Parantezele Poisson Cum obtinem integralele prime ale miscarii

Parantezele Poisson Cum obtinem integralele prime ale miscarii ? In ce conditii fi sunt integrale prime ale miscarii ? Paranteza Poisson Daca f nu depinde explicit de timp f va fio constanta a miscarii daca

Paranteza Poisson-Jacobi Proprietatile parantezei Poisson-Jacobi 1) daca 2) antisimetria 3) distributivitate 4) asociativitate 5) Identitatea lui Jacobi 6) daca 7)

Exemplu: 0 Un calcul analog conduce la:

Exemplu:

Teorema Liouville F. Newtonian F. Lagrange Ec. Dinamicii clasice Fie o regiune din SF Sa urmarim evolutia ei in timp! F. Hamilton Ec. de ordinul inatai, in care fiecare punct in SF urmeaza o singura cale in evolutia temp. “curgere” in SF Conform teoremei Liouville, forma geometrica a regiunii se va schimba, insa volumul ramane acelasi

J este Jacobianul transformarii definit de determinantul unei matrici de 2 nx 2 n Penrtu a demonstra teorema trebuie sa aratam ca: ceea ce inseamna ca: Generalizand pentru un numar arbitrar de coordonate:

Stind ca pentru orice matrice si ε infinitezimal: q. e. d Considerand “curgerea ”incompresibila, atunci divergenta vitezei se anuleaza Daca f este densitatea de probabilitate a sistemelor in spatiul fazelor, atunci, conservarea probabilitatii cere ca functia f sa satisfaca ecuatia de continuitate

Ecuatia Liouville Cum va trebui sa ne imaginam volumul in Spatiul Fazelor ? Putem considera un ansamblu (colectie) de sisteme cu aceeasi deoarece • Avem un singur sistem, dar nu-l cunoastem prea bine starea sa exacta. In cest caz ρ trebuie inteles ca probabilitate de parametrizare al ignorantei noastre!!! • Putem avea un numar mare N de sisteme identice , care nu interactioneaza (N=1038) si urmarim comportarea mediata a acestora, caz in care distributia ρ satisface relatia: Conform teoremei lui Liouville Ecuatia Liouville

Distributii independente de timp Fie distributia Boltzmann a) Pentru o particula libera Distributia Gaussiana dupa viteze b) Pentru o particula libera in camp magnetic Distributia Gaussiana dupa viteze Distributia dupa viteze este independenta de prezenta campului magnetic Paradoxul Bohr –van Leeuwen Necesitatea Mecanicii Cuantice

Ecuatia Hamilton-Jacobi Cazul particulei libere dar In general, putem privi actiunea ca o functie de pozitia finala qj si timp (datele initiale fixate) Ec. Hamilton-Jacobi

Evaluam actiunea de-a lungul traiectoriei care satisface ecuatia de miscare Variatia in raport cu tf trebuie facuta cu mare atentie !

Oscilatorul armonic Deoarece ecuatia nu contine explicit timpul Transformare Legendre

Transformare Legendre inversa pentru a gasi dependenta de timp a miscarii Miscarea unei particule intr-un potential central

Momentele canonice H-J Utilizam metoda separarii variabilelor Ecuatia Hamilton-Jacobi devine Neexistand o dependenta explicita de si atunci:

Alegem: Transformarea Legendre a actiunii originale Ecuatia Hamilton-Jacobi devine Depind de θ Moment unghiular orbital

Deoarece este transformarea Legendre , inversa transformarii poate fi folosita pentru a determina prin derivare in raport cu Cum nu depinde de ci doar

Transformarea Legendre inversa Efectuam schimbarea de variabila: Efectuam o alta schimbarea de variabila: Deoarece avem o functie rationala (valabila cand functiile rationale depind de puterile pare ale functiilor trigonometrice)

Sa rescriem t in termenii variabilei originale θ

Conditia de cuantificare Bohr-Sommerfeld Cerand ca pentru o perioada a miscarii S 3 sa fie un multiplu intreg de h, obtinem conditia de cuantificare pentru L

• L-Lz va fi un multiplu intreg de • Aplicand aceeasi conditie pentru rezulta imediat ca L va fi si el un multiplu intreg de Acesta a fost rationamentul facut de Bohr si Sommerfrld pentru a justifica necesitatea cuantificarii momentului unghiular ! A mai ramas partea radiala a ecuatiei hamilton-Jacobi Transformarea Legendre inversa