžných povrchů typicky f=0, 2, u drsných povrchů např. f=0, 7. Speciálně vyvinuté materiály pak mohou mít koeficient tření f >1. Kromě toho koeficient tření závisí na řadě dalších faktorů - rychlosti pohybu, měrném tlaku na dotykových plochách, teplotě povrchů atd. Vliv těchto faktorů nelze jednoduše vyjádřit, není však zdaleka tak významný, jako vliv drsnosti povrchů. Proto se koeficient tření uvádí většinou pouze v závislosti na dotýkajících se materiálech resp. jejich drsnosti.

Základy mechaniky, 7. přednáška Smykové tření Z popsaného mechanismu smykového tření je zřejmé, že existence třecí síly (T=f·N) je bytostně spjata s pohybem. (Máme na mysli relativní pohyb jednoho tělesa vůči druhém, s nímž je v kontaktu. ) Rozebereme nyní opačnou situaci, kdy k pohybu nedochází. Jestliže se těleso po podložce nepohybuje, je vazba mezi nimi pevná (chová se stejně, jako kdyby těleso bylo přilepeno). Jako taková přenáší jak reakci ve směru kolmém k podložce (N), tak reakci ve směru rovnoběžném s podložkou (R). Velikost těchto reakcí se vypočítá z rovnic rovnováhy : Jak je zřejmé, velikost obou reakcí (N ani R) nijak nesouvisí s koeficientem tření. R není třecí síla ale reakce. Protože však těleso není přilepené, nýbrž volně leží, nemůže být reakce R libovolně velká. Aby nedošlo k prokluzu, musí být splněna podmínka neproklouznutí : Je-li tato podmínka splněna, k prokluzu nedojde. Není-li splněna, začne těleso po podložce klouzat. Proti směru pohybu pak působí třecí síla :

Základy mechaniky, 7. přednáška Smykové tření Tato „dvojakost“ projevu tření se týká všech případů pasivních odporů, jež budou popsány níže. Shrňme ještě jednou. Zabýváme-li se třením, musíme vždy uvažovat dvě situace : těleso prokluzuje po podložce těleso leží na podložce bez prokluzu Proti směru pohybu působí třecí síla, jež pohyb brzdí. Rovnoběžně s podložkou působí reakce, jejíž velikost se vypočte z rovnice rovnováhy. Kolmo k podložce působí normálová reakce, jejíž velikost je dána silovou rovnováhou. Aby nedošlo k prokluzu, musí být splněna podmínka neproklouznutí :

Základy mechaniky, 7. přednáška Smykové tření Řešení úloh se smykovým třením demonstrujeme na příkladu. Těleso o hmotnosti m=1 kg leží na šikmé podložce, skloněné o úhel a=22º. Koeficient tření mezi tělesem a podložkou je f=0, 3. Na těleso dále působí vodorovná síla F. Určete velikost této síly aby : a) těleso klouzalo konstantní rychlostí dolů; b) těleso zůstalo v klidu (bez pohybu) na podložce; c) těleso se pohybovalo konstantní rychlostí vzhůru. a) Pohybuje-li se těleso rovnoměrně dolů, působí proti směru pohybu třecí síla : Velikost normálové reakce je dána rovnicí rovnováhy ve směru kolmém k podložce : Má-li se těleso pohybovat rovnoměrně (konstantní rychlostí), musí nastat rovněž rovnováha sil ve směru podélném - ve směru nakloněné roviny : Z uvedených rovnic vyplývá brzdná síla : a dále : pohyb T F N a G

Základy mechaniky, 7. přednáška Smykové tření Řešení úloh se smykovým třením demonstrujeme na příkladu. Těleso o hmotnosti m=1 kg leží na šikmé podložce, skloněné o úhel a=22º. Koeficient tření mezi tělesem a podložkou je f=0, 3. Na těleso dále působí vodorovná síla F. Určete velikost této síly aby : a) těleso klouzalo konstantní rychlostí dolů; b) těleso zůstalo v klidu (bez pohybu) na podložce; c) těleso se pohybovalo konstantní rychlostí vzhůru. b) Nebude-li se těleso pohybovat, bude se vazba mezi ním a podložkou jevit jako pevná, přenášející kromě normálové reakce N též podélnou reakci R (rovnoběžnou s podložkou). Velikost obou reakcí (není přímo závislá na koeficientu tření !) je dána rovnicemi rovnováhy : bez pohybu R F N a G Nemá-li dojít k prokluzu tělesa po podložce, musí být splněna podmínka neproklouznutí : neboli : Pokud by však síla F byla příliš velká, nastal by pohyb směrem vzhůru.

Základy mechaniky, 7. přednáška Smykové tření Řešení úloh se smykovým třením demonstrujeme na příkladu. Těleso o hmotnosti m=1 kg leží na šikmé podložce, skloněné o úhel a=22º. Koeficient tření mezi tělesem a podložkou je f=0, 3. Na těleso dále působí vodorovná síla F. Určete velikost této síly aby : a) těleso klouzalo konstantní rychlostí dolů; b) těleso zůstalo v klidu (bez pohybu) na podložce; c) těleso se pohybovalo konstantní rychlostí vzhůru. c) Pohybuje-li se těleso rovnoměrně vzhůru, působí opět proti směru pohybu třecí síla : Normálová reakce je stále beze změny : Rovnice rovnováhy ve směru podélném (ve směru nakloněné roviny) však má tvar : Tlačná síla pak je : pohyb F N a G T

Základy mechaniky, 7. přednáška Smykové tření Řešení úloh se smykovým třením demonstrujeme na příkladu. Těleso o hmotnosti m=1 kg leží na šikmé podložce, skloněné o úhel a=22º. Koeficient tření mezi tělesem a podložkou je f=0, 3. Na těleso dále působí vodorovná síla F. Určete velikost této síly aby : a) těleso klouzalo konstantní rychlostí dolů; b) těleso zůstalo v klidu (bez pohybu) na podložce; c) těleso se pohybovalo konstantní rychlostí vzhůru. Zjištěné výsledky lze vyjádřit graficky :

Základy mechaniky, 7. přednáška Smykové tření V souvislosti se smykovým třením je třeba definovat ještě jeden pojem. Uvažujme těleso, ležící na vodorovné podložce (s koeficientem tření f). Na těleso působí šikmá síla F, skloněná od svislice pod úhlem a. (Tíhovou sílu v tomto idealizovaném případě neuvažujeme. ) F F a a f f N N Jednoduchým rozborem dospějeme k závěru, že je-li : těleso se nebude pohybovat. To nás vede k tomu, že definujeme tzv. třecí úhel f : Pak platí, že je-li : Je-li naopak : těleso se nebude pohybovat. těleso se dá do pohybu.

Základy mechaniky, 7. přednáška Tření v klínové drážce Se smykovým třením se kromě základní formy, popsané na předchozí přednášce, setkáváme v různých modifikacích. Jednou z těchto modifikací je klínové těleso, uložené v klínové drážce. Vrcholový úhel tělesa i drážky je 2·a. Těleso je do drážky vtlačováno přítlačnou silou Fpř, kolmo k dotykovému povrchu tělesa a drážky působí normálové reakce N (po jedné z každé strany). Vlivem tažné síly Ftah se těleso pohybuje ve směru drážky. Z rovnice rovnováhy pro svislý směr vyplývá vztah pro normálovou reakci : Proti směru pohybu působí na dvou dotykových plochách dvě třecí síly : Má-li se těleso pohybovat rovnoměrně, musí být tyto dvě třecí síly vyrovnány tažnou silou : Srovnání tohoto výrazu s řešením smykového tření v základní podobě nás vede k tomu, že definujeme tzv. koeficient tření v klínové drážce : Zavedením této substituce (v níž f vyjadřuje skutečné tření, úhel a pak vliv geometrie) převádíme tření v klínové drážce na základní model smykového tření - proti směru pohybu působí třecí síla :

Základy mechaniky, 7. přednáška Čepové tření Uvažujeme těleso, uložené čepem v třecím ložisku (kruhový otvor), otáčející se jistým směrem. Těleso je zatíženo přítlačnou silou Fpř, proti směru pohybu působí třecí síla T. Fpř pohyb f T rč f N Dotykový bod čepu v ložisku se rotací posune mimo nositelku přítlačné síly (čep se po kruhové podložce „vyšplhá“ poněkud vzhůru). Vlivem toho jak normálová reakce N, tak třecí síla T působí šikmo pod úhlem f. Rovnice rovnováhy pro směr normály a tečny jsou : Kromě toho samozřejmě : Dosazením rovnic rovnováhy do vztahu pro třecí sílu dostáváme velmi logický výsledek protože přítlačná síla samozřejmě působí vůči normále v dotykovém bodě pod třecím úhlem.

Základy mechaniky, 7. přednáška Čepové tření Uvážíme-li dále vztahy mezi goniometrickými funkcemi : Fpř je třecí síla : pohyb Mč Proti směru rotace tedy působí moment čepového tření : kde rč je poloměr čepu. Poznámka : Při malých hodnotách koeficientu tření se jmenovatel ve výrazu pro moment čepového tření blíží jedničce. Zjednodušíme-li jej na prosté Mč = Fpř·f·rč, dopouštíme se při f = 0, 1 chyby 0, 5 %. Při f = 0, 2 je chyba již 2 % a při f = 0, 5 chyba narůstá na 12 %. Připomeňme „dvojakost“ projevu tření : Má-li těleso zůstat v klidu (bez otáčení), musí být splněna podmínka neproklouznutí - moment všech sil ke středu rotace musí splňovat nerovnost :

Základy mechaniky, 7. přednáška Vláknové tření Přes pevnou zaoblenou podložku je přehozeno vlákno, lano, popruh nebo jiný druh ohebného materiálu. Na obou stranách je popruh napínán tažnými silami Fvelká a Fmalá. Tažná síla Fvelká, působící ve směru pohybu, však musí být větší, protože překonává tření. Bez odvození (jež spočívá v integraci třecích sil na elementárních obloucích) uvedeme : kde f je koeficient tření mezi popruhem (vláknem, lanem) a podložkou, a je tzv. úhel opásání, jež se dosazuje v obloukové míře (radiány). f Přes trámec kruhového průřezu je přehozeno lano, na jehož konci je zavěšeno břemeno o hmotnosti m = 0, 102 kg (tíha G = m·g = 1 N). Koeficient tření mezi lanem a trámcem je f = 0, 1. pohyb Má-li být břemeno rovnoměrně (konstantní rychlostí) zvedáno, musí být lano taženo silou F, jež překonává jak tíhu břemene, tak tření : F G protože úhel opásání je a = 180º = p = 3, 14 rad.

Základy mechaniky, 7. přednáška Vláknové tření Má-li být břemeno naopak rovnoměrně spouštěno dolů, musí být silou F přibrzďováno. Tření, které má vždy brzdný účinek, v tomto případě „spolupracuje“ se silou F : f Bude li velikost síly v uvedeném rozmezí : pohyb G F zůstane soustava v klidu. Pro zajímavost ještě uvedeme stejné výsledky za situace, kdy lano je otočeno 1, 5 × dokola. Úhel opásání pak je a = 540º = 3·p = 9, 43 rad. f f pohyb Bude li velikost síly v rozmezí : G F pohyb F zůstane soustava v klidu. G Jak je zřejmé, síla F, potřebná k překonání tíhy a tření (při pohybu břemene vzhůru), resp. k ubrzdění tíhy (při pohybu dolů) je podstatně větší, resp. menší, než bylo-li lano prostě přehozeno.

Základy mechaniky, 7. přednáška Valivý odpor S valivým odporem se setkáme všude tam, kde se povrch (obvod) tělesa valí po podložce. V důsledku poddajnosti materiálů dochází k tomu, že materiál valení podložky je jistým způsobem „hrnut“ v jakési „vlně“ před tělesem. Rovněž těleso se poněkud zploští. Následkem těchto deformací je skutečnost, že normálová reakce N (jež je v silové rovnováze se zatížením přítlačnou silou Fpř) nepůsobí na stejné nositelce jako tato přítlačná síla, nýbrž o rameno d před ní. Fpř Vyvolává tedy brzdný moment, jenž působí proti směru valení Ftah r MB d N Má-li být těleso udrženo v pohybu, musí být taženo silou Ftah, jež na rameni r vyrovnává brzdný moment : Velikost této tažné síly tedy je : kde r je poloměr kruhového obvodu a d je tzv. rameno valivého odporu. Jak je zřejmé, mechanismus valivého odporu je zcela jiný, než mechanismus smykového tření. Přesto se často uvádí v literatuře jako „valivé tření“. Zavedeme-li totiž substituci kde fv nazveme koeficientem valivého odporu (valivého tření), bude se valivý odpor navenek projevovat stejně jako smykové tření - abychom těleso udrželi v pohybu, musíme jej táhnout silou :

Základy mechaniky, 7. přednáška Obsah přednášky : smykové tření, tření v klínové drážce, čepové tření, vláknové tření, valivý odpor