Parmetros Geomtricos de Cmeras Realidade Aumentada Cooperativa Marcelo

Parâmetros Geométricos de Câmeras Realidade Aumentada Cooperativa Marcelo Gattass

Parâmetros da câmera • Extrínsecos ou externos – Localização e orientação da câmera • Intrínsecos ou internos – Definem a relação entre um ponto em coordenadas da câmera e o pixel Calibração de câmeras: estimativas destes parâmetros.

Câmera segue um modelo simples Câmera imagem caixa pinhole filme raios de luz Projeção cônica plano de projeção centro de projeção objeto

Objetos distantes aparecem pequenos

Linhas paralelas se encontram

Notação y' yc zc p’ xc x'

(X, Y, Z)T (x’, y’)T (xim, yim)T yim yc y 0 oc xc x' x 0 f xim y' vista lateral yc zc eixo óptico fovy oc f h pixels zc y' oy x' ox w pixels xim

(xim, yim)T (x’, y’)T yim y’ sx p' sy 3 oy 2 o 1 0 0 1 2 ox x’ 3 4 5 xim Verificando:

(X, Y, Z)T (xim, yim)T

Parâmetros intrínsecos com cisalhamento

Parâmetros intrínsecos com distorção radial • Projeção cônica, distância focal: f • Transformação câmera para imagem: • Deformação radial:

Um caso mais simples valor médio Projeção ortigráfica seguida de escala

Parâmetros extrínsecos zc xc yc Pc t zw Outras notações: xw Pw yw

Parâmetros extrínsecos • Translação –Tx, Ty, Tz (3 g. l. ) • Rotação (3 g. l. )

Formulações para rotação 90° + 90°

Velocidade de rotação B’ B’ B A B

Re-escrevendo de forma matricial

Produto vetorial aplicado 2 vezes

Rotações finitas em torno dos eixos cartesianos y qy z qz qx x

Rotações não comutam.

Yaw-Pitch-Rol x z y

ngulos de Euler • Transforma x-y-z em x’-y’-z’ em 3 passos Rotação de f em torno eixo z Rotação de q em torno do eixo x Rotação de y em torno do eixo z’

ngulos de Euler • Transforma x-y-z em x’-y’-z’ em 3 passos Rotação de f em torno eixo z Rotação de q em torno do eixo x Rotação de y em torno do eixo z’

z y x

Composição com sistema local móvel y y, y. L R y. L y TL x. L x x, x. L p 3= R p e p 2 = TL p 3 p 2 = R T R-1 R p y ou p 2 = R T p y T p 1 = T p e p 2 = R p 1 x. L x y x p 2 y. L R x x p 2 = R T p

ngulos de Euler na ordem x, y, z z qz y x qx qy x y y x

Problemas com ângulos de Euler: Gimbal lock

ngulos de Euler Gimbal lock z z z qz y x qx qy=90 o x y y x

Interpolação não gera posições “entre”

Algebra da rotação em torno de um eixo unitário ê z y x

Rotação em torno de um eixo ê z y x

A coluna da matriz é a transformada dos vetores da base

Matriz da rotação em torno de um eixo ê z y x

Matriz de rotação em torno de um eixo

Demonstração de:

Transformações em 3 D (rotação em torno de um eixo qualquer) m 11 y’ m 21 m 31 0 z’ z = 1 y x x’ m 12 m 13 0 m 22 m 23 0 m 32 0 m 33 0 0 1 m 11 = ex 2 + cosq (1 - ex 2) m 12 = exey(1 -cosq ) - ez sen q m 13 = ezex(1 -cosq ) + ey sen q m 21 = exey(1 -cosq ) + ez sen q m 22 = ey 2 + cosq (1 - ey 2) m 23 m 31 m 32 m 22 = eyez(1 -cosq ) - ex sen q = exez (1 -cosq ) - ey sen q = eyez(1 -cosq )+ ex sen q = ez 2 + cosq (1 - ez 2) x y z 1

Fórmula de Rodrigues 1

Fórmula de Rodrigues 2

Quatérnios e rotações Dada uma rotação definida por um eixo ê e um ângulo construímos o quatérnio unitário: Dado um ponto qualquer p do R 3 construímos o quatérnio: Calculamos o produto:

Demonstração …

Modelo de câmera do livro

Linearização do problema • Neglecting radial distortion

Casos particulares

Problema oc fovy 1000 480 vista lateral yc zc yim y' oy ox w pixels x' xim