Parte II GUIAS DE ONDAS Captulo 2 2

Parte II

GUIAS DE ONDAS Capítulo 2. 2 Guías de Ondas Circulares. z a r 4 Solución de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas, para los campos: y x II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo i) iii ) donde: Ecuación escalar de Helmholtz II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II II * La ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas, está dada por: (*) 7 Usando el método de S. V. La solución se asume de la forma: R(r) ( ) Z(z) 7 Sustituyendo en (*) y dividiendo por se tiene:

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II (**) (a) Dado que el lado derecho de (**) es una cte. , entonces, la suma de los términos del lado izquierdo debe también serlo. En particular el término (a) es una cte. 1) Constante de propagación en la guía

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II à La solución general de (1) es: à Reemplazando (1) en (**), arreglando y multiplicando por r 2 obtenemos: (b) Con el mismo raciocinio anterior, ahora (b) debe ser una cte. (n 2)

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 4 Cuya solución es: Hay una onda estacionaria en el sentido azimutal ( ). Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II 8 Análogamente al caso anterior, reemplazando -n 2 en (**) y multiplicando por R, se obtiene: Ecuación de Bessel de orden n donde Ecuación característica de Bessel

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 4 Para el caso de las GG. OO. sin pérdidas, la ecuación anterior, se reduce a: ; g = g+j g 7 La solución a la ecuación de Bessel es de la forma: R (r ) = Cn Jn ( k. C r ) + Dn Nn ( k. C r ) función de Bessel de orden n del primer tipo que representa una onda estacionaria (r < a). función de Bessel de orden n del 2º tipo que representa una onda estacionaria (r > a). II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES La solución total para la ecuación de Helmholtz R Z = [Cn Jn (k. C r) + Dn Nn (k. C r) Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2. 2. 1 Aplicando las condiciones de borde en la guía de ondas. En r = 0, kc r = 0 Nn Dn = 0 Sobre el eje z, en r = 0 el campo debe ser finito Cn Jn (k. Cr) II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Además, 0 Jn (k. Cr) Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2. 2. 2 Modos TEnp n: número de ciclos de en dirección , en 2 radianes. p: número de ceros del campo E en dirección radial, excluyendo el origen. Obs: Para los modos TEnp Ez =0 existe Hz 0 II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo La ecuación de onda es solución para Hz Hz= Hoz Jn (kcr) Solución a la cual se aplica condiciones de borde en el interior de la guía. E =0 : campo tangencial Hr =0 : campo radial r=a II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 4 Considerando las ecuaciones de Maxwell * Desarrolladas en coordenadas cilíndricas: Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES * Considerando EZ= 0 y Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 7 Las condiciones de borde implican: E = 0 en r = a Hr = 0 en r = a * Forzando esta condición en la expresión para Hz J’n (kca) = 0. Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II Obs: J’n (kca) = J’n (kcr) 2 Esto se satisface para la secuencia infinita de J’(kca), es decir, los máximos y mínimos de las curvas J(kca). 4 Así, los valores permisibles de kc pueden ser escritos como: X'np = k. C a Ceros de J’n (kca) para los modos TEnp (Tabla 4 -2 -1 de Liao)

Capítulo GUIAS DE ONDAS CIRCULARES II Ceros de J’n(kca) para los modos TEnp n 0 1 2 3 4 5 1 3. 832 1. 841 3. 054 4. 201 5. 317 6. 416 2 7. 016 5. 331 6. 706 8. 015 9. 282 10. 520 3 10. 173 8. 536 9. 696 11. 346 12. 682 13. 987 4 13. 324 11. 706 13. 170 ----- p (Tabla 4 -2 -1 de Liao)

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II * Reemplazando adecuadamente, las expresiones para el campo E. M. son: Ez = 0

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo donde Impedancia de onda Obs: 2 Con kc se puede calcular fc del modo de propagación. 2 Con el valor más pequeño de la tabla se obtiene fc del modo de dominante, que en este caso es el modo TE 11. 2 Por lo general, se opera en el modo de dominante. II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo En el rango de frecuencia de corte del modo dominante y la frecuencia de corte del modo inmediatamente superior. En este caso: TE 11 TE 21 f 2 Si se trabaja con una frecuencia menor a la indicada por el modo dominante ( fc ), no existe transmisión. Modo evanescente II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo o Parámetros de importancia para los Modos TEnp a) Constante de fase: b) Frecuencia de corte: II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES c) Velocidad de fase: donde d) Longitud de onda: Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo e) Impedancia de onda en la guía: donde Obs. : h 0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío. II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2. 2. 3 Modos TMnp Obs: 2 El análisis es equivalente al caso anterior. * Debido a que en los modos TMnp no existe componente de campo magnético en dirección de propagación Hz =0 EZ 0 II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 4 Aplicando condiciones de borde, se obtiene: Xnp = k. C a Jn (k. C a) = 0 Ceros de Jn (k. Ca) para los modos TMnp (Tabla 4 -2 -2 de Liao) Las raices de Jn (Xnp) son infinitas. Capítulo II

Capítulo GUIAS DE ONDAS CIRCULARES II Ceros de Jn(kca) para los modos TMnp n 0 1 2 3 4 5 1 2. 405 3. 832 5. 136 6. 380 7. 588 8. 771 2 5. 520 7. 106 8. 417 9. 761 11. 065 12. 339 3 8. 645 10. 173 11. 620 13. 015 14. 372 ----- 4 11. 792 13. 324 14. 796 ----- p (Tabla 4 -2 -2 de Liao)

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 4 De las ecuaciones de Maxwell y considerando Hz = 0 y Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Hz = 0 Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II donde Impedancia de onda Obs: 2 Para estos modos, el modo dominante es el modo TM 01. 2 Pero como TE 11 es menor que TM 01, . El modo dominante para guías de onda circulares es el modo TE 11.

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo o Parámetros de importancia para los Modos TMnp a) Constante de fase: b) Frecuencia de corte: II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES c) Velocidad de fase: donde Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II d) Longitud de onda: e) Impedancia de onda en la guía: Obs. : h 0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II 2. 2. 4 Potencia Transmitida en GG. OO. circulares. Obs: 2 Con respecto a pérdidas de potencia. Idem a GG. OO. Rectangulares.

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II 2. 2. 5 Analogía entre GG. OO. y Líneas de Tx. TEM. Existe una analogía entre las intensidades de campo E y H de las ondas TE-TM y los voltajes y corrientes de líneas de Tx. , adecuadamente terminados (sin reflexión). 4 Recordando las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas rectangulares:

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo * Para las ondas TM Hz= 0 Existe Ez O bien, ( x E)z = 0 Es decir: 4 En el plano xy el campo eléctrico no tiene rotacional. II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 4 El voltaje a lo largo de un circuito cerrado es cero. El campo eléctrico en este plano puede expresarse como el gradiente de algún potencial V. Potencial II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II 4 Ahora, si tomamos la ecuación y se considera Hz = 0, queda: y como queda

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 7 Intercambiando el orden de derivación donde jw Ez : : Densidad de corriente longitudinal de desplazamiento [A/m 2] [m 2] II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II ( ) Corriente en la dirección z. * Esta ecuación es similar a la ecuación de la línea de Tx. ; Y : Admitancia paralela.

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II 4 Ahora, si consideramos la ecuación y se reemplaza nuevamente Hy, se obtiene: à Arreglando se logra:

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES * Esto se reemplaza en * Cambiando el orden de derivación Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II * Arreglando ( )

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo donde : Impedancia m e/kc 2 Obs: 2 Las ecuaciones ( ) y ( ) son las ecuaciones diferenciales de una línea de Tx. sin pérdidas. II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2. 2. 6 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TM. m e/kc 2 e II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo a) Modos TE ( Ez= 0): * En este caso ( x H)z = 0 * Por tanto: 4 No existe rotacional para H en el plano xy. 4 El voltaje magnético a través de un camino cerrado es nulo. II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Es posible definir en el plano xy un potencial escalar magnético U. * Tomando la ecuación y considerando Ez = 0 Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES * sabiendo que: Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo * Cambiando el orden de derivación se logra: Dimensión de corriente. Tiene dimensiones de voltaje II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES * Considerando la ecuación y reemplazando: Capítulo II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo * Reemplazando en y cambiando el orden de derivación : 4 Se obtiene: II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo 2. 2. 7 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TE. m m e m /kc 2 II

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II 2. 2. 8 Configuración de campos EM y métodos de excitación de modos en GG. OO. Circulares.

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Capítulo II

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