Paramtres S Rappels de thorie des circuits notions

Paramètres S • Rappels de théorie des circuits • notions associées à un quadripole • matrice d’impédance et d’admittance • gain, puissance • paramètres S - matrice de répartition • définition des paramètres S? • Propriétés de la matrice S • Méthode de calcul: théorie des graphes et règle de Mason ELEC 2700 - Hyperfréquences 1 Chapître 1: Introduction

Théorie des circuits • A basse fréquence, un quadripole est caractérisé par des tensions et courants. • Les paramètres Z (matrice d’impédance) sont utilisés pour décrire complètement le circuit: V 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2 V 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 1 V 1 Z 12 I 2 Z 22 + + - - ELEC 2700 - Hyperfréquences Z 21 I 1 V 2 2 Z 11 Z 12 Z 21 Z 22 Z = Chapître 1: Introduction

Théorie des circuits I 1 V 1 Z 12 I 2 Z 22 + + - - Z 21 I 2 V 2 • Z 11 = V 1/ I 1 lorsque I 2 = 0 (accès de sortie ouvert) Z 12 = V 1/ I 2 lorsque I 1 = 0 (accès d’entrée ouvert) Z 22 et Z 21 obtenus similairement • D’autres matrices sont aussi utilisées pour les quadripoles: matrices Y, H, … Toutes ces matrices utilisent une représentation courant/tension ELEC 2700 - Hyperfréquences 3 Chapître 1: Introduction

Théorie des circuits Zg + - Vg I 1 V 1 Z 12 I 2 Z 22 + + - - Z 21 I 1 Zin I 2 ZL V 2 Zout • Puissance fournie au quadripôle par le générateur • Puissance fournie à la charge par le quadripôle • Gain de puissance fournie ELEC 2700 - Hyperfréquences 4 Chapître 1: Introduction

Théorie des circuits Zg=Rg+j. Xg I 1 Zg + - Vg V 1 ZL=RL+j. XL • Puissance fournie à une charge ZL par un générateur d’impédance Zg • Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle est obtenue pour : et est notée puissance disponible ELEC 2700 - Hyperfréquences 5 Chapître 1: Introduction

Théorie des circuits • Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle est obtenue pour : ELEC 2700 - Hyperfréquences 6 Chapître 1: Introduction

Théorie des circuits Zg + - Vg I 1 V 1 Z 12 I 2 Z 22 + + - - Z 21 I 2 V 2 ZL • Notion de gain transductique: rapport entre la puissance fournie à la charge et la puissance disponible à la source • Notion de gain d’insertion: rapport entre la puissance fournie à la charge(Pf 2) et la puissance fournie à cette même charge lorsqu’elle est connectée directement au générateur (notée P f. L) ELEC 2700 - Hyperfréquences 7 Chapître 1: Introduction

Intérêt des paramètres S ? • Aux hyperfréquences: longueur des éléments l théorie des lignes de transmission applicable des ondes de courant, tension doivent être considérées V 1= V 10 cos ( t - z) = Re{V 10 exp j( t - z)} • il est souvent difficile à ces fréquences • de mesurer des courants et/ou des tensions • de créer des circuits ouverts ou des courts-circuits Généralisation à des ondes qui sont des racines carrées de Watts ELEC 2700 - Hyperfréquences 8 Chapître 1: Introduction

Intérêt des paramètres S ? • définition des ondes généralisées: ai = (Vi + Zci Ii )/2 Rci bi = (Vi - Z*ci Ii )/2 Rci avec Rci = Re{Zci} où: ai est l’onde incidente à l’accès “i” bi est l’onde réfléchie à l’accès “i” Zci est l’impédance de référence au port “i” I 1 V 1 I 2 V 2 Les impédances de références sont choisies arbitrairement mais pourraient être prises égales aux impédances caractéristiques des lignes de transmission incidentes aux accès • L’onde réfléchie s’annule à l’ “adaptation conjuguée”, c-à-dire lorsque l’impédance que présente le quadripole à l’accès i est égale au conjugué de l’impédance de référence Zci : Vi = Z*ci Ii ELEC 2700 - Hyperfréquences 9 Chapître 1: Introduction

Intérêt des paramètres S ? • Les paramètres S décrivent complètement un quadripole I 1 a 1 VS 1 11 ou b 1 • Les paramètres S sont obtenus comme I 2 b 2 SV 222 a 2 S 12 graphe de transfert associé I 1 ZL 1 S 21 I 2 V 1 Sij est obtenu en connectant à l’accès j une charge ZLj = Zcj c’est-à-dire une charge « adaptée » à l’impédance de référence • Si l’impédance caractéristique de référence est réelle adaptation conjuguée = adaptation ligne ELEC 2700 - Hyperfréquences 10 Chapître 1: Introduction ZL 2

Intérêt des paramètres S ? • Si Rci > 0, et qu’une source d’impédance Zg = Zci est placée à l’accès i, la puissance disponible à l’accès “i” est (Pdisp correspond à Zin = Zg * = Zci* , donc bi = 0) • La puissance fournie à l’accès i est • La matrice de répartition est reliée aux coefficients de réflexion de façon immédiate si on suppose les impédances de référence réelles (ex. lignes d’accès à faibles pertes): Zci = Zci* = Rci S 11/22 est le facteur de réflexion (au sens ligne) obtenu à l’entrée/sortie du quadripôle lorsque sa sortie/entrée est chargée par une impédance Zcj (condition pour que aj soit nul) ELEC 2700 - Hyperfréquences 11 Chapître 1: Introduction

Intérêt des paramètres S ? Analogie avec ligne de transmission de longueur L: facteur de réflexion à l’abscisse z si Yo=Yc ligne adaptée ELEC 2700 - Hyperfréquences ligne adaptée 12 Chapître 1: Introduction

Intérêt des paramètres S ? Paramètres S pour une ligne de transmission adaptée: a 1 b 1 e- g L b 2 a 2 Intérêt des paramètres S pour un quadripole: le comparer avec le comportement d’une ligne de transmission (adaptée) Par analogie avec une ligne de transmission, la définition de paramètres S permet donc sous certaines conditions (Zci réelle), de caractériser un quadripole en terme de transmission et de réflexion du signal hyperfréquences: • S 11 et S 22 traduisent la réflexion du signal incident à chacun des accès • S 21 et S 12 traduisent la propagation du signal à travers le quadripole (déphasage et atténuation) ELEC 2700 - Hyperfréquences 13 Chapître 1: Introduction

Propriétés particulières La puissance fournie à l’accès i est Sous forme matricielle: Quadripôle passif et sans pertes: Ptot = 0 Quadripôle passif: Ptot > 0 est définie positive Quadripôle réciproque: Lien entre matrices S et Z: ELEC 2700 - Hyperfréquences 14 Chapître 1: Introduction

Règle de Mason • calcul des fonctions de transfert à partir de la théorie des graphes v x u y w r = z avec D = 1 - T’ + T’’ - T’’’ + … T’ transmittance de boucle T’’ produit 2 à 2 des transmittances de boucles qui ne se touchent pas T’’’ produit 3 à 3 des … N = Tab Dp Tab chacun des trajets liant y à x Dp calculé comme D, mais pour graphe dont Tab est supprimé ELEC 2700 - Hyperfréquences 15 Chapître 1: Introduction

Règle de Mason I 1 I 2 V 1 V 2 S 21 a 1 S 11 impédance de charge ZL = Zc b 2 S 22 L a 2 = L b 2 ? ? Facteur de réflexion en entrée du quadripôle ? ? a 2 b 1 S 12 ELEC 2700 - Hyperfréquences 16 Chapître 1: Introduction

Règle de Mason pour une ligne de transmission I 1 Hypothèses I 2 V 1 ligne d’impédance caractéristique Zc impédances de références Zci choisies = Zc V 2 impédance de charge ZL Zc e- g L S 21 aa 11 bb 22 L S 22 S 11 12 L e. S- g a 2 = L b 2 aa 22 ELEC 2700 - Hyperfréquences 17 Chapître 1: Introduction