Parma 27 28 settembre 2007 EQUAZIONI INTEGRALI RECENTI

Parma, 27 -28 settembre 2007 EQUAZIONI INTEGRALI: RECENTI SVILUPPI NUMERICI E NUOVE APPLICAZIONI P. Burghignoli♪, F. Frezza♪, A. Galli♪, L. Pajewski☼ e G. Schettini☼ Università degli Studi “Roma Tre” di Roma, Dipartimento di Elettronica Applicata ☼ Università “Sapienza” di Roma, Dipartimento di Ingegneria Elettronica ♪ pajewski@uniroma 3. it

● Sommario v Metodo degli elementi al contorno (BEM) e discretizzazione delle equazioni integrali con il metodo di Nyström v Sviluppo di nuove formule di quadratura per triangoli planari, da impiegare in presenza di spigoli Ø Derivazione delle formule Ø Calcolo di punti e pesi di quadratura per casi significativi Ø Verifica dell’accuratezza numerica delle formule v Applicazione delle nuove formule alla soluzione di problemi di diffrazione da oggetti 3 D v Conclusioni

Metodo degli elementi al contorno (Boundary Element Method , BEM )

v Metodo degli elementi al contorno l Procedura numerica basata sulla rappresentazione integrale del campo elettromagnetico nel dominio spaziale l Approccio che riduce la determinazione delle grandezze e. m. in un dominio 3 D a quella delle stesse sulla frontiera del dominio l Analisi di strutture composte da più regioni omogenee occupate da materiali dielettrici e conduttori l Incognite delle equazioni integrali al contorno = correnti equivalenti elettriche e magnetiche definite sulle superfici di interfaccia tra mezzi diversi l Le correnti equivalenti sono legate alle componenti tangenziali dei campi magnetico ed elettrico l Le componenti tangenziali dei campi possono divergere in prossimità di uno spigolo di un corpo dielettrico e conduttore

v Metodo di Nyström l Discretizzazione delle equazioni integrali Ø rappresentazione delle superfici di interfaccia mediante griglie di celle triangolari Ø uso di formule di quadratura per approssimare numericamente gli integrali di superficie Ø imposizione della validità dell’equazione nei punti di integrazione della formula di quadratura

Sviluppo di nuove formule di quadratura per triangoli planari da impiegare in presenza di spigoli

v Derivazione delle formule l Per costruire una formula di ordine ℓ, è necessario calcolare coordinate e fattori peso di un opportuno numero di punti di integrazione, in modo che la formula integri esattamente funzioni polinomiali di grado ≤ ℓ l Numerose formule sono state derivate per integrare funzioni definite su domini triangolari. In ambito elettromagnetico si impiegano comunemente le formule di Gauss-Legendre, spesso si fa uso di quella di Radon ( quinto ordine, sette punti, tipo aperto, integra esattamente polinomi di quinto grado con il minimo numero di punti di quadratura )

v Derivazione delle formule l Alcune componenti del campo e. m. possono divergere in prossimità di uno spigolo di angolo interno α Coordinate cartesiane, spigolo su asse x, celle triangolari aventi un lato sullo spigolo e appartenenti al piano xy: il comportamento singolare è del tipo ( 0. 5 ≤ υ ≤ 1 ) Oggetti dielettrici di costante dielettrica ε 1 immersi in un mezzo uniforme di costante dielettrica ε 2: ( se 0 < α < π ) Spigoli perfettamente conduttori: ( se π < α < 2π ) ( se 0 ≤ α < π )

v Derivazione delle formule l Applicazione del metodo di Radon per derivare nuove formule di quadratura 2 D per triangoli planari, di quinto ordine, a sette punti, con funzione peso divergente algebricamente lungo un lato R 2 l La costruzione delle formule è basata sulla ricerca di tre polinomi di terzo grado, ortogonali rispetto alla funzione peso, linearmente indipendenti, per il dominio triangolare di integrazione R 2, che abbiano sette zeri comuni

v Derivazione delle formule l Per un dominio Rn e un peso w(x 1, . . . , xn), esistono polinomi ortogonali di base linearmente indipendenti, ognuno ortogonale su Rn, rispetto a w, a tutti i polinomi Qd-1 di grado ≤ d -1. N ( n -1, d ) è il numero di monomi distinti x 1α 1 x 2α 2. . . xnαn di grado d. Se n=2 e d=3, i polinomi ortogonali di base sono e vogliamo che soddisfino la condizione: (n, m=0, 1, 2, 3 e n+m=3)

v Derivazione delle formule l Perché i tre polinomi P 3, 1, P 3, 2 e P 3, 3 abbiano sette zeri comuni: dove Q 1, j (j=1, 2, 3) sono polinomi di primo grado, almeno due dei quali non nulli; quindi, senza perdita di generalità: l Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su R 2 rispetto a w, si può scrivere come: e perché P 3, 3 sia di terzo grado:

v Derivazione delle formule l Perché i tre polinomi P 3, 1, P 3, 2 e P 3, 3 abbiano sette zeri comuni: dove Q 1, j (j=1, 2, 3) sono polinomi di primo grado, almeno due dei quali non nulli; quindi, senza perdita di generalità: l Ogni polinomio di terzo grado, ortogonale su R 2 rispetto a w, si può scrivere come: e perché P 3, 3 sia di terzo grado:

v Derivazione delle formule l In generale gli zeri comuni a due dei tre polinomi P 3, 1, P 3, 2 e P 3, 3 sono nove: Ø due complessi coniugati Ø sette reali, comuni a tutti e tre i polinomi l Se i sette zeri reali sono distinti si possono usare come punti di integrazione in una formula di quadratura di quinto ordine l I fattori peso si calcolano imponendo che la formula sia esatta per un insieme arbitrario di sette polinomi di grado ≤ 5

v Calcolo punti e pesi per casi significativi l Spigoli perfettamente conduttori

v Calcolo punti e pesi per casi significativi l Spigoli dielettrici

v Verifiche accuratezza numerica l Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare Esempio: xμ, con υ=2/3 (spigolo PEC di angolo interno α=90°) Valore esatto dell’integrale : (Γ è la funzione Gamma di Eulero) Integrazione mediante la nuova formula : Integrazione mediante formule note in letteratura per integrandi regolari :

v Verifiche accuratezza numerica l Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare xμ, con υ=2/3 (spigolo PEC di angolo interno α=90°) CONFRONTO CON ALTRE FORMULE A SETTE PUNTI

v Verifiche accuratezza numerica l Funzioni algebriche moltiplicate per il fattore peso singolare xμ, con υ=2/3 (spigolo PEC di angolo interno α=90°) CONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINE

v Verifiche accuratezza numerica l Funzioni trigonometriche oscillanti Es. : e-jk. R/(4πR), con R=|r - r’|, υ=2/3, singolarità r in (x, y)=(-1, -1) Valore esatto dell’integrale : Mathematica. TM, procedure adattive per l’integrazione 2 D, accuratezza controllabile posta uguale a 10 -10 CONFRONTO CON ALTRE FORMULE A SETTE PUNTI

v Verifiche accuratezza numerica l Funzioni trigonometriche oscillanti Es. : e-jk. R/(4πR), con R=|r - r’|, υ=2/3, singolarità r in (x, y)=(-1, -1) CONFRONTO CON ALTRE FORMULE DI QUINTO ORDINE

Applicazione delle nuove formule alla soluzione di problemi di diffrazione da oggetti 3 D

v Applicazione delle formule l Come esempio di applicazione delle nuove formule di quadratura a un problema pratico di diffrazione, si presenta il calcolo della sezione trasversa di scattering RCS (Radar Cross Section ) di un oggetto metallico 3 D l Metodo di Nyström per la soluzione numerica dell’equazione integrale di campo magnetico MFIE (Magnetic Field Integral Equation ) n è la normale esterna alla superficie S dell’oggetto conduttore g è la funzione di Green scalare per lo spazio libero occupato dal mezzo in cui è immerso l’oggetto Hinc, 2 è il campo magnetico incidente sull’oggetto conduttore JS è la densità di corrente superficiale equivalente

v Applicazione delle formule l Gradiente funzione di Green scalare: al limite di sommabilità su una superficie, ha singolarità del tipo 1/R 2 integrali impropri. Il termine che lo contiene è nullo se la variabile di integrazione descrive un elemento planare arbitrario al quale appartiene il punto di osservazione. Quindi se si usa una griglia di elementi planari per discretizzare l’oggetto metallico, l’equazione MFIE non pone problemi di singolarità e può essere discretizzata con la procedura di Nyström:

v Applicazione delle formule NT è il numero di triangoli planari della griglia NQ è il numero di punti della formula di quadratura h=1, . . . , NT k=1, . . . , NQ Proiettando sulla base ortonormale associata a ciascun triangolo della griglia e decomponendo i vettori incogniti secondo le stesse basi sistema lineare algebrico con 2 NQNT incognite

v Applicazione delle formule RCS NEL PIANO DI E PER UN CUBO PEC ILLUMINATO NORMALMENTE DA UN’ONDA PIANA INCIDENTE SU UNA DELLE SUE FACCE l L’uso delle nuove formule migliora l’accuratezza dei risultati, a parità di accuratezza è quindi possibile ridurre NT riduzione numero incognite riduzione memoria occupata e tempi di calcolo

v Conclusioni v Sono state studiate procedure numeriche basate sulla rappresenta-zione integrale del campo e. m. nel dominio spaziale, metodo BEM v Sono state sviluppate nuove formule di quadratura 2 D per triangoli planari , utili per integrare funzioni che divergono algebricamente lungo un lato del triangolo v Sono stati calcolati punti e pesi di quadratura per diversi casi significativi , è stata verificata l’ accuratezza delle formule v Le formule di quadratura proposte permettono di tener conto delle singolarità del campo nel metodo numerico adottato , ad esempio utilizzando opportune funzioni base vettoriali nel metodo dei momenti o discretizzando direttamente gli operatori integrali al contorno nel metodo di Nyström v L’uso delle nuove formule migliora l’accuratezza delle soluzioni calcolate in problemi di scattering e radiazione vantaggi

P. Burghignoli, L. Pajewski, F. Frezza, A. Galli e G. Schettini, “Improved quadrature formulas for boundary integral equations with conducting or dielectric edge singularities ”, IEEE Transactions on Antennas and Propagation vol. 52(2), pp. 373 -379, aprile 2004 Grazie per l’attenzione